Džonsono kūnas
Džonsono kūnas – tai geometrinė figūra, kuri yra griežtai iškilas briaunainis, kurio kiekviena siena yra taisyklingasis daugiakampis, bet kuris nėra tolygusis briaunainis (vadinasi, Džonsono kūnais nėra nei Platono, nei Archimedo kūnai, nei prizmės, nei antiprizmės. Šios klasės briaunainiams nekeliamas reikalavimas, kad visos sienos būtų tokie patys daugiakampiai, nei kad prie viršūnės susieitų vienodi daugiakampiai. Paprastas Džonsono kūno pavyzdys yra keturkampė lygiašonė piramidė, kuri kaip Džonsono kūnas žymima J1; jos viena siena yra kvadratas, o kitos keturios sienos – trikampiai.
Kaip ir kiekvienam griežtai iškilam geometriniam kūnui, viršūnėje turi susieiti ne mažiau kaip trys sienos ir jų kampų prie viršūnės suma turi būti mažesnė nei 360 laipsnių. Kadangi mažiausias taisyklingo daugiakampio kampas yra lygus 60 laipsnių, vadinasi, vienoje viršūnėje gali sueiti ne daugiau, kaip penkios sienos. Penkiakampė piramidė (J2) yra figūros, turinčios penkto laipsnio viršūnę (t. y. viršūnę, į kurią sueina 5 sienos), pavyzdys.
Nors nėra jokių akivaizdžių apribojimų, neleidžiančių bet kokiam taisyklingam daugiakampiui būti Džonsono kūno siena, bet reikalavimas, kad kiekviena siena būtų taisyklingas daugiakampis sukuria tokias sąlygas, kad šių kūnų sienos visada būna tik taisyklingi trikampiai, keturkampiai, penkiakampiai, šešiakampiai, aštuonkampiai ir dešimtkampiai, t. y. sienų daugiakampiai turi 3, 4, 5, 6, 8 arba 10 kraštinių.
1966 metais JAV matematikas Normanas Džonsonas (Norman Johnson) publikavo sąrašą, į kurį buvo įtraukti 92 kūnai, kuriems buvo suteikti pavadinimai ir nomenklatūriniai numeriai (J1, J2 ir t. t.). Nors Džonsonas neįrodė, kad šios klasės figūros yra tik 92, bet jis numatė, kad taip turėtų būti. 1969 metais tuometinis TSRS mokslininkas (dabar Izraelio) Viktoras Zalgaleris (Виктор Абрамович Залгаллер) įrodė, kad egzistuoja tik 92 Džonsono kūnai.
Vienas Džonsono kūnų, pailgėjęs kvadratinis girobikupolas (J37), dar vadinamas pseudorombiniu kuboktaedru[1] yra unikalus tuo, kad pasižymi vietiniu viršūnių tolygumu: kiekvienoje viršūnėje sueina 4 sienos ir jos išsidėsčiusios vienodai po 3 kvadratus ir vieną trikampį. Bet šis briaunainis nėra tranzityvus viršūnių atžvilgiu, kadangi viršūnių izometrija yra skirtinga, todėl, nors ir labai artimas, jis negali būti Archimedo kūnas.
Pavadinimai redaguoti
Džonsono kūnų pavadinimai atrodo painūs, bet jie yra informatyvūs. Daugelis šių kūnų yra konstruojami iš piramidžių, kupolų ir rotondų, taip pat iš Platono ir Archimedo kūnų bei prizmių ir antiprizmių.
Pavadinime:
- Bi- reiškia, kad imamos dvi tam tikro kūno kopijos ir sudedamos pagrindas prie pagrindo. Kupolų ir rotondų atveju du vienodi kūnai gali būti suglausti taip, kad glaustųsi vienodos sienos, tada atsiranda priešdėlis orto- (gr. ortho- 'vietoje'), arba skirtingos, – tada atsiranda priešdėlis giro- (gr. gyro 'ratas, pasukta'). Pagal šią taisyklę oktaedras būtų kvadratrinė bipiramidė, kuboktaedras – trikampis girobikupolas, o ikosidodekaedras – penkiakampė girobirotonda.
- Pailgėjęs reiškia, kad prie bazinio kūno pagrindo yra priglausta prizmė, arba ji įterpta tarp dviejų aukščiau aprašytu būdu suglaudžiamų kūnų. Šiuo atveju rombinis kuboktaedras būtų pailgėjęs kvadratinis ortobikupolas
- Giropailgėjęs reiškia, kad prie bazinio kūno pagrindo priglausta antiprizmė, arba ji įterpta tarp dviejų aukščiau aprašytu būdu suglaudžiamų kūnų. Pagal tokią formuluotę ikosaedras būtų giropailgėjusi penkiakampė bipiramidė.
- Priaugintas reiškia, kad iš briaunainio sienos yra iškelta (išauginta) primadė arba kupolas.
- Pažemintas reiškia, kad nuo briaunainio sienos pašalinta piramidė arba kupolas.
- Pasuktas reiškia, kad kupolas ant bazinio briaunainio buvo pasuktas taip, kad briaunoje sutaptų skirtingų daugiakampių kraštinės, taip, kaip ortobikupolo ir girobikupolo atveju.
Paskutiniai trys veiksmai (priauginimas, pažeminimas ir pasukimas), kai bazinis kūnas yra didelis (susideda iš daugelio daugiakampių), gali būti atlikti daugiau kaip vieną kartą. Tada, kad būtų parodytas pasukimo laipsnis pridedamas atitinkamas priešdėlis prie veiksmo pavadinimo: bi-, jei veiksmas atliktas dukart (bipasuktas kūnas – abu jo kupolai pasukti); tri-, jei veiksmas atliktas triskart (tripažemintas kūnas – nuo trijų sienų pašalintos piramidės ar kupolai).
Kartais nepakanka vien priešdėlio bi-. Reikalinga galimybė pažymėti skirtumą, kai yra pakeistos dvi lygiagrečios sienos arba dvi įstrižai išsidėsčiusios sienos. Tada naudojami šie priešdėliai: para-, kai veiksmas atliktas su lygiagrečiomis sienomis (parabipriaugintas kūnas turi dvi lygiagrečias sienas, kuriose iškeltos piramidės); meta-, kai veiksmas atliekamas su nelygiagrečiomis sienomis (metabipriaugintas kūnas turi dvi įžambiai išsidėsčiusias sienas, kuriose yra iškeltos piramidės).
Kelių paskutinių Džonsono kūnų pavadinimai sudaromi iš tam tikrų specifiškai daugiakampių junginių, iš kurių jie sudaryti. Kaip nurodo pats Džonsonas[2]:
- lune (angl. lune 'pusmėnulis') vadinsime kompleksą iš dviejų trikampių priglaustų prie priešingų kvadrato pusių, sfeno (angl. spheno 'pleištas') vadinsime pleišto pavidalo kompleksą, sudarytą iš dviejų suglaustų pusmėnulių. Disfeno (angl. dispheno) žymėsime du pleištus, o hebesfeno (angl. hebespheno) bukesnį darinį iš dviejų pusmėnulių, tarp kurių įsiterpia trečias pusmėnulis. Dūrinio kamienas korona (angl. corona 'vainikas') nusako vainiko pavidalo kompleksą iš aštuonių trikampių, o megakorona – panašus kompleksas iš 12 trikampių. Kamienas singulum (angl. cingulim 'apvadas') žymi juostą iš 12 trikampių.
Džonsono kūnų suskirstymas grupėmis redaguoti
Piramidės redaguoti
Pirmi du Džonsono kūnai, J1 ir J2, yra piramidės. Trikampė piramidė yra taisyklingas tetraedras, kuris nėra Džonsono kūnas.
| Taisyklinga | J1 | J2 |
|---|---|---|
| Trikampė piramidė (Tetraedras) |
Kvadratinė piramidė | Penkiakampė piramidė |
|
|
|
|
|
|
Kupolai ir rotondos redaguoti
Kiti keturi Džonsono kūnai yra trys kupolai ir viena rotonda. Jie yra tolygiųjų briaunainių nuopjovos.
| Kupolai | Rotonda | |||
|---|---|---|---|---|
| Tolygūs | J3 | J4 | J5 | J6 |
| Trikampė prizmė | Trikampis kupolas | Kvadratinis kupolas | Penkiakampis kupolas | Penkiakampė rotonda |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| Susiję tolygieji briaunainiai | ||||
| Kuboktaedras | Rombinis kuboktaedras | Rombinis ikosidodekaedras | Ikosidodekaedras | |
|
|
|
| |
Pailgėjusios ir giropailgėjusios piramidės redaguoti
Kiti penki Džonsono kūnai yra pailgėjusios ir giropailgėjusios piramidės. Jos yra dviejų briaunainių kompozicija arba priaugimas. Giropailgėjusios trikampės piramidės atveju susidaro trys poros gretimų trikampių, kurie išsidėsto vienoje plokštumoje ir sudaro nekvadratinį rombą, tad ši figūra nėra Džonsono kūnas.
| Pailgėjusios piramidės (arba priaugintos prizmės) |
Giropailgėjusios piramidės (arba priaugintos antiprizmės) | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J7 | J8 | J9 | Koplanarinė | J10 | J11 |
| Pailgėjusi trikampė piramidė | Pailgėjusi kvadratinė piramidė | Pailgėjusi penkiakampė piramidė | Giropailgėjusi trikampė piramidė | Giropailgėjusi kvadratinė piramidė | Giropailgėjusi penkiakampė piramidė |
| Priauginta trikampė prizmė | Priaugintas kubas | Priauginta penkiakampė prizmė | Priaugintas oktaedras | Priauginta kvadratinė antiprizmė | Priauginta penkiakampė antiprizmė |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Priauginta iš briaunainių | |||||
| tetraedras trikampė prizmė |
kvadratinė piramidė kubas |
penkiakampė piramidė penkiakampė prizmė |
tetraedras oktaedras |
kvadratinė piramidė kvadratinė antiprizmė |
penkiakampė piramidė penkiakampė antiprizmė |
|
|
|
|
|
|
Bipiramidės redaguoti
Kiti penki Džonsono kūnai yra bipiramidės, pailgėjusios bipiramidės ir giropailgėjusios bipiramidės:
| Bipiramidės | pailgėjusios bipiramidės | giropailgėjusios bipiramidės | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| J12 | Taisyklingas | J13 | J14 | J15 | J16 | Koplanarus | J17 | Taisyklingas |
| Trikampė bipiramidė | Kvadratinė bipiramidė (oktaedras) |
Penkiakampė bipiramidė | Pailgėjusi trikampė bipiramidė | Pailgėjusi kvadratinė bipiramidė | Pailgėjusi penkiakampė bipiramidė | Giropailgėjusi trikampė bipiramidė (romboedras) |
Giropailgėjusi kvadratinė bipiramidė | Giropailgėjusi penkiakampė bipiramidė (ikosaedras) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| Priauginta iš briaunainių | ||||||||
| tetraedras | kvadratinė piramidė | penkiakampė piramidė | tetraedras trikampė prizmė |
kvadratinė piramidė kubas |
penkiakampė piramidė penkiakampė prizmė |
tetraedras oktaedras |
kvadratinė piramidė kvadratinė antiprizmė |
penkiakampė piramidė penkiakampė antiprizmė |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pailgėję kupolai ir rotondos redaguoti
| Pailgėję kupolai | Pailgėjusios rotondos | Giropailgėję kupolai | Giropailgėjusios rotondos | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Koplanarus | J18 | J19 | J20 | J21 | Įgaubtas | J22 | J23 | J24 | J25 |
| Pailgėjęs įstrižinis kupolas | Pailgėjęs trikampis kupolas | Pailgėjęs kvadratinis kupolas | Pailgėjęs penkiakampis kupolas | Pailgėjusi penkiakampė rotonda | Giropailgėjęs įstrižinis kupolas | Giropailgėjęs trikampis kupolas | Giropailgėjęs kvadratinis kupolas | Giropailgėjęs penkiakampis kupolas | Giropailgėjusi penkiakampė rotonda |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| Priauginta iš briaunainių | |||||||||
| Kvadratinė prizmė Trikampė prizmė |
Šešiakampė prizmė Trikampis kupolas |
Aštuoniakampė prizmė Kvadratinis kupolas |
Dešimtkampė prizmė Penkiakampis kupolas |
Dešimtkampė prizmė Penkiakampė rotonda |
Kvadratinė antiprizmė Trikampė prizmė |
Šešiakampė antiprizmė Trikampis kupolas |
Aštuoniakampė antiprizmė Kvadratinis kupolas |
Dešimtkampė antiprizmė Penkiakampis kupolas |
Dešimtkampė antiprizmė Penkiakampė rotonda |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bikupolai redaguoti
Trikampis girobikupolas yra pustaisyklingis briaunainis (šiuo atveju jis yra Archimedo, o ne Džonsono kūnas).
| Ortobikupolai | Girobikupolai | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Koplanarus | J27 | J28 | J30 | J26 | Pustaisyklingis | J29 | J31 |
| Digonalinis ortobikupolas | Trikampis ortobikupolas | Kvadratinis ortobikupolas | Penkiakampis ortobikupolas | Digonalinis girobikupolas girobifastigijus (lot. fastigium 'dvišlaitis stogas') |
Trikampis girobikupolas (kuboktaedras) |
Kvadratinis girobikupolas | Penkiakampis girobikupolas |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| Priauginta iš briaunainių | |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kupolrotondos ir birotondos redaguoti
| Kupolai-rotondos | Birotondos | ||
|---|---|---|---|
| J32 | J33 | J34 | Pustaisyklingis |
| Penkiakampė ortokupolrotonda | Penkiakampė girokupolrotonda | Penkiakampė ortobirotonda | Penkiakampė girobirotonda ikosidodekaedras |
|
|
|
|
|
|
|
|
| Priauginta iš briaunainių | |||
| Penkiakampis kupolas Penkiakampė rotonda |
Penkiakampė rotonda | ||
|
|
| ||
Pailgėję bikupolai redaguoti
| Pailgėję ortobikupolai | Pailgėję girobikupolai | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Koplanarus | J35 | Pustaisyklingis | J38 | Koplanarus | J36 | J37 | J39 |
| Pailgėjęs digonalinis ortobikupolas | Pailgėjęs trikampis ortobikupolas | Pailgėjęs kvadratinis ortobikupolas (rombinis kuboktaedras) |
Pailgėjęs penkiakampis ortobikupolas | Pailgėjęs digonalinis girobikupolas | Pailgėjęs trikampis girobikupolas | Pailgėjęs kvadratinis girobikupolas | Pailgėjęs penkiakampis girobikupolas |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
Pailgėjusios kupolrotondos ir birotondos redaguoti
| Pailgėjusios kupolai-rotondos | Pailgėjusios birotondos | ||
|---|---|---|---|
| J40 | J41 | J42 | J43 |
| Pailgėjusi penkiakampė ortokupolrotonda | Pailgėjusi penkiakampė girokupolrotonda | Pailgėjusi penkiakampė ortobirotonda | Pailgėjusi penkiakampė girobirotonda |
|
|
|
|
|
|
|
|
Giropailgėję kupolai, giropailgėjusios kupolrotondos ir birotondos redaguoti
Šie Džonsono kūnai turi dvi chiralines formas.
| Giropailgėję bikupolai | Giropailgėjusios kupolrotondos | Giropailgėjusios birotondos | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Įgaubtas | J44 | J45 | J46 | J47 | J48 |
| Giropailgėjęs digonalinis bikupolas | Giropailgėjęs trikampis bikupolas | Giropailgėjęs kvadratinis bikupolas | Giropailgėjęs penkiakampis bikupolas | Giropailgėjusi penkiakampė kupolrotonda | Giropailgėjusi penkiakampė birotonda |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| Priauginta iš briaunainių | |||||
| Trikampė prizmė Kvadratinė antiprizmė |
Trikampis kupolas Šešiakampė antiprizmė |
Kvadratinis kupolas Aštuoniakampė antiprizmė |
Penkiakampis kupolas Dešimtkampė antiprizmė |
Penkiakampis kupolas Penkiakampė rotonda Dešimtkampė antiprizmė |
Penkiakampė rotonda Dešimtkampė antiprizmė |
|
|
|
|
|
|
|
Priaugintos trikampės prizmės redaguoti
| J7 (kartojasi) |
J49 | J50 | J51 | |
|---|---|---|---|---|
| Pailgėjusi trikampė piramidė | Priauginta trikampė prizmė | Bipriauginta trikampė prizmė | Tripriauginta trikampė prizmė | |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
| Priauginta iš briaunainių | ||||
| Trikampė prizmė tetraedras |
Trikampė prizmė Kvadratinė piramidė | |||
|
|
| |||
Priaugintos penkiakampės ir šešiakampės prizmės redaguoti
| Priaugintos penkiakampės prizmės | Priaugintos šešiakampės prizmės | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J52 | J53 | J54 | J55 | J56 | J57 |
| Priauginta penkiakampė prizmė | Bipriauginta penkiakampės prizmė | Priauginta šešiakampė prizmė | Parabipriauginta šešiakampė prizmė | Metabipriauginta šešiakampė prizmė | Tripriauginta šešiakampė prizmė |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Priauginta iš briaunainių | |||||
| Penkiakampė prizmė Kvadratinė piramidė |
Šešiakampė prizmė Kvadratinė piramidė | ||||
|
|
| ||||
Priauginti dodekaedrai redaguoti
| Taisyklingas | J58 | J59 | J60 | J61 |
|---|---|---|---|---|
| Dodekaedras | Priaugintas dodekaedras | Parabipriaugintas dodekaedras | Metabipriaugintas dodekaedras | Tripriaugintas dodekaedras |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Priauginta iš briaunainių | ||||
| Dodekaedras ir penkiakampė piramidė | ||||
|
| ||||
Pažeminti ikosaedrai redaguoti
| J63 | J62 | J11 (kartojasi) |
Taisyklingas | J64 |
|---|---|---|---|---|
| Tripažemintas ikosaedras | Metabipažemintas ikosaedras | Pažemintas ikosaedras (Giropailgėjusi penkiakampė piramidė) |
Ikosaedras | Priaugintas tripažemintas ikosaedras |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Priauginta iš briaunainių | ||||
| Tripažemintas ikosaedras, penkiakampė piramidė ir tetraedras | ||||
|
| ||||
Priaugintas nupjautinis tetraedras ir nupjautiniai kubai redaguoti
| J65 | J66 | J67 |
|---|---|---|
| Priaugintas nupjautinis tetraedras | Priaugintas nupjautinis kubas | Bipriaugintas nupjautinis kubas |
|
|
|
|
|
|
| Priauginta iš briaunainių | ||
| nupjautinis tetraedras trikampis kupolas |
nupjautinis kubas kvadratinis kupolas | |
|
| |
Priauginti nupjautiniai dodekaedrai redaguoti
| Pustaisyklingis | J68 | J69 | J70 | J71 |
|---|---|---|---|---|
| Nupjautinis dodekaedras | Priaugintas nupjautinis dodekaedras | Parabipriaugintas nupjautinis dodekaedras | Metabipriaugintas nupjautinis dodekaedras | Tripriaugintas nupjautinis dodekaedras |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pasukti rombiniai ikosidodekaedrai redaguoti
| J72 | J73 | J74 | J75 |
|---|---|---|---|
| Pasuktas rombinis ikosidodekaedras | Parabipasuktas rombinis ikosidodekaedras | Metabipasuktas rombinis ikosidodekaedras | Tripasuktas rombinis ikosidodekaedras |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pažeminti rombiniai ikosidodekaedrai redaguoti
| J76 | J77 | J78 | J79 |
|---|---|---|---|
| Pažemintas rombinis ikosidodekaedras | Parapasuktas pažemintas rombinis ikosidodekaedras | Metapasuktas pažemintas rombinis ikosidodekaedras | Bipasuktas pažemintas rombinis ikosidodekaedras |
|
|
|
|
|
|
|
|
| J80 | J81 | J82 | J83 |
| Parabipažemintas rombinis ikosidodekaedras | Metabipažemintas rombinis ikosidodekaedras | Pasuktas bipažemintas rombinis ikosidodekaedras | Tripažemintas rombinis ikosidodekaedras |
|
|
|
|
|
|
|
|
Nusklembtos antiprizmės redaguoti
Nusklembtos (angl. snub) antiprizmės konstruojamos kaip pakeistos nupjautinės antiprizmės. Dvi iš jų yra Džonsono kūnai, o kitos negali būti sudarytos iš taisyklingų trikampių.
