Vijeto teorema

Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į šaltinius. Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais.

Matematikoje, tiksliau algebroje, Vijeto teorema yra formulės, siejančios polinomų koeficientus su jų šaknimis. Teorema pavadinta jos sukūrėjo prancūzų matematiko Fransua Vijeto vardu.

Fransua Vijetas

Teorema

Pagal fundamentaliąją algebros teoremą, bet koks polinomas,

$p(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

kurio laipsnis yra n ≥ 1 (o koeficientai yra realieji arba kompleksiniai skaičiai a_n ≠ 0) turi n (nebūtinai skirtingų) kompleksinių šaknų x₁, x₂, ..., x_n.

Vijeto teorema sieja polinomų koeficientus { a_k } su jų šaknimis { x_i }:

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}$

Pavyzdžiai

Vijeto formulės kvadratiniam polinomui $p(X)=aX^{2}+bX+c\,$ ir jo šaknims $x_{1},x_{2}\,$ kvadratinėje lygtyje $p(X)=0\,$ yra

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}$

Pavyzdžiui, jei turime kvadratinę lygtį

$x^{2}-x-6=0,\,$

ją išspręsti galime pasinaudoję Vijeto teorema ir sudarę lygčių sistemą

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}={\frac {1}{1}}\\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-6}{1}}\end{cases}}$

Jei šią sistemą bandytume spręsti formaliai (pvz., išsireikšdami vieną iš kintamųjų), vėl gautume tą pačią lygtį. Praktikoje, naudojant Vijeto teoremą lygčių sprendimui, sprendinius x₁ ir x₂ bandoma „atspėti“ - sugalvoti tokius x₁ ir x₂, kad jie tenkintų lygčių sistemą. Šiuo atveju sprendiniai yra -2 ir 3.

Vijeto formulės kubiniam polinomui $p(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d\,$ ir jo šaknims $x_{1},x_{2},x_{3}\,$ lygtyje $p(X)=0\,$ yra

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}$