Paviršinis integralas

Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas. Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi.

Paviršinis integralas – funkcijos, apibrėžtos paviršiuje, integralas. Paviršiniai integralai būna pirmojo ir antrojo tipo.

Pirmojo tipo paviršinis integralas

Paviršinis integralas pirmojo tipo apskaičiuoja erdvinio kūno paviršiaus plotą, jei $f[x,y,z(x,y)]=1.$ Paviršinis integralas pirmojo tipo kartu su dvilypiu integralu apskaičiuojamas pagal formulę: $\iint _{S}f(x,y,z)dS=\iint _{D}f[x,y,z(x,y)]{\sqrt {1+({\partial z(x,y) \over \partial x})^{2}+({\partial z(x,y) \over \partial y})^{2}}}dxdy.$

Paraboloidas.

• Apskaičiuosime integralą $\iint _{S}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}dS,$ kur S dalis paraboloido $z=1-x^{2}-y^{2},$ atpjauto plokštuma $z=0.$

Paviršius S, aprašomas lygtimi $z=1-x^{2}-y^{2},$ projektuojasi ant plokštumos xOy į sritį D, apribota apskritimu $x^{2}+y^{2}=1$ (apskritimo lygtis gaunasi iš paraboloido lygties kai $z=0$). Todėl sritis D yra skritulys $x^{2}+y^{2}\leq 1.$ Šiame skritulyje funkcijos $z=1-x^{2}-y^{2},$ $z_{x}'(x,y)=-2x,$ $z_{y}'(x,y)=-2y$ netrūkios. Pagal pirmojo tipo paviršinio integralo formule ${\sqrt {1+z_{x}'^{2}(x;y)+z_{y}'^{2}(x;y)}},$ gauname

$\iint _{S}f(x,y,z)dS=\iint _{D}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}dS=\iint _{D}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}{\sqrt {1+4x^{2}+4y^{2}}}dxdy=$ $=\iint _{D}(1+4x^{2}+4y^{2})dxdy.$

Pereidami gautame dvilypiame integrale į poliarines koordinates $x=\rho \cos \phi ,$ $y=\rho \sin \phi ,$ randame

$\iint _{D}(1+4x^{2}+4y^{2})dxdy=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{1}(1+4\rho ^{2})\rho d\rho =\int _{0}^{2\pi }({\rho ^{2} \over 2}+\rho ^{4})|_{0}^{1}={3 \over 2}\int _{0}^{2\pi }d\phi ={3 \over 2}\phi |_{0}^{2\pi }=3\pi .$

Antrojo tipo paviršinis integralas

$\iint _{S}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=$ $=\iint _{S}P(x,y,z)dydz+\iint _{S}Q(x,y,z)dzdx+\iint _{S}R(x,y,z)dxdy.$

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOy:

$\iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(x,y,f(x,y))dxdy.$

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje yOz:

$\iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(f(y,z),y,z)dydz.$

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOz:

$\iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(x,f(x,z),z))dzdx.$

Pavyzdžiai

• Apskaičiuosime integralą $\iint _{S}(y^{2}+z^{2})dxdy,$ kur S – viršutinė dalis paviršiaus $z={\sqrt {1-x^{2}}},$ atkirsta plokštumomis $y=0,$ $y=1.$

Projekcija D duotojo paviršiaus į plokštumą xOy yra stačiakampis, nusakomas neligybėmis $-1\leq x\leq 1,\;0\leq y\leq 1.$ Pagal formulę $\iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(x,y,f(x,y))dxdy$ randame

$\iint _{S}(y^{2}+z^{2})dxdy=\iint _{D}[y^{2}+({\sqrt {1-x^{2}}})^{2}]dxdy=\int _{-1}^{1}dx\int _{0}^{1}(y^{2}+1-x^{2})dy=$ $=\int _{-1}^{1}({y^{3} \over 3}+y-x^{2}y)|_{0}^{1}dx=\int _{-1}^{1}({4 \over 3}-x^{2})dx=({4 \over 3}x-{x^{3} \over 3})_{-1}^{1}={4 \over 3}-{1 \over 3}-(-{4 \over 3}+{1 \over 3})=1+1=2.$

• Apskaičiuosime integralą $\iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy,$ kur S viršutinė dalis plokštumos $x+z-1=0,$ atkirsta plokštumomis $y=0,$ $y=4$ ir gulinti pirmajame oktante.

