Trigonometrija

geometrijos šaka, tyrinėjanti sąryšius tarp kampų ir kraštinių geometrinėse figūrose
(Nukreipta iš puslapio Tangentas)
   Šis straipsnis dėl savo svarbos, redagavimo karų ar dažnų atakų yra iš dalies užrakintas.
Jo negali redaguoti neregistruoti ir neseniai registruoti dalyviai; gali redaguoti automatiškai patvirtinti naudotojai.

Trigonometrija (gr. trigonon – trikampis, metreo – matuoju) – geometrijos šaka, tyrinėjanti sąryšius tarp kampų ir kraštinių geometrinėse figūrose. Pagrindinės trigonometrinės funkcijos yra sinusas (), kosinusas (), tangentas ( arba ), kotangentas ( arba ) bei jų atvirkštinės funkcijos.

Sinuso ir kosinuso funkcija vienetiniame apskritime.

Trigonometrija praktiškai naudojama atliekant matavimus ir geodezijoje, o trigonometrijos šaka sferinė trigonometrija - nagrinėja trimates erdvės trigonometrines funkcijas ir yra svarbi jūreivystėje bei astronomijoje.[1]

Istorija

redaguoti

Trigonometrijos ištakas jau galima atsekti anksčiausiuose matematiniuose šaltiniuose Egipto bei Babilono civilizacijose. Babiloniečiai buvo pirmieji, kurie kampų matavimui naudojo laipsnių, minučių ir sekundžių sistemą.

Tačiau daugiausiai prie trigonometrijos prisidėjo graikų matematikai, tarp kurių turbūt žymiausias buvo Hiparchas jau II a. pr. m. e. sudaręs trigonometrinę lentelę, pagal kurią buvo galima rasti kraštinių ilgius. Dabar tai būtų sinusų lentelės atitikmuo. Vėliau šią lentelę patikslino bei išpletė kitas graikų matematikas Klaudijus Ptolemėjus, savo knygoje smulkiai paaiškinęs, kaip rasti nežinomus trikampių dydžius žinant kitus kampus ir kraštines.

Maždaug tuo pat metu Indijos matematikai taip pat aktyviai tyrinėjo šią geometrijos šaką ir pasiekė panašių rezultatų kaip ir graikai. Jau vėliau, VIII a., arabų matematikai perėmė graikų ir indų žinias šioje srityje ir patys pradėjo aktyviai tyrinėti. Maždaug X a. jie išvedė jau penkias trigonometrines funkcijas, įrodė pagrindines teoremas bei sudarė labai tikslią trigonometrinę lentelę, nurodydami sinuso reikšmes kas 1/60 laipsnio.

Vakarų Europa šiuos arabų matematikų tekstus išvertė bei pradėjo naudoti XII a. XIII amžiuje vokiečių matematikas Georgas Jochimas (George Joachim) įvedė šiuolaikišką trigonometrinių funkcijų naudojimą, kurios nurodo kraštinių santykį, o ne vienetinį ilgį, kuriuo rėmėsi indų bei arabų matematikai.

Vėlesniais amžiais būtų galima išskirti škotų matematiko Džono Neperio (XVII a.) ir garsiojo šveicarų matematiko Leonardo Oilerio indėlius į šią matematikos šaką.

Trigonometrinės funkcijos

redaguoti
Pagrindinis straipsnis – Trigonometrinės funkcijos.
 

Sinuso, kosinuso ir tangento funkcijos gali būti apibrėžtos keliais būdais. Vienas iš jų – pagal statųjį trikampį (dešinėje):

Tada kampo A intervale nuo 0 iki 90 laipsnių (nuo 0 iki   radianų) sinuso funkciją galima apibrėžti kaip kraštinės esančios prieš kampą A ir įžambinės santykį. Arba:

   

Kosinuso funkcija atitinkamai yra kraštinės esančios šalia ir įžambinės santykis:

   

Tangento funkcija atitinkamai yra statinio esančio priešais ir šalia santykis:

   

Kotangento funkcija atitinkamai yra statinio esančio prie kampo ir prieš kampą santykis:

   

