Rymano dzeta funkcija

Rymano dzeta funkcija (kai kur Oilerio ir Rymano dzeta funkcija),  – Dirichlė eilutės sumos analizinis plėtinys, kompleksinio argumento s (realioji s dalis >1) funkcija:

Rymano funkcija kompleksinėje plokštumoje.[1]
Rymano dzeta funkcijos paviršius ties poliumi . Aukščiau ir žemiau matyti du netrivialieji nuliai.

Rymano dzeta funkcija yra kertinis skaičių teorijos akmuo, turi daug taikymų fizikoje, tikimybių teorijoje, statistikoje.

Šią funkciją, tiesa realaus argumento, aštuoniolikto amžiaus pradžioje pirmasis nagrinėjo Leonardas Oileris. Bernhardas Rymanas 1859 m. straipsnyje apie pirminių skaičių pasiskirstymą praplėtė funkcijos apibrėžimą į kompleksinio argumento sritį, įrodė, kad ji yra meromorfinė funkcija bei nustatė sąryšius tarp jos nulių ir pirminių skaičių asimptotinio pasiskirstymo.[2]

Rymano dzeta funkcijos vertes argumentams esant teigiamiems lyginiams skaičiams apskaičiavo L. Oileris. Pirmoji jų, būtent, , yra Bazelio problemos sprendinys. 1979 m. prancūzų matematikas Apéry įrodė iracionalumą (Šis skaičius vėliau buvo pavadintas jo vardu). L. Oileris taip pat surado, kad funkcijos reikšmės, esant neigiamoms sveikosioms argumento vertėms yra racionalieji skaičiai. Jos vaidina svarbų vaidmenį moduliarinių formų teorijoje. Šiuo metu yra pasiūlyta daug Rymano dzeta funkcijos apibendrinimų, pvz., Dirichlė eilutė, Dirichlė L-funkcija, L-funkcijos.

ApibrėžimasKeisti

 
Rymano straipsnio apie pirminių skaičių pasiskirstymą pirmasis puslapis.

Rymano dzeta funkcija   yra kompleksinio   kintamojo funkcija.

Begalinė skaičių eilutė konverguoja visoms   vertėms, kurių realioji dalis > 1:

 

Ji taip pat gali būti užrašyta kaip

 ,

čia

 

yra Gama funkcija.

1740 metais Leonardas Oileris šią eilutę nagrinėjo esant sveikiesiems teigiamiems  , o Pafnutijus Čebyšovas praplėtė ją visiems realiems argumentams su  .[3]

Rymanas parodė, kad šios eilutės apibrėžimo sritis gali būti analiziškai išplėsta visiems kompleksiniams  . Kai  , ši eilutė yra vadinama harmonine eilute, ji diverguoja link  , ir

 

Taigi, Rymano dzeta funkcija yra meromorfinė funkcija visoje kompleksinėje  -plokštumoje. Ji yra holomorfinė funkcija visur, išskyrus pirmos eilės polių   su reziduumu 1.

Kai kurios Rymano dzeta funkcijos vertėsKeisti

 
Rymano   įvairiuose intervaluose  .

Bet kokiam lyginiam sveikam argumentui  :

 

Čia   yra   eilės Bernulio skaičiai.

Nelyginiams teigiamiems sveikiesiems skaičiams nėra žinomos panašios paprastos išraiškos, tačiau manoma, kad funkcijos vertės turi būti susijusios su algebrine  -sveikųjų skaičių teorija (taip vadinamomis L-funkcijų specialiosiomis vertėmis).

Neigiamiems sveikiesiems skaičiams turime

 

dėl   (naudojami žymėjimai  )

  yra lygu nuliui visiems neigiamiems lyginiams sveikiems skaičiams, kadangi   visiems nelyginiams  , išskyrus  1.

Panaudojant analizinį plėtinį galima parodyti, kad:

  •  
Tai leidžia priskirti baigtinę vertę diverguojančiai eilutei  , kuri dažnai naudojama stygų teorijoje.[4]
  •  
Panašiai samprotaujant tokiu būdu priskiriama baigtinė vertė ir eilutei  .
  •    
  •  
jei mes artėsime prie 1 iš didesnių skaičių pusės. Tai yra vadinamoji harmoninė eilutė. Tačiau jos suma Koši prasme
 
yra baigtinis skaičius, vadinamas Oilerio-Maskeronio konstanta  .
  •    
Ši vertė naudojama skaičiuojant Boze–Einšteino kondensato kritinę temperatūrą uždarame tūryje su periodinėmis kraštinėmis sąlygomis bei įmagnetėjimo bangų sklidimą nelaidžiose aplinkose.
  •    
Ši lygybė yra taip vadinama Bazelio problema. Atvirkštinis šiai sumai skaičius atsako į klausimą: Kokia tikimybė, kad du atsitiktinai pasirinkti teigiami sveikieji skaičiai turės didžiausią bendrąjį daliklį lygų tik 1?[5]
  •    
Tai yra Apéry konstanta. Atvirkštinis šiai sumai skaičius atsako į klausimą: Kokia tikimybė, kad trys atsitiktinai pasirinkti teigiami sveikieji skaičiai turės didžiausią bedrąjį daliklį lygų 1?
  •    
Šis skaičius gaunamas išvedant Stefano ir Bolcmano spinduliuotės dėsnį fizikoje – integruojant Planko spinduliuotės dėsnį.

