Kvadratinė lygtis

Matematikoje kvadratinė lygtis – antrojo laipsnio daugianarė lygtis, jos išraiška:

Čia a, b, c – realieji skaičiai, Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, b - antruoju koeficientu ir skaičius c - laisvuoju nariu.[1]

Kvadratinės lygtys būna pilnosios (nesuprastintos arba suprastintos) ir nepilnosios.[2] Kai a = 1, turima lygtis dažnai vadinama redukuotaja kvadratine lygtimi.[3]

Pilnoji kvadratinė lygtis redaguoti

Bendra forma:

 , kai      

Sprendimas:

randame pagalbinį skaičių – diskriminantą D:

 

Tada galimi trys atvejai:

  • Jei   tai lygtis turi du skirtingus sprendinius:
     
  • Jei  , tai lygtis turi vieną sprendinį:
 

Pastaba: kartais sakoma, kad tokiu atveju lygtis turi du sutampančius sprendinius. Toks požiūris taikomas, pavyzdžiui, sprendžiant diferencialines lygtis.

Įrodymas : redaguoti

 

  • Jei  , tai lygtis neturi sprendinių realiųjų skaičių aibėje. Tokios lygties sprendiniai yra du kompleksiniai skaičiai:
     

kur   yra menamasis vienetas

Kvadratines lygtis taip pat galima spręsti panaudojant Vijeto teoremą. Pagal ją, lygties sprendiniai gali būti randami iš lygčių sistemos  

Vijeto teoremą patogiausia naudoti, kai a=1.

Radus sprendinius, galioja lygybė:

 

Nepilnoji kvadratinė lygtis redaguoti

Nepilnoji kvadratinė lygtis yra tokia kvadratinė lygtis, kurios bent vienas iš koeficientų b ir c yra lygus 0.[4] Bendra forma:

 

Sprendimas:

 

Kvadratinė lygtis, kurios redaguoti

Bendra forma:

 

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

 

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

 

Bikvadratinė lygtis redaguoti

Su kvadratine lygtimi susijusi yra bikvadratinė lygtis  , kuri paverčiama kvadratine lygtimi   pritaikius keitinį  .[5] Išsprendus lygtį, gaunamos y reikšmės, o iš jų apskaičiuojamos atitinkamos x reikšmės. Jeigu   ir   bikvadratinė lygtis turi 4 sprendinius, jeigu viena iš y reikšmių yra neigiama, lygtis turi 2 sprendinius, kitu atveju lygtis sprendinių neturi.[6]

Taip pat skaitykite redaguoti

Šaltiniai redaguoti

  1. Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis VII-X klasei. Suaugusiųjų ir savarankiškam mokymuisi. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 128 p. ISBN 5-430-03803-2
  2. Petrė Grebeničenkaitė, Erika Tumėnaitė. Matematikos korepetitorius namuose. – Kaunas: Šiaurės Lietuva, 2002. – 50 p. ISBN 9986-705-90-8
  3. Vidmantas Pekarskas. Matematika: kurso kartojimo medžiaga. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 56 p. ISBN 5-430-03932-2
  4. Janina Šulčienė. Ar moki matematiką. – Kaunas: Šviesa, 2003. – 20 p. ISBN 5-430-03617-X
  5. Vidmantas Pekarskas. Matematika: kurso kartojimo medžiaga. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 60 p. ISBN 5-430-03932-2
  6. Janina Šulčienė. Ar moki matematiką. – Kaunas: Šviesa, 2003. – 23 p. ISBN 5-430-03617-X