Trigonometrinės funkcijos gali būti naudojamos stataus trikampio kraštinės ilgiui apskaičiuoti, kai yra žinomi trikampio kampai ir kuri nors viena kraštinė. Taigi, jeigu, pavyzdžiui, žinome, kad kampas B = 60° ir kraštinė a = 5 cm, įžambinės c ilgį galime rasti pasinaudoję formule cos B = a/c, nes iš jos išplaukia, kad c = a/cos B = 5 cm/cos(60°) = 5 cm/0,5 = 10 cm.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos

redaguoti

Arksinusas, arkkosinusas, arktangentas ir arkotangentas yra atvirkštinės funkcijos, atitinkamai, sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui. Taigi, jei sin 30° = 0,5, tai arcsin 0,5 = 30°

Pavadinimas Įprastinis žymėjimas Apibrėžimas Reikšmės, kurias gali įgyti x Reikšmės, kurias gali įgyti y (radianais) Reikšmės, kurias gali įgyti y (laipsniais)
arksinusas y = arcsin x x = sin y −1 ≤ x ≤ 1 −π/2 ≤ y ≤ π/2 −90° ≤ y ≤ 90°
arkkosinusas y = arccos x x = cos y −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0° ≤ y ≤ 180°
arktangentas y = arctg x x = tg y visi realieji skaičiai −π/2 < y < π/2 −90° ≤ y ≤ 90°
arkkotangentas y = arcctg x x = ctg y visi realieji skaičiai 0 < y < π 0° < y < 180°

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos gali būti naudojamos vidiniams stačių trikampių kampams apskaičiuoti, kai yra žinomos bet kurios dvi trikampio kraštinės.

 

Arksinusas gali būti naudojamas apskaičiuoti kampui, kai yra žinomas stataus trikampio įžambinės ilgis ir kraštinės prieš ieškomą kampą ilgis. Kampas α yra lygus kraštinės prieš kampą α ir įžambinės santykio arksinusui:

 

Atitinkamai, kampas β lygus kraštinės prieš kampą β ir įžambinės santykio arksinusui:

 

Kampas α taip pat yra lygus kraštinės šalia kampo α ir įžambinės santykio arkkosinusui:

 

Arktangentas gali būti naudojamas apskaičiuoti kampams, kai yra žinomi abejų statinių ilgiai:

 

Kartais įžangoje į trigonometriją vietoje arcsin, arcos ir arctan rašoma atitinkamai sin−1, cos−1 ir tan−1. Aukštojoje matematikoje toks žymėjimas paprastai nenaudojamas, nes užrašą sin−1 (α) galima interpretuoti ir kaip 1/sin (α).

Pagrindinės trigonometrinės lygybės

redaguoti

To paties kampo trigonometrinės savybės

redaguoti
 
 
 
 
 
 

Kampų sudėtis ir atimtis

redaguoti
 

Funkcijų sudėtis ir atimtis

redaguoti
 
 
 

Funkcijų daugyba

redaguoti
 

Dvigubo kampo tapatybės

redaguoti
 
 

Trigubo kampo tapatybės

redaguoti
 

Keturgubo kampo tapatybės

redaguoti
 
 

Funkcijų laipsniai

redaguoti
 
 
 
 
 
 

Pusės kampo tapatybės

redaguoti
 
 

Pusės kampo tapatybių įrodymai

redaguoti
 
 
Iš čia
 
 
 

Funkcijų daugybos įrodymai

redaguoti
  • Įrodysime, kad
 
Iš kampų sudėties ir atimties turime
  ir
 
Sudedame pirmą eilutę su antra
 
 


  • Įrodysime, kad
 
Iš kampų sudėties ir atimties formulių turime
  ir
 
Atimame antrą eilutę iš pirmos
 
 


  • Įrodysime, kad
 
Iš kampų sudėties ir atimties formulių turime
  ir
 
Sudedame pirmą eilutę su antra
 
 
 


  • Įrodysime, kad
 
Iš kampų sudėties ir atimties formulių turime
 
 
Atimame antrą eilutę iš pirmos eilutės
 
 
 
 

Taip pat skaitykite

redaguoti

Šaltiniai

redaguoti
  1. Udo Quak. Kaip suprasti matematiką. Teminis žinynas. – Kaunas: Šviesa, 2003. – 93 p. ISBN 5-430-03555-6

Nuorodos

redaguoti