Sekos riba

Skaičių sekos riba vadinama vertė, prie kurios artėja sekos narių vertės, tolstant į begalybę. Pavyzdžiui, turime seką:

Jokio sekos nario vertė nėra lygi nuliui, tačiau, kuo narys tolimesnis sekoje, tuo jo vertė artimesnė nuliui. Intuityviai suvokiame, kad sekos nariai artėja į nulį.

Tačiau toks apibrėžimas nėra tikslus ir netinkamas naudoti matematikoje. Griežtesnis apibrėžimas yra toks:

Jei , tai skaičių vadiname sekos riba. Jei tokio skaičiaus nėra – seka ribos neturi.

Kitaip tariant, jeigu egzistuoja toks sekos narys , nuo kurio pradedant, skirtumas tarp visų tolimesnių narių ir kažkokio skaičiaus yra mažesnis, nei kažkoks iš anksto nustatytas skaičius (jis gali būti kiek norima mažas), tai sakome, kad yra šios sekos riba. Iš esmės šis apibrėžimas atitinka mūsų natūralų suvokimą apie sekos ribą.

Jei seka turi baigtinę ribą, tai sakome, kad seka konverguoja, kitu atveju – diverguoja.

Sekos ribą žymime:

Čia reiškia ribą, yra simbolinis žymėjimas, kad eilės numeris tolsta į begalybę, o yra n - tasis, t. y. bendrasis sekos narys.

Dalinės ribosKeisti

Jei seka { } turi konverguojantį posekį { }, šio posekio riba vadinama daline riba. Didžiausia sekos { } dalinė riba vadinama sekos viršutiniąja riba (žymima  ). Mažiausia sekos dalinė riba – apatinioji riba  .

Pavyzdžiui, seka   neturi ribos, tačiau turi du konverguojančius posekius:

  •   ir
  •  

Koši kriterijusKeisti

Augustinas Koši suformulavo kriterijų, kurį tenkinančios sekos vadinamos Koši sekomis:

Seka   yra Koši seka, jei   konverguoja tada ir tik tada kai  .

Koši kriterijus yra būtina ir pakankama sekos konvergavimo sąlyga – visos konverguojančios sekos yra Koši sekos ir atvirkščiai. [Čia paimtas koši kriterijus ne sekoms, o skaičių eilutėm, reikia pataisyti.]

Ribų savybėsKeisti

Tegul   ir  , tada galime atlikti tokius veiksmus:

  •  
  •  
  •  

arba

  •  
  •  
  •  

SkaičiavimasKeisti

Skaičiuodami ribas pasiremiame jų savybėmis ir keliomis elementariausiomis ribomis:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  


  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  


ir t. t. Dažnai ribos ženklas nerašomas, o rašoma tiesiog, pvz.:  . Toks užrašas suprantamas ne kaip lygybė, o kaip riba.

Ieškodami ribų galime tiesiog įrašyti begalybę vietoj  , tačiau dažniausiai gauname neapibrėžtumą, kurį ir reikia pašalinti, pvz.:

  •  
  •  

Skaičius eKeisti

Nepaprastai svarbi matematikoje yra tokia riba:

 
 

Ši vertė, vadinama skaičiumi e, yra viena svarbiausių matematinių konstantų.

PavyzdžiaiKeisti

  •  
  •  
  • Seka   diverguoja, t. y. ribos neturi.
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

 

  •  
  •  
  •  
  •  
 
  •  
 
  •  

kur keičiame kintamąjį:   Kadangi   tai  

  •  

 

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
 
  •  
 
  •  

kur       kai  

  • Rasime ribą  
Skaitiklis išskaidomas pagal formulę  
Vardiklis gali būti išskaidomas surandant jo sprendinius   ir  :
 
 
 

Kvadratinė lygtis yra išskaidoma  

 

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •