Gama funkcija: Skirtumas tarp puslapio versijų

1 900 pridėta baitų ,  prieš 3 metus
Atkelta iš faktorialo
(Nukreipiama į Faktorialas)
 
(Atkelta iš faktorialo)
[[Vaizdas:Gamma_abs_3D.png|thumb|right|325px|Gama funkcijos reikšmės kompleksiniam argumentui ''z'' (modulis). ''R'' - realioji komponentė, ''J'' - menamoji.]]
#Redirect [[Faktorialas]]
[[Vaizdas:Gamma plot.svg|thumb|right|325px|Gama funkcijos reikšmės išilgai realiosios ašies.]]
 
'''Gama funkcija''', žymima <math>\Gamma(z)</math>, matematikoje yra [[Faktorialas|faktorialo]] plėtinys, kuomet [[funkcijos apibrėžimo sritis]] ne tik [[Sveikasis skaičius|sveikieji skaičiai]]. Gama funkcija yra apibrėžta visiems [[kompleksinis skaičius|kompleksiniams skaičiams]], išskyrus nulį ir neigiamus sveikus skaičius.
 
: <math>\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t. \!</math>
 
Pirmasis tokį pažymėjimą įvedė [[Andre-Mari Ležandras]].
Pirminis [[Leonardas Euleris|Eulerio]] gama funkcijos apibrėžimas buvo:
 
: <math>\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n(z+k)}. \!</math>
 
Gama funkcija kaip ir faktorialas tenkina tokius pat [[Rekursija|rekursyvinius sąryšius]]:
 
: <math>n!=n(n-1)! \,</math>
: <math>\Gamma(n+1)=n\Gamma(n) \,</math>
 
Kartu su <math>\Gamma(1)=1</math>:
: <math> \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1 </math>,
gama funkcija yra taip susijusi su faktorialu:
 
: <math>\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,</math>
 
Taip pat
: <math>\left (\frac{1}{2}\right )! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math>
ir bet kokį pusinį faktorialą galime užrašyti taip:
: <math>\left (n+\frac{1}{2}\right )!=\sqrt{\pi}\times \prod_{k=0}^n {2k + 1 \over 2}.</math>
 
Pavyzdžiui,
: <math>3.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2} \approx 11.63.</math>
 
=== Gama funkcijos taikymai ===
 
* n - matės [[Hipersfera|hipersferos]] [[tūris]] gali būti apskaičiuotas pasinaudojant gama funkcija:
:: <math>V_n={\pi^{n/2}R^n\over \Gamma((n/2)+1)}.</math>
 
[[Kategorija:Specialiosios funkcijos]]
3 832

pakeitimai