Oilerio begalinė sandaugaKeisti

Vieną įdomiausių skaičių teorijos sąryšių tarp dzeta funkcijos ir pirminių skaičių atrado L. Oileris, įrodęs tapatybę:

 

čia kairėje pusėje yra  , o dešinėje pusėje yra begalinė sandauga pagal visus pirminius skaičius  :

 

Oilerio tapatybė įrodoma naudojant tik geometrinės progresijos eilutę ir pagrindinę aritmetikos teoremą. Kadangi harmoninė eilutė (gauta kai  ) diverguoja, iš Oilerio tapatybės ( ) seka, kad yra be galo daug pirminių skaičių.[6]

Oilerio sandauga gali būti naudojama skaičiuojant tikimybę, kad   atsitiktinai pasirinktų teigiamų sveikųjų skaičių tarpusavyje turės didžiausią bendrąjį daliklį 1. Nesunku įsitikinti, kad tikimybė, jog atsitiktinai paimtas skaičius dalinsis iš skaičiaus   yra  . Tuomet tikimybė, kad   skaičių dalinsis iš šio skaičiaus bus  , o tikimybė, kad bent vienas iš jų nesidalins bus  . Kadangi šie (dalinimo) įvykiai yra nepriklausomi, atsakymas bus jų sandauga. Taigi, galutinai turėsime tokią asimptotinę tikimybę:[7],

 

Funkcinės lygtysKeisti

Rymano dzeta funkcija įeina į daugelį funkcinių sąryšių, pvz.:

 

čia   yra Gama funkcija, o pati lygtis yra vadinama Rymano funkcine lygtimi. Ji susieja funkcijos vertes taškuose   ir  . Sinusinis narys reiškia, kad   turi paprastus nulius ties lyginiais neigiamais skaičiais   – jie yra žinomi kaip trivialieji   funkcijos nuliai. Kai   yra lyginis teigiamas skaičius, sandauga   dešinėje lygties pusėje yra nenulinė, kadangi   taške yra paprastas polius, o sinuso funkcija tame taške yra paprastas nulis.

Šią tapatybę 1859 metais išvedė Rymanas. Tačiau analogišką sąryšį, tiesa, be įrodymo, jau 1749 metais buvo pateikęs ir L. Oileris Dirichlė   funkcijai (dzeta funkcija su alternuojančiais nariais):

 

Tai leidžia įvertinti     srityje, t. y.

 

Rymanas taip pat surado simetrinę funkcinės lygties versiją įvedus pažymėjimą:

 

Šiai funkcinei lygčiai galioja:

 

Nuliai, kritinė linija, Rymano hipotezėKeisti

 
Neskaitant trivialiųjų, Rymano dzeta funkcija neturi nulių į dešinę nuo   ir į kairę nuo  . Dar daugiau, netrivialieji nuliai simetriškai išsidėstę realiosios ašies atžvlgiu ir pagal Rymano hipotezę visi jie guli tiesėje  .
 
Čia pavaizduota Rymano dzeta funkcija išilgai kritinės linijos realiosioms   vertėms kintant nuo 0 iki 34. Pirmieji penki nuliai yra ten, kur spiralės kerta koordinačių pradžią.

Iš anksčiau minėtos funkcinės lygties seka, kad Rymano dzeta funkcija turi nulius —2, —4,…. Tai yra trivialieji nuliai, taip vadinami, kadangi jų argumentų reikšmes galima paprastai rasti iš funkcinės lygties (  yra 0). Netrivialieji nuliai yra įdomesni ne tik tuo, kad jų pasiskirstymas ne iki galo suprastas. Jų tyrimai davė daug įdomių rezultatų apie pirminius skaičius. Yra žinoma, kad netrivialieji nuliai yra randami juostoje  , kuri yra vadinama kritine juosta. Įžymioji Rymano hipotezė teigia, kad bet kuris netrivialusis nulis   turi  . Rymano dzeta funkcijos teorijoje aibė   yra vadinama kritine linija. Rymano dzeta funkcijos dalis išilgai kritinės linijos yra vadinama Z funkcija.

