Pitagoro teorema

Pitagoro teorema – teorema, kuri teigia, jog stataus trikampio statinių kvadratų suma yra lygi įžambinės kvadratui:

Vaizdinis paaiškinimas su vandens indais. Visas vanduo iš dviejų viršutinių indų be liekanos ir pertekliaus suteka į apatinį.

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

kur a ir b yra trikampio statinių ilgiai, o c – įžambinės ilgis. Ši lygtis vadinama Pitagoro lygtimi, o ją tenkinantys sveikieji skaičiai (pavyzdžui, 3, 4, 5) – Pitagoro trejetais.

Pavyzdžiui, jei a = 8, o b = 6, tai $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {8^{2}+6^{2}}}={\sqrt {64+36}}={\sqrt {100}}=10$

Istorija

Teorema pavadinta graikų filosofo ir matematiko Pitagoro vardu, tačiau šie teiginiai buvo žymiai seniau žinomi babiloniečiams. Rasta babiloniečių lentelių, kuriose 1900–1600 m. pr. m. e iš esmės aprašyta ta pati teorema. V–III a. pr. m. e. kinai jau žinojo, jog trikampis, kurio kraštinių ilgiai lygūs 3, 4 ir 5 (bet kokiais vienetais), yra statusis.

Įrodymas

Šiame paveikslėlyje didžiojo kvadrato su kraštine $a+b$ plotas lygus dešinėje esančio paveikslėlio vidinio kvadrato ir aplink esančių keturių trikampių plotų sumai:

$(a+b)^{2}=c^{2}+4\cdot {\frac {1}{2}}\cdot a\cdot b$.

Iš čia

$a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}\;$,

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\;$.