| J84 | Taisyklingas | J85 | Netaisyklingas |
|---|---|---|---|
| Džonsono kūnas | Taisyklingas | Džonsono kūnas | Įgaubtas… |
 nusklembtas disfenoidas ss{2,4} |
 ikosaedras ss{2,6} |
 nusklembta kvadratinė antiprizmė ss{2,8} |
 ss{2,10}… |
|
|
|
Kiti redaguoti
| J86 | J87 | J88 | |
|---|---|---|---|
| Sfenokorona | Priauginta sfenokorona | Sfenomegakorona | |
|
|
| |
|
|
| |
| J89 | J90 | J91 | J92 |
| Hebesfenomegakorona | Disfenocingulum | Bilunabirotonda | Trikampė hebesfenorotonda |
|
|
|
|
|
|
|
|
Klasifikavimas pagal sienų tipus redaguoti
Džonsono kūnai trikampėmis sienomis redaguoti
Penki Džonsono kūnai yra deltaedrai, nes visos jų sienos yra lygiakraščiai trikampiai:
|
|
Džonsono kūnai trikampėmis ir kvadratinėmis sienomis redaguoti
Dvidešimt keturių Džonsono kūnų sienos yra vien trikampiai ir kvadratai:
|
|
|
Džonsono kūnai trikampėmis ir penkiakampėmis sienomis redaguoti
Vienuolikos Džonsono kūnų sienos yra vien trikampiai ir taisyklingieji penkiakampiai:
|
|
Džonsono kūnai trikampėmis, kvadratinėmis ir šešiakampėmis sienomis redaguoti
Aštuonių Džonsono kūnų sienos yra vien trikampiai, kvadratai ir taisyklingieji šešiakampiai:
|
|
Džonsono kūnai trikampėmis, kvadratinėmis ir aštuoniakampėmis sienomis redaguoti
Penkių Džonsono kūnų sienos yra vien trikampiai, kvadratai ir taisyklingieji aštuoniakampiai:
|
|
Apibrėžtiniai Džonsono kūnai redaguoti
Dvidešimt penkių Džonsono kūnų viršūnės yra išsidėsčiusios apibrėžrtinės sferos paviršiuje: 1-6, 11, 19, 27, 34, 37, 62, 63, 72-83. Visus juos galima laikyti susijusiais su taisyklingaisiais arba tolygiaisiais briaunainiais pasukimo, sumažinimo ar perkirtimo veiksmais[3].
| Oktaedras | Kuboktaedras | Rombinis kuboktaedras | |||
|---|---|---|---|---|---|
| J1
|
J3
|
J27
|
J4
|
J19
|
J37
|
| Ikosaedras | Ikosidodekahedras | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J2
|
J63
|
J62
|
J11
|
J6
|
J34
|
| J5
|
J76
|
J80
|
J81
|
J83
|
| J72
|
J73
|
J74
|
J75
|
J77
|
J78
|
J79
|
J82
|
Išnašos redaguoti
- ↑ http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/pseudo-rhombicuboctahedra.html
- ↑ George Hart (quoting Johnson) (1996). „Johnson Solids“. Virtual Polyhedra. Nuoroda tikrinta 2014-02-05.
- ↑ http://bendwavy.org/klitzing/explain/johnson.htm