Hardy ir Littlewood hipotezėKeisti

1914 metais Godfrey Harold Hardy įrodė, kad   turi be galo daug netrivialiųjų nulių.

Hardy ir John Edensor Littlewood suformulavo du spėjimus apie   nulių išsidėstymo tankį ir atstumus tarp nulių. Toliau,   yra bendras nulių skaičius esant realiesiems argumentams, o   yra bendras funkcijos   nelyginės eilės nulių skaičius esantis intervale  .

Kiekvienam  , egzistuoja toks  , kad

 

intervale   yra nelyginės eilės nulis. Bet kokiam   egzistuoja   ir   tokie, kad nelygybė

 

yra teisinga, kai

 .

Atvirkštinė funkcijaKeisti

Vienetas, padalintas iš dzeta funkcijos gali būti užrašytas Dirichlė eilute panaudojant Miobijaus funkciją  :

 

visiems kompleksiniams   kurių realioji dalis didesnė už 1.

Sąryšiai su kitomis funkcijomisKeisti

Dirichlė eilutėKeisti

Kiek pertvarkius Rymano dzeta funkciją, galima išplėsti jos konvergavimo sritį.[8] Taip eilutė

 

konverguoja srityje  , o

 

konverguoja net  . Panašiai konverguojančią eilutę galima gauti   dėl bet kokio neigiamo  .

Melino transformacijosKeisti

Funkcijos   Melino transformacija apibrėžiama taip:

 

Yra daug dzeta funkcijos sąryšių su Melino transformacija. Pavyzdžiui, kai realioji   dalis didesnė už 1, turėsime

 

kur   žymi gama funkciją. Modifikavęs integravimo kontūrą, Rymanas parodė, kad

 

visiems   (čia   pažymėtas Hankelio kontūras).

Rymano dzeta funkciją taip pat galima susieti su pirminių skaičių pasiskirstymo funkcija  :

 

vertėms  .

Įvedus funkciją

 

galima parodyti, kad

 

Šios lygtys gali būti naudojamos analizuojant pirminių skaičių pasiskirstymą.   gali būti atstatyta, panaudojus Miobijaus transformaciją.

Theta funkcijosKeisti

Rymano dzeta funkcija taip pat gali būti susieta su   funkcija per Melino transformaciją[9]

 

Čia

 

Lorano eilutėKeisti

Rymano dzeta funkcija yra meromorfinė funkcija su pirmos eilės poliumi esant argumentui  . Taigi, ji gali būti išskleista Lorano eilute su poliumi  :

 

Konstantos   yra vadinamos Stiljeso konstantomis. Jos apibrėžiamos formulėmis:

 

  yra Oilerio-Maskeronio konstanta.

IntegralasKeisti

Visiems kompleksiniams   galioja integralinis sąryšis:

 

Jis dažnai naudojamas įvertinant dzeta funkciją skaitmeniškai.[10]

Adamaro sandaugaKeisti

Pasinaudodamas Vejerštraso faktorizavimo teorema, Adamaras išvedė tokį dzeta funkcijos skleidinį:

 

Čia dauginama pagal netrivialiuosius dzeta funkcijos nulius  , o   žymi Oilerio-Maskeronio konstantą. Dar paprasčiau užrašomas kitas dzeta funkcijos skleidinys begaline sandauga:

 

Čia aiškus polius ties  , trivialieji nuliai ties —2,—4,… (dėl Gama funkcijos, vardiklyje) ir netrivialieji nuliai ties  .

Globaliai konverguojančios eilutėsKeisti

Globaliai konverguojanti dzeta funkcijos eilutę visiems kompleksiniams   išskyrus taškus   bet kokiam sveikam  , pirmą kartą užrašė Konrad Knopp, o įrodė Helmut Hasse 1930 metais:

 

Nors ši eilutė buvo pateikta Hasse straipsnyje, ji nebuvo žinoma iki tol kol buvo iš naujo Jonathan Sondow atrasta po 60 metų.[11]

Hasse rado ir kitą išraišką

 

Tačiau ją dar Joseph Ser irgi buvo pateikęs 1926 metais.[12]

Praktiniai taikymaiKeisti

Rymano dzeta funkcija dažnai sutinkama statistikoje (pvz., Zipfo dėsnis).

Dzeta funkcija naudojama diverguojančių eilučių ir integralų reguliarizavimui (priskiriama baigtinė vertė šiaip jau diverguojančioms sumoms). Rymano dzeta funkcija naudojama aprašant Kazimiro efektą, dinaminių sistemų analizėje.[13]

Begalinės eilutėsKeisti

Rymano dzeta funkcijai galioja:[14]

  •  

Lyginių ir nelyginių dzeta funkcijos narių sumos duoda tokias vertes:

  •  

ir

  •  

Parametrizuotos aukščiau pateiktų sumų versijos gali būti užrašomos kaip:

  •  

ir

  •  

su  , o   ir   yra poligama funkcija ir Oilerio konstanta atitinkamai. Taip pat:

  •  .

