Pirminis skaičius

Pirminis skaičius – bet kuris natūralusis skaičius, didesnis nei 1, kuris dalinasi tik iš savęs ir vieneto. Vienetas nelaikomas nei pirminiu skaičiumi, nei sudėtiniu, kartais dar vadinamas netraliuoju dauginamuoju, kadangi yra kiekvieno skaičiaus skaidinyje.

Pirmieji pirminiai skaičiai (kairėje) ir sudėtiniai skaičiai (dešinėje), su pademonstruotu išskaidymu į dauginamuosius

Keletas mažiausių pirminių skaičių:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, …

Pirminių skaičių yra be galo daug, tai įrodo Euklido teorema, o jų pasiskirstymas – labai netaisyklingas, tai aprašo pirminio skaičiaus teorema.

2017 metų gruodį GIMPS (ang. Great Internet Mersenne Prime Search) projekto pagalba surastas kol kas didžiausias (23,249,425 skaitmenų ilgio) pirminis skaičius $2^{77,232,917}-1$. Tai taip pat yra didžiausias žinomas Merseno skaičius.

Pirminio skaičiaus kriterijai

Nėra patogių kriterijų, kuriais būtų galima nustatyti, ar skaičius pirminis, ar ne. Dar XVIII a. Leonardas Oileris pateikė šiuos kriterijus:

1. Pirmasis Oilerio kriterijus: jeigu nelyginis natūrinis skaičius N > 1 gali būti išreikštas dviejų natūrinių skaičių kvadratų skirtumu daugiau kaip vienu būdu, tai N yra sudėtinis skaičius, jeigu tik vienu būdu, tai N - pirminis skaičius.
2. Antrasis Oilerio kriterijus: jeigu natūrinis skaičius N gali būti išreikštas dviejų natūrinių skaičių suma daugiau kaip vienu būdu, tai N - sudėtinis skaičius.

Eratosteno rėtis

Graikų matematikas Eratostenas dar II a. pr. m. e. pasiūlė paprastą metodą kaip rasti visus pirminius skaičius nuo 2 iki n. Metodas labai paprastas – reikia surašyti visus skaičius nuo 2 iki n ir pradurti sudėtinius skaičius. Tokiu būdu lieka 'rėtis', kuriame liko tik pirminiai skaičiai.

Pradūrimas vyksta taip: iš pradžių niekas nėra pradurta. Pradedant nuo 2, ieškome nepradurto skaičiaus – randame 2. Tada praduriame visus dvejeto kartotinius. Vėl ieškome pirmo nepradurto skaičiaus – randame 3. Praduriame visus trejeto kartotinius. Dabar ieškodami jau randame 5, nes 4 yra pradurtas.

Merseno skaičiai

Žymus prancūzų fizikas ir mokslo populiarintojas M. Mersenas (1588–1648) pastebėjo, kad daugelio pirminių skaičių pavidalas yra 2^p-1 (p – pirminis skaičius).

Visi tokio pavidalo skaičiai vadinami Merseno skaičiais. Tačiau ne visi Merseno skaičiai yra pirminiai.

Pirminiai skaičiai dvyniai

Pirminiais skaičiais dvyniais arba pirminiais dvyniais vadinami 2 pirminiai skaičiai, kurių skirtumas yra 2, pavyzdžiui, 3 ir 5, 5 ir 11, 11 ir 13. Didėjant pirminiams skaičiams dvynių porų skaičius santykinai mažėja.