e (skaičius)

e – matematinė konstanta (arba Eulerio skaičius) yra natūralaus logaritmo funkcijos pagrindas, kurio apytikslė reikšmė yra:

$e=2{,}71828\,18284\,59045\,23536\,02874\,71352\,66249\,77572\,47093\,69995\,\dots$

Kartu su skaičiumi π ir menamuoju vienetu i, e yra viena iš svarbiausių matematinių konstantų.

Skaičių e 1736 m. įvedė šveicarų matematikas Leonardas Euleris. Jis taip pat kartais vadinamas Neperio konstanta, škotų matematiko Džono Neperio garbei, kuris pirmasis sukūrė logaritmų lenteles.

Tai, kad skaičius e transcendentiškas 1873 m. įrodė Šarlis Hermitas.

Apibrėžimai

Pateikiami trys labiausiai paplitę e apibrėžimai:

1. Naudojantis sekos $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ ribos apibrėžimu:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

2. Kaip šios begalinės eilutės suma:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots$

kai n! yra natūraliojo skaičiaus n faktorialas

3. Arba apibrėžiant e kaip unikalų skaičių x > 0, tokį kad:

$\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={1}$

arba

$\int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=\ln t|_{0}^{e}=\ln e-\ln 1=1-0=1.$

Savybės

Skaičius e yra eksponentinės funkcijos $e^{x}$ pagrindas, kuri dar žymima kaip $\exp(x)$. Natūrinis logaritmas $\ln(x)$ yra atvirkštinė funkcija eksponentinei:

$y=e^{x}\Leftrightarrow x=\ln(y)$

Eksponentinė funkcija $e^{x}$ yra svarbi, nes tai vienintelė funkcija, kurios išvestinė lygi jai pačiai. Tai yra: $(e^{x})'=(x)'e^{x}$.

Įrodyta, kad e yra iracionalusis bei transcendentinis skaičius, numanoma, kad jis taip pat yra ir normalusis skaičius, tačiau tai dar nėra įrodyta. e taip pat figuruoja Oilerio formulėje, vienoje svarbiausių lygybių matematikoje:

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,\!$

O specialus atvejis, kai x = π yra žinomas kaip Oilerio formulė:

$e^{i\pi }+1=0\,\!$

Ši formulė vadinama viena įspūdingiausių, nes sujungia penkias pamatinėmis atrodančias matematines konstantas (e, i, π, 1 ir 0).