Deltaedras

Deltaedras yra briaunainis, kurio sienos yra lygiakraščiai trikampiai. Figūros pavadinimas kilęs iš graikų abėcėlės mažosios raidės delta (Δ), kuri primena lygiakraštį trikampį. Egzistuoja be galo daug deltaedrų, bet tik aštuoni yra iškilieji briaunainiai, turintys 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 ir 20 sienų.[1] Šie deltaedrai aprašyti žemiau pateikiamoje lentelėje.

Didžiausias griežtai iškilas deltaedras yra ikosaedras.
Nupjautinio tetraedro šešiakampės sienos suskirstytos į trikampius. Tokia figūra nebegali būti laikoma griežtai iškilu deltaedru, kadangi pagal apibrėžimą sienos negali būti išsidėsčiusios vienoje plokštumoje.

Aštuoni iškilieji deltaedraiKeisti

Iš viso egzistuoja tik aštuoni griežtai iškilūs deltaedrai: trys taisyklingieji briaunainiai ir penki Džonsono kūnai.

Taisyklingieji deltaedrai
Vaizdas Pavadinimas Sienos Briaunos Viršūnės Viršūnės planas Simetrijos grupė
  tetraedras 4 6 4 4 × 33 Td, [3,3]
  oktaedras 8 12 6 6 × 34 Oh, [4,3]
  ikosaedras 20 30 12 12 × 35 Ih, [5,3]
Džonsono deltaedrai
Vaizdas Pavadinimas Sienos Briaunos Viršūnės Viršūnės planas Simetrijos grupė
  trikampė bipiramidė 6 9 5 2 × 33
3 × 34
D3h, [3,2]
  penkiakampė bipiramidė 10 15 7 5 × 34
2 × 35
D5h, [5,2]
  nusklembtas disfenoidas 12 18 8 4 × 34
4 × 35
D2d, [2,2]
  tetrakaidekadeltaedras 14 21 9 3 × 34
6 × 35
D3h, [3,2]
  hekkaidekadeltaedras 16 24 10 2 × 34
8 × 35
D4d, [4,2]

Kai kurios šešiasienių deltaedrų viršūnės yra trečio laipsnio, o kai kurios – ketvirto. Kai kurių 10, 12, 14 ir 16 sienų turinčių deltaedrų viršūnės yra ketvirto laipsnio, o kai kurios – penkto. Penki netaisyklingieji deltaedrai yra Džonsono kūnai: iškilūs briaunainiai, kurių sienos yra taisyklingi daugiakampiai.

Deltaedrai išsaugo savo pavidalą net jei briaunoms leidžiama laisvai suktis apie savo viršūnę taip, kad kampai tarp briaunų gali būti neišsaugoti. Ne visi briaunainiai turi šią savybę: pavyzdžiui, jei atpalaiduotume kai kuriuos kubo kampus, jį galėtume deformuoti į nestačiąją stačiakampę prizmę.

Griežtai iškilas 18 sienų deltaedras negali būti sudarytas.[2] Nors leidžiant sutrumpinti kai kurias ikosaedro briaunas, galima gauti tam tikrą oktadekaedrą, kurio iškilumas gali būti išsaugotas, jei visos 18 sienų bus įvairiakraščiai trikampiai, arba išsaugant lygiakraščius trikampius, bet tada dvi plokštumoje išsidėsčiusios grupės po tris trikampius.

Negriežtai iškili deltaedraiKeisti

Galima sudaryti begalinę aibę briaunainių, kurių visos ar kai kurios sienos būtų koplanariniai trikampiai (išsidėstę vienoje plokštumoje), kitaip tariant kurių sienas sudarytų trikampiai klojiniai. Koplanarinių trikampių sienos gali jungtis į rombines, trapecines, šešiakampes ir kitokias lygiakraščių daugiakampių sienas[3] Jeigu koplanarinių ttrikampių grupes laikysime viena siena, pavyzdžiui:  ,  ,  ,  ,  ,  ,   ir  , ..., tokius briaunainius turėtume laikyti negriežtai iškilais deltaedrais.

Lentelėje pateikiama keletas mažesnių pavyzdžių:

Koplanariniai deltaedrai
Vaizdas Pavadinimas Sienos Briaunos Viršūnės Viršūnės planas Simetrijos grupė
  Priaugintas oktaedras
Priauginimas
1 tetr + 1 okta
10   15 7 1 × 33
3 × 34
3 × 35
0 × 36
C3v, [3]
4  
3  
12
  Trikampis trapecoedras
Priauginimas
2 tetr + 1 okta
12   18 8 2 × 33
0 × 34
6 × 35
0 × 36
C3v, [3]
6   12
  Priauginimas
2 tetr + 1 okta
12   18 8 2 × 33
1 × 34
4 × 35
1 × 36
C2v, [2]
2  
2  
2  
11 7
  Trikampė nupjautinė piramidė
Priauginimas
3 tetr + 1 okta
14   21 9 3 × 33
0 × 34
3 × 35
3 × 36
C3v, [3]
1  
3  
1  
9 6
  Ištęstas oktaedras
Priauginimas
2 tetr + 2 okta
16   24 10 0 × 33
4 × 34
4 × 35
2 × 36
D2h, [2,2]
4  
4  
12 6
  Tetraedras
Priauginimas
4 tetr + 1 okta
16   24 10 4 × 33
0 × 34
0 × 35
6 × 36
Td, [3,3]
4   6 4
  Priauginimas
3 tetr + 2 okta
18   27 11 1 × 33
2 × 34
5 × 35
3 × 36
D2h, [2,2]
2  
1  
2  
2  
14 9
  Sutrumpintų briaunų
ikosaedras
18   27 11 0 × 33
2 × 34
8 × 35
1 × 36
C2v, [2]
12  
2  
22 10
  Trikampė nupjautinė bipiramidė
Priauginimas
6 tetr + 2 okta
20   30 12 0 × 33
3 × 34
6 × 35
3 × 36
D3h, [3,2]
2  
6  
15 9
  Trikampis kupolas
Priauginimas
4 tetr + 3 okta
22   33 13 0 × 33
3 × 34
6 × 35
4 × 36
C3v, [3]
3  
3  
1  
1  
15 9
  Trikampė bipiramidė
Priauginimas
8 tetr + 2 okta
24   36 14 2 × 33
3 × 34
0 × 35
9 × 36
D3h, [3]
6   9 5
  Šešiakampė antiprizmė 24   36 14 0 × 33
0 × 34
12 × 35
2 × 36
D6d, [12,2+]
12  
2  
24 12
  Nupjautinis tetraedras
Priauginimas
6 tetr + 4 okta
28   42 16 0 × 33
0 × 34
12 × 35
4 × 36
Td, [3,3]
4  
4  
18 12
  Tetrakis kuboktaedras
Oktaedras

Priauginimas
8 tetr + 6 okta
32   24 18 0 × 33
12 × 34
0 × 35
6 × 36
Oh, [4,3]
8   12 6

Neiškilosios formosKeisti

Egzistuoja begalinė daugybė neiškilųjų deltaedrų.

Keli susikertančių sienų deltaedrai:

Kiti dažniau nagrinėjami neiškilieji deltaedrai gaunami iš visų 5 Platono kūnų, kai prie jų sienų priauginamos lygiakraštės piramidės:

         
triakis* tetraedras tetrakis* heksaedras triakis* oktaedras
(stella octangula)
pentakis* dodekaedras triakis* ikosaedras
12 trikampių 24 trikampiai 60 trikampių

* Pastaba: graikų lotynų kalbų hibridai triakis, tetrakis, pentakis reiškia, kad sienoje yra iškilusios atitinkamai 3, 4 ar 5 briaunos, arba „keteros“.

Kai kurie kitokie tetraedro priauginimai:

Pavyzdžiai: Priauginti tetraedrai
     
8 trikampiai 10 trikampių 12 trikampių

Deltaedrai gaunami ne tik priauginant piramides, bet ir atvirkščiu veiksmu – išduobiant sienas piramidėmis:

 
Išduobtas dodekaedras
 
A toroidinis deltaedras
60 trikampių 48 trikampiai

Tarp aukštesnų matavimų figūrų, deltaedrams yra giminingi simpleksiniai politopai, kurių kiekvienas fasetas yra simpleksas.

NuorodosKeisti

  1. Freudenthal, 1947
  2. Trigg, Charles W. (1978), "An Infinite Class of Deltahedra", Mathematics Magazine 51(1): 55–57 .
  3. The Convex Deltahedra And the Allowance of Coplanar Faces
  • Freudenthal, H & van der Waerden, B. L. (1947), "Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid")" (in Dutch), Simon Stevin 25: 115–128  (Įrodoma, kad egzistuoja tik 8 iškilieji deltaedrai.)
  • O. Rausenberger Konvexe pseudoreguläre Polyeder. Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht 46, 135-142, 1915.
  • H. Martyn Cundy Deltahedra. Math. Gaz. 36, 263-266, Dec 1952. [1]
  • H. Martyn Cundy and A. Rollett Deltahedra. §3.11 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 142–144, 1989.
  • Charles W. Trigg An Infinite Class of Deltahedra, Mathematics Magazine, Vol. 51, No. 1 (Jan., 1978), pp. 55–57 [2]
  • M. Gardner Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations, Scientific American Magazine. New York: W. H. Freeman, pp. 40, 53, and 58-60, 1992.
  • Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. pp. 35–36