Riba (matematika)

Riba – pamatinė matematinės analizės sąvoka, kuri intuityviai suvokiama kaip reikšmė, prie kurios matematinė funkcija „artėja“, kai funkcijos argumentas artėja prie tam tikros reikšmės.[1] Ribos yra plačiai naudojamos daugelyje matematikos sričių, įskaitant integralinį ir diferencialinį skaičiavimą, apibrėžiant funkcijos tolydumą, išvestines ir integralus.

Ribos formulių pavidalu dažnai yra rašomos taip:

skaitoma taip: „funkcijos f, kurios argumentas n artėja prie c, riba yra lygi L“. Čia „lim“ reiškia limit (ribą). Faktas, jog funkcija f(n) artėja prie ribos L kai n artėja prie c yra vaizduojamas rodykle į dešinę pusę (→):

Funkcijos ribaKeisti

 
Kai taškas x nuo c yra ne toliau nei per δ, reikšmė f(x) nutolusi nuo L ne daugiau nei per ε.

Sakykime f yra realias reikšmes įgyjanti funkcija, o   yra realusis skaičius. Intuityviai kalbant, užrašas

 

reiškia, kad f(x) galima priartinti kaip norima arti L, priartinant x prie c.[2] Šiuo atveju pastarąją formulę galima skaityti „funkcijos f riba, kai x artėja prie c, yra L“. Taip pat sakoma kad „funkcijos f riba taške c yra L“.

Matematikas Ogiuestenas-Lui Koši (Augustin-Louis Cauchy) 1821 metais,[3] o vėliau ir matematikas Karlas Vaierštrasas (Karl Weierstrass), pateikė griežtą ribos apibrėžimą, kuris dabar kartais vadinamas (ε, δ) ribos apibrėžimu: pagal šį apibrėžimą,   reiškia, kad kiekvienam teigiamam skaičiui δ egzistuoja teigiamas skaičius ε, kad visiems x tenkinantiems   galioja |f(x)L| < ε.

Apibrėžime raidė ε (mažoji graikų alfabeto raidė epsilon) žymi bet kokį mažą teigiamą skaičių, taigi „f(x) kaip norima priartėja prie L“ reiškia, kad f(x) galiausiai patenka į intervalą (Lε, L + ε), ką taip pat galima užrašyti naudojant absoliučios reikšmės ženklą kaip |f(x)L| < ε.[3] Frazė „kai x artėja prie c“ nurodo, kad turimos omenyje kintamojo x reikšmės, nutolusios nuo skaičiaus c mažesniu atstumu nei tam tikras teigiamas skaičius δ (mažoji graikų alfabeto raidė delta) – tai yra, kai x priklauso arba (cδ, c) arba (c, c + δ), ką kitaip galime užrašyti  . Iš pirmosios nelygybės išplaukia, jog  .[3]

 
Ši funkcija taške   nėra apibrėžta, tačiau turi ribą, +∞ arba -∞, priklausomai nuo to, iš kurios pusės artėjama. Funkcijos riba artėjant į bet kurio ženklo begalybę lygi 4.

Iš ribos egzistavimo neišplaukia, jog f(c)=L. Funkcija netgi neturi būti apibrėžta taške c.

 
Visiems x > S, reikšmė f(x) nutolusi nuo L atstumu ε.

Aukščiau nurodytas apibrėžimas turi prasmę, kai c yra baigtinis skaičius, tačiau ribą galima apibrėžti ir kai c lygus +∞ ar -∞. Šiuo atveju   reiškia, kad kiekvienam teigiamam skaičiui δ egzistuoja teigiamas („didelis“) skaičius S, kad visiems x tenkinantiems   galioja |f(x)L| < ε (analogiškai  , jei |f(x)L| < ε galioja visiems x tenkinantiems  ).

Verta pastebėti, kad ribos apibrėžimas begaliniuose taškuose nėra iš esmės kitoks, kadangi natūrali baigtinio skaičiaus c aplinka yra intervalų (cδ, c) ir (c, c + δ) sąjunga, kai tuo tarpu begalybės +∞ aplinka yra intervalas pavidalo (S, +∞) (bei begalybės -∞ aplinka yra intervalas pavidalo (-∞, S). Šis pastebėjimas leidžia natūraliai pratęsti ribos sąvoką funkcijoms apibrėžtoms topologinėse erdvėse, negriežtai šnekant, aibėse, kuriose apibrėžta aplinkų struktūra.

ŠaltiniaiKeisti

  1. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th, Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
  2. Weisstein, Eric W. „Epsilon-Delta Definition“. mathworld.wolfram.com (anglų). Nuoroda tikrinta 2020-08-18. 
  3. 3,0 3,1 3,2 (2010) Calculus of a single variable, Ninth, Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.