Paviršinis integralas

 NoFonti.svg  Šiam straipsniui ar jo daliai trūksta išnašų į šaltinius.
Jūs galite padėti Vikipedijai pridėdami tinkamas išnašas su šaltiniais.


 Edit-copy purple-Wikibooks.svg  Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas.
Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi.

Paviršinis integralas - integralas, skirtas apskaičiuoti kūno paviršiaus plotą. Paviršiniai integralai būna pirmojo ir antrojo tipo.

Pirmojo tipo paviršinis integralasKeisti

Paviršinis integralas pirmojo tipo apskaičiuoja erdvinio kūno paviršiaus plotą, jei   Paviršinis integralas pirmojo tipo kartu su dvilypiu integralu apskaičiuojamas pagal formulę:  

 
Paraboloidas.
  • Apskaičiuosime integralą   kur S dalis paraboloido   atpjauto plokštuma  
Paviršius S, aprašomas lygtimi   projektuojasi ant plokštumos xOy į sritį D, apribota apskritimu   (apskritimo lygtis gaunasi iš paraboloido lygties kai  ). Todėl sritis D yra skritulys   Šiame skritulyje funkcijos       netrūkios. Pagal pirmojo tipo paviršinio integralo formule   gauname

   

Pereidami gautame dvilypiame integrale į poliarines koordinates     randame

 

Antrojo tipo paviršinis integralasKeisti

   

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOy:

 

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje yOz:

 

Paviršius S projektuojamas į sritį D plokštumoje xOz:

 

PavyzdžiaiKeisti

  • Apskaičiuosime integralą   kur S - viršutinė dalis paviršiaus   atkirsta plokštumomis    
Projekcija D duotojo paviršiaus į plokštumą xOy yra stačiakampis, nusakomas neligybėmis   Pagal formulę   randame

   


  • Apskaičiuosime integralą   kur S viršutinė dalis plokštumos   atkirsta plokštumomis     ir gulinti pirmajame oktante.
Pagal apibrėžimą,

    Čia   ir   - projekcijos paviršiaus S į plokštumas yOz ir xOy, o   nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy (ploštumos lygtyje  ). Pagal formules   ir   atitinkamai randame    

Todėl  

 
Pakilusi iki pusės nupjauta sfera.
  • Apskaičiuosime integralą   pagal viršutinę pusę pusiasferės    
Duotajį paviršių S galima aprašyti lygtimi
 
 
 
 
 

Todėl pagal formulę   turime:  

kur D - skritulys   plokštumos xOy, į kurį projektuojasi paviršius S. Skaičiuodami dvilipį integralą, gausime:    

 
Plokštuma S.
  • Apskaičiuosime integralą   pagal viršutine pusę dalies plokštumos  gulinčios pirmajame oktante, ir atpjautos plokštuma  

Pagal nustatymą    

  nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy.
 

 

Todėl,