Skaičių sekos riba vadinama vertė, prie kurios artėja sekos narių vertės, tolstant į begalybę. Pavyzdžiui, turime seką:

Jokio sekos nario vertė nėra lygi nuliui, tačiau, kuo narys tolimesnis sekoje, tuo jo vertė artimesnė nuliui. Intuityviai suvokiame, kad sekos nariai artėja į nulį.

Tačiau toks apibrėžimas nėra tikslus ir netinkamas naudoti matematikoje. Griežtesnis apibrėžimas yra toks:

Jei , tai skaičių vadiname sekos riba. Jei tokio skaičiaus nėra – seka ribos neturi.

Kitaip tariant, jeigu egzistuoja toks sekos narys , nuo kurio pradedant, skirtumas tarp visų tolimesnių narių ir kažkokio skaičiaus yra mažesnis, nei kažkoks iš anksto nustatytas skaičius (jis gali būti kiek norima mažas), tai sakome, kad yra šios sekos riba. Iš esmės šis apibrėžimas atitinka mūsų natūralų suvokimą apie sekos ribą.

Seka, turinti baigtinę ribą, vadinama konverguojančia, neturinti ribos laikoma diverguojančia.[1]

Sekos ribą žymime:

Čia reiškia ribą, yra simbolinis žymėjimas, kad eilės numeris tolsta į begalybę, o yra n - tasis, t. y. bendrasis sekos narys.

Dalinės ribos

redaguoti

Jei seka { } turi konverguojantį posekį { }, šio posekio riba vadinama daline riba. Didžiausia sekos { } dalinė riba vadinama sekos viršutiniąja riba (žymima  ). Mažiausia sekos dalinė riba – apatinioji riba  .

Pavyzdžiui, seka   neturi ribos, tačiau turi du konverguojančius posekius:

  •   ir
  •  

Koši kriterijus

redaguoti

Ogiustenas Lui Koši suformulavo kriterijų, kurį tenkinančios sekos vadinamos Koši sekomis:

Seka   yra Koši seka, jei   konverguoja tada ir tik tada kai  .

Koši kriterijus yra būtina ir pakankama sekos konvergavimo sąlyga – visos konverguojančios sekos yra Koši sekos ir atvirkščiai. [Čia paimtas koši kriterijus ne sekoms, o skaičių eilutėm, reikia pataisyti.]

Ribų savybės

redaguoti

Tegul   ir  , tada galime atlikti tokius veiksmus:

  •  
  •  
  •  

arba

  •  
  •  
  •  

Skaičiavimas

redaguoti

Skaičiuodami ribas pasiremiame jų savybėmis ir keliomis elementariausiomis ribomis:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  


  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  


ir t. t. Dažnai ribos ženklas nerašomas, o rašoma tiesiog, pvz.:  . Toks užrašas suprantamas ne kaip lygybė, o kaip riba.

Ieškodami ribų galime tiesiog įrašyti begalybę vietoj  , tačiau dažniausiai gauname neapibrėžtumą, kurį ir reikia pašalinti, pvz.:

  •  
  •  

Skaičius e

redaguoti

Nepaprastai svarbi matematikoje yra tokia riba:

 
 

Ši vertė, vadinama skaičiumi e, yra viena svarbiausių matematinių konstantų.

Pavyzdžiai

redaguoti
  •  
  •  
  • Seka   diverguoja, t. y. ribos neturi.
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

 

  •  
  •  
  •  
  •  
 
  •  
 
  •  

kur keičiame kintamąjį:   Kadangi   tai  

  •  

 

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
 
  •  
 
  •  

kur       kai  

  • Rasime ribą  
Skaitiklis išskaidomas pagal formulę  
Vardiklis gali būti išskaidomas surandant jo sprendinius   ir  :
 
 
 

Kvadratinė lygtis yra išskaidoma  

 

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Šaltiniai

redaguoti
  1. Birutė Gražulevičienė. Mokyklinės matematikos žinynas. – Vilnius: Leidybos centras, 1997. – 21 p. ISBN 9986-03-264-4