Pagal apibrėžimą,

$\iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=$ $=\iint _{D_{1}}x(y,z)dydz+\iint _{S}ydzdx+\iint _{D_{2}}z(x,y)dxdy.$ Čia $D_{1}$ ir $D_{2}$ – projekcijos paviršiaus S į plokštumas yOz ir xOy, o $\iint _{S}ydzdx=0,$ nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy (ploštumos lygtyje $y=0$). Pagal formules $\iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(x,y,f(x,y))dxdy$ ir $\iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(f(y,z),y,z)dydz$ atitinkamai randame $\iint _{S}zdxdy=\iint _{D_{2}}(1-x)dxdy=\int _{0}^{4}dy\int _{0}^{1}(1-x)dx=\int _{0}^{4}(x-{x^{2} \over 2})|_{0}^{1}dy={1 \over 2}\int _{0}^{4}dy=2,$ $\iint _{S}xdydz=\iint _{D_{1}}(1-z)dydz=\int _{0}^{4}dy\int _{0}^{1}(1-z)dz={1 \over 2}\int _{0}^{4}dy=2.$

Todėl $\iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=2+0+2=4.$

Pakilusi iki pusės nupjauta sfera.

• Apskaičiuosime integralą $\iint _{S}(z-R)^{2}dxdy$ pagal viršutinę pusę pusiasferės $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2Rz,$ $R\leq z\leq 2R.$

Duotajį paviršių S galima aprašyti lygtimi

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2Rz,$

$x^{2}+y^{2}+(z-R)^{2}=R^{2},$

$(z-R)^{2}=R^{2}-x^{2}-y^{2},$

$z-R={\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}},$

$z=R+{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}.$

Todėl pagal formulę $\iint _{S}R(x,y,z)dxdy=\iint _{D}R(x,y,f(x,y))dxdy$ turime: $\iint _{S}(z-R)^{2}dxdy=\iint _{D}(R+{\sqrt {R^{2}-x^{2}-y^{2}}}-R)^{2}dxdy=\iint _{D}(R^{2}-x^{2}-y^{2})dxdy,$

kur D – skritulys $x^{2}+y^{2}\leq R$ plokštumos xOy, į kurį projektuojasi paviršius S. Skaičiuodami dvilipį integralą, gausime: $\iint _{S}(z-R)^{2}dxdy=\iint _{D}(R^{2}-x^{2}-y^{2})dxdy=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}(R^{2}-\rho ^{2})\rho d\rho =\int _{0}^{2\pi }({R^{2}\rho ^{2} \over 2}-{\rho ^{4} \over 4})|_{0}^{R}d\phi =$ $={R^{4} \over 4}\phi |_{0}^{2\pi }={\pi R^{4} \over 2}.$

Plokštuma S.

• Apskaičiuosime integralą $\iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy$ pagal viršutine pusę dalies plokštumos$x+2z=2,$ gulinčios pirmajame oktante, ir atpjautos plokštuma $y=4.$

Pagal nustatymą $\iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=\iint _{S}xdydz+\iint _{S}ydzdx+\iint _{S}zdxdy.$ $\iint _{S}xdydz=\iint _{D_{1}}(2-2z)dydz=2\int _{0}^{4}dy\int _{0}^{1}(1-z)dz=4.$

$\iint _{S}ydzdx=0,$ nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy.

$\iint _{S}zdxdy=\iint _{D_{2}}(1-{x \over 2})dxdy=\int _{0}^{4}dy\int _{0}^{2}(1-{x \over 2})dx=\int _{0}^{4}(x-{x^{2} \over 4})|_{0}^{2}dy=$

$=\int _{0}^{4}(2-{2^{2} \over 4})dy=\int _{0}^{4}dy=y|_{0}^{4}=4.$

Todėl,

$\iint _{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=4+0+4=8.$