Skaičių teorija

Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į šaltinius. Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais.

Skaičių teorija – matematikos šaka, tirianti sveikųjų skaičių savybes. Nors dauguma iškeltų problemų yra paprastai formuluojamos, tačiau kai kurių sprendimas ypatingai sudėtingas.

Pagrindai

Pirminiai skaičiai ir daugikliai

Natūralieji skaičiai yra 0, 1, 2, 3… Visi jie, išskyrus 0 ir 1, yra arba pirminiai skaičiai, arba sudėtiniai skaičiai. Pirminis skaičius yra skaičius, kuris dalinasi tik iš savęs ir vieneto. Sudėtinis skaičius yra tas, kuris dalinasi ne tik iš savęs, bet ir iš daugelio kitų daliklių. Pavyzdžiui, 6 yra sudėtinis skaičius, nes $6=2\times 3$. Skaičius, kuris dalina kitą yra vadinamas to skaičiaus dalikliu, šiuo atveju skaičiai 2 ir 3 yra skaičiaus 6 dalikliai.

Pagrindinė aritmetikos teorema teigia, kad kiekvienas natūralusis skaičius, didesnis už vienetą, gali būti išreikštas pirminių skaičių sandauga vieninteliu būdu: niekada nebūna dviejų vieno skaičiaus sandaugų rinkinių, kurios būtų skirtingos.

Pirminių skaičių seka yra begalinė. Šią teoremą įrodė Euklidas IX-ojoje veikalo „Pradmenys“ knygoje, 20-ajame teiginyje.

Tačiau nėra žinoma, kiek yra pirminių skaičių mažesnių už duotą skaičių. 1896 m. buvo įrodyta pirminių skaičių teorema, kuri teigia, kad pirminiai skaičiai nėra tolygiai pasiskirstę skaičių tiesėje. Patvirtinus Rymano hipotezę būtų galima geriau įvertinti pirminių skaičių pasiskirstymą. Analizinė skaičių teorija nagrinėja panašius klausimus ir naudoja analitinius metodus bei tolydžias funkcijas.

Istorija

Senieji laikai

Plimpton 322 lentelė.

Senovės Egipte matematiniai veiksmai buvo atliekami su sveikaisiais skaičiais ir egiptietiškomis trupmenomis. Matematiniuose papirusuose rasta uždavinių kartu su sprendiniais ir pagalbinėmis lentelėmis. Lentelės plačiau naudojamos buvo Babilone, kuris paveldėjo šešiasdešimtainę skaičiavimo sistemą iš šumerų. Babiloniečių dantiraščio matematiniuose tekstuose aprašytos daugybos ir atvirkštinių skaičių lentelės, natūraliųjų skaičių kvadratai ir kubai. Babilone jau buvo žinoma daug Pitagoro trejetų, kurių radimui tikriausiai buvo naudojama nežinoma metodika. Seniausiai archeologinis radinys aritmetikos istorijoje yra Plimptono molinės lentelės fragmentas 322, datuojamas 1800 m. pr. m. e. Jame yra Pitagoro trejetų sąrašas, t. y. natūralieji skaičiai $(a,b,c)$, kurie tenkina $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Problemos

• Didžioji Ferma teorema – lygtis $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ neturi sveikųjų sprendinių, kai n>2?
• Goldbacho hipotezė – bet kurį lyginį skaičių išreikšti dviejų pirminių skaičių suma?

Taip pat skaitykite

• Pirminiai skaičiai
• Didžiausias bendras daliklis
• Mažiausas bendras kartotinis
• Euklido teorema