Determinantas

Šis straipsnis - apie matematinę funkciją. Apie rašto elementą žiūrėkite determinatyvas, o apie kalbos dalį - determinatyvas (gramatika)

Determinantastiesinės algebros funkcija, kiekvienai kvadratinei n*n matricai A priskirianti skaliarinę reikšmę det(A). Determinantai svarbūs integriniame ir diferenciniame skaičiavime, geometrijoje, kitose matematikos srityse.

Determinanto formulė yra tokia:

kur

  • ir – determinanto žymėjimas.

Antros eilės determinantasKeisti

2×2 matrica

 

turi determinantą

 .

Determinantas taikomas spręsti sistemą su dviem nežinomaisiais:

 

Surandamas determinantas:

 

Jei determinantas nelygus nuliui, tai sistema turi tik vieną sprendinį:

 
 

kur

 
 

Formulės vadinamos Kramerio formulėmis. Jei D=0, bet   arba   nelygu 0, tai sistema sprendinių neturi (yra nesuderinta). Jei  , tai sistema turi be galo daug sprendinių (yra neapibrėžta).

Pavyzdys, kaip galima išspręsti sistemą surandant determinantą. Sistema yra tokia:

 

Sistemos determinantas yra

 

Toliau į determinanto pirmą stulpelį įstačius dešines lygties puses, randamas

 

Panašiai randamas

 
   

Determinantas 3 3Keisti

 
sudedami
 
atimami

 

 

Didesnėms matricoms determinanto skaičiavimo formulė yra kitokia.

Sistemų sprendimas taikant Kramerio formulesKeisti

Pagal Kramerio formulę galima surasti sistemos:

 

sprendinius:

 
 
 

kur

 
 
 

Tokiu būdu randami sistemos sprendiniai ir didesnėms matricoms.


  • Remdamiesi Kramerio formulėmis, išspręskime tiesinių lygčių sistemą
 
 

Kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio (trečias stulpelis nesikeičia).

 

Kur trečias stulpelis buvo pridėtas prie antro stulpelio.

 

kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš 2 ir pridėtas prie pirmojo stulpelio.

 

kur trečias stuleplis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio.

 

Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metoduKeisti

Determinanto radimas naudojant adjunktą:

 

kur 2 ir 3 virš (-1) yra antra eilutė ir trečias stulpelis.

 
 
 
 
 

Tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodas vadinamas atvirkštinės matricos metodu arba matricų metodu:

 


Išspręsime sistemą

 

matricų metodu.

 

 

  Kur antrą eilutę padauginome iš (-3) ir pridėjome prie pirmos eilutės, ir antrą eilutę padauginome iš (-6) ir pridėjome prie trečios eilutės.

 
 
 
 
 
     

Lygčių sistemos sprendimas Gauso metoduKeisti

Pavyzdžiui, turime lygčių sistemą:

 

Išplėstinės matricos A pirmoje eilutėje parašome trečios eilutės koeficientus, o pirmą ir antrą eilutes nustumiame žemyn:

 

Šios pertvarkytos išplėstinės matricos   pirmą eilutę dauginame iš (-3) ir pridedame prie antros eilutės ir taip pat pirmą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės ir tada gauname tokią išplėstinę matricą:

 

Toliau matricos antrą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės:

 

Toliau trečią eilutę dauginame iš 7 ir pridedame prie antros eilutės ir gauname:

 

Toliau antrą ir trečią eilutes sukeičiame vietomis:

 

Gauta matrica apibūdina lygčių sistemą

 
Iš paskutinės lygties  
Iš antros lygties surandame  
Iš pirmos lygties randame  
Lygčių sistema turi vieną sprendinį (2; 1; -3).

Ketvirtos eilės determinantasKeisti

Ketvirtos eilės determinantas gali būti paverstas trečios eilės determinantu, pavyzdžiui:

 

  Trečios eilutės antras stulpelis čia lygus 0.

Ketvirtos eilės determinantui naudojamas Minoras (M) tai yra prieš kiekvieną sudėtį yra išbraukiama eilutė ir kiekvienas stulpelis, kur yra skaičius toje eilutėje, arba atvirkščiai jei pasirenkamas pirma stulpelis.