Lygiagretumo postulatas

Lygiagretumo postulatas – viena iš Euklido geometrijos aksiomų. Taip pat dar vadinama penktuoju Euklido postulatu arba Euklido lygiagrečių aksioma. Be šio postulato nebūtų galima įrodyti, kad trikampio visų kampų suma lygi 180 laipsnių. XIX a. buvo nustatyta, kad šios aksiomos įrodyti neįmanoma.

Jeigu vidinių kampų α (alfa) ir β (beta) suma yra mažesnė nei 180°, abi tiesės galiausiai susikirs, kai šios bus pratęstos iki begalybės.

Postulatas teigia, kad:

Jei tiesė kertanti dvi tieses, sudaro toje pačioje pusėje vidinius kampus mažesnius nei du statūs kampai (arba 180°), tiesės (pratęsus jas iki begalybės) susikirs toje pusėje, kurioje kampai mažesni nei du statūs kampai.

Istorija

Kai kurie matematikai manė, kad penktasis Euklido postulatas yra daug sudėtingesnis nei kiti ir kad jį galima išvesti iš pirmųjų keturių Euklido aksiomų. Tai padaryti bandė Omaras Chajamas, vėliau Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Lambertas ir Legendre. Keletas jų paskelbė, kad jiems pavyko tai padaryti, tačiau visi įrodymai pasirodė esą klaidingi. Tai buvo problema, kuri daugelį amžių nubrėžė geometrijos raidos kryptis.

1826 m. Nikolajus Lobačevskis pristatė alternatyvią – hiperbolinę geometriją, kuri atitiko pirmąsias keturias aksiomas, tačiau ne penktąją. Tuo jis įrodė, kad lygiagretumo postulatas yra nepriklausomas nuo kitų.