Diferencialinė lygtis

Diferencialinė lygtis – lygtis, kuri sieja nežinomą funkciją, jos išvestines vieno ar keleto nepriklausomų kintamųjų atžvilgiu, ir šiuos nepriklausomus kintamuosius. Diferencialinės lygtys atlieka svarbų vaidmenį inžinerijoje, fizikoje, ekonomikoje ir kitose disciplinose.

Šilumos perdavimo vaizdavimas vamzdyje, sukurtas sprendžiant šilumos lygtį. Šiluma yra sukuriama vamzdyje ir atšaldoma jo ribose, užtikrinant nuostoviosios būsenos temperatūros pasiskirstymą.

Diferencialinė lygtis vadinama paprastąja, jei ieškoma funkcija yra vieno kintamojo funkcija. Jei diferencialinė lygtis sieja kelių kintamųjų funkciją ir jos dalines išvestines, ji vadinama dalinių išvestinių lygtimi.

Diferencialinių lygčių teorija atsirado 17 a. pabaigoje su diferencialiniu ir integraliniu skaičiavimu. Pirmieji diferencialines lygtis nagrinėjo Izaokas Niutonas ir G. V. Leibnicas (jis pirmasis pavartojo diferencialinių lygčių terminą).^[1]

Nomenklatūra

Diferencialinių lygčių teorija yra gana gerai išvystyta ir metodai tirti joms skiriasi priklausomai nuo lygties tipo.

Paprastoji diferencialinė lygtis (angliškas trumpinys ODE) yra diferencialinė lygtis, kurioje nežinoma funkcija yra paprastojo nepriklausomojo kintamojo funkcija.

Paprastosios diferencialinės lygtys toliau yra klasifikuojamos pagal jų aukščiausios nepriklausomojo kintamojo išvestinės eilę. Svarbiausi atvejai yra pirmo laipsnio ir antro laipsnio diferencialinės lygtys. Pavyzdžiui, Beselio diferencialinė lygtis.
$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0$

(kurioje

y

yra nepriklausomas kintamasis) yra antro laipsnio diferencialinė lygtis.

Dalinės diferencialinė lygtis (angliškas trumpinys PDE) yra diferencialinė lygtis, kurioje nežinoma funkcija yra sudėtinė nepriklausomų kintamųjų ir lygtyje yra dalinių išvestinių.

Abi paprastosios ir dalinės diferencialinės lygtys plačiai skirstomos į tiesines ir netiesines. Diferencialinė lygtis yra tiesinė, jeigu nežinoma funkcija ir jos išvestinės yra pirmo laipsnio, o netiesinės - priešingai.

Modeliavimas diferencialinėmis lygtimis

Dažnai diferencialinėmis lygtimis ir jų sistemomis aprašomi įvairūs fizikiniai, cheminiai, ekonominiai ir kitokie reiškiniai. Pavyzdžiui, kūnai vėsta pagal Niutono kūnų vėsimo dėsnį

${\frac {{\mbox{d}}T}{{\mbox{d}}t}}=-k\left(T-T_{a}\right)$ ,

kuris reiškia, kad kūno vėsimo greitis bet kurią akimirką tiesiogiai proporcingas kūno ir aplinkos temperatūrų skirtumui $T-T_{a}\;$ . Šios diferencialinės lygties sprendinys bus funkcija, rodanti, kaip kūno temperatūra keičiasi bėgant laikui:

$T=C{\mbox{e}}^{-kt}+T_{a}\;$

Konstantos $C\;$ ir $k\;$ randamos iš vadinamųjų pradinių sąlygų – kokia buvo kūno temperatūra dviem skirtingomis akimirkomis.

Pastebėtina, kad visada, kai kurio nors dydžio kitimo greitis bet kurią akimirką tiesiogiai proporcingas to dydžio vertei, to dydžio kitimą bėgant laikui nusakanti funkcija visada bus eksponentinė.