Galioja ir tokie sąryšiai:

  •  
  •  
  •  
  •  ,

kur   žymi kompleksinio skaičiaus menamąją dalį.

Rymano dzeta funkcijos apibendrinimaiKeisti

Yra žinoma daug funkcijų, susijusių su Rymano dzeta funkcija, kurios gali būti traktuojamos kaip Rymano dzeta funkcijos apibendrinimai. Viena jų yra Hurwitz dzeta funkcija

 

(Konverguojančią eilutę jai pateikė Helmut Hasse 1930 metais,[15]), kuri sutampa su Rymano dzeta funkcija kai   (pažymėtina, kad Hurwitz dzeta funkcijos apatinė sumavimo riba ne 1, o 0), Dirichlė L-funkcija, Dedekindo zeta-funkcija.

Vadinamoji polilogaritminė funkcija užrašoma taip:

 .

Ji sutampa su Rymano dzeta funkcija kai  .

Lerch transcendentė yra

 

Ji sutampa su Rymano dzeta funkcija kai   ir  .

Clausen funkcija   tai funkcija, gaunama paimant   funkcijos realiąją arba menamąją dalį.

Galima įvesti daugelio kintamųjų dzeta funkciją:

 

Šią funkciją galima analiziškai praplėsti į  -matę kompleksinių skaičių sritį.

Trupmeninė išvestinėKeisti

Rymano dzeta funkcijos  -eilės trupmeninė išvestinė gali būti užrašyta tokiu pavidalu [16]

 

Jei   yra trupmena tokia, kad  , konvergavimo sritis bus  .

IšnašosKeisti

  1. „Jupyter Notebook Viewer“. Nbviewer.ipython.org. Nuoroda tikrinta 2017-01-04. 
  2. Šiame straipsnyje taip pat pateikiama įžymioji Rymano hipotezė apie dzeta funkcijos kompleksinių nulių pasiskirstymą – vienas įdomiausių neišspręstų matematikos uždavinių.Bombieri, Enrico. „The Riemann Hypothesis – official problem description“ (PDF). Clay Mathematics Institute. Nuoroda tikrinta 2014-08-08. 
  3. Devlin, Keith (2002). The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time. New York: Barnes & Noble. pp. 43–47. ISBN 978-0-7607-8659-8. 
  4. Polchinski, Joseph (1998). String Theory, Volume I: An Introduction to the Bosonic String. Cambridge University Press. p. 22. ISBN 978-0-521-63303-1. 
  5. Ogilvy, C. S.; Anderson, J. T. (1988). Excursions in Number Theory. Dover Publications. pp. 29–35. ISBN 0-486-25778-9. 
  6. Sandifer, Charles Edward (2007). How Euler Did It. Mathematical Association of America. p. 193. ISBN 978-0-88385-563-8. 
  7. Nymann, J. E. (1972). „On the probability that   positive integers are relatively prime“. Journal of Number Theory 4 (5): 469–473. Bibcode:1972JNT.....4..469N. doi:10.1016/0022-314X(72)90038-8. 
  8. Knopp, Konrad (1945). Theory of Functions. pp. 51–55. 
  9. Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic number theory. Springer. p. 422. ISBN 3-540-65399-6. 
  10. „Mathematik-Online-Kurs: Numerik-Numerische Integration-Riemannsche Zeta-Funktion“. Mo.mathematik.uni-stuttgart.de. 2010-09-09. Nuoroda tikrinta 2017-01-04. 
  11. Sondow, Jonathan (1994). „Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series“ (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society 120 (2): 421–424. doi:10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7. 
  12. Blagouchine, Iaroslav V. (2016), "Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in π?2 and into the formal enveloping series with rational coefficients only", Journal of Number Theory 158: 365–396, doi:10.1016/j.jnt.2015.06.012 
  13. „Work on spin-chains by A. Knauf, et. al“. Empslocal.ex.ac.uk. Nuoroda tikrinta 2017-01-04. 
  14. Dauguma formulių šiame skyrelyje yra iš § 4 of J. M. Borwein et al. (2000)
  15. Hasse, Helmut (1930). „Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche  -Reihe“. Mathematische Zeitschrift 32 (1): 458–464. doi:10.1007/BF01194645. 
  16. Guariglia, E. (2015). Fractional derivative of the Riemann zeta function. In: Fractional Dynamics (Cattani, C., Srivastava, H., and Yang, X. Y.). De Gruyter. pp. 357–368. doi:10.1515/9783110472097-022. 

ŠaltiniaiKeisti

NuorodosKeisti