Gama funkcija

Gama funkcija (žymima $\Gamma (z)$) matematikoje – faktorialo plėtinys, kuomet funkcijos apibrėžimo sritis ne tik sveikieji skaičiai. Gama funkcija yra apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus nulį ir neigiamus sveikus skaičius. Gama funkcija naudojama gama skirstinyje.

Gama funkcijos reikšmės kompleksiniam argumentui z (modulis). R – realioji komponentė, J – menamoji.

Gama funkcijos reikšmės išilgai realiosios ašies.

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t.\!$

Pirmasis tokį pažymėjimą įvedė Andre-Mari Ležandras. Pirminis Eulerio gama funkcijos apibrėžimas buvo:

$\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.\!$

Gama funkcija kaip ir faktorialas tenkina tokius pat rekursyvinius sąryšius:

$n!=n(n-1)!\,$

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,$

Kartu su $\Gamma (1)=1$:

$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1$,

gama funkcija yra taip susijusi su faktorialu:

$\Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,$

Taip pat

$\left({\frac {1}{2}}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$

ir bet kokį pusinį faktorialą galime užrašyti taip:

$\left(n+{\frac {1}{2}}\right)!={\sqrt {\pi }}\times \prod _{k=0}^{n}{2k+1 \over 2}.$

Pavyzdžiui,

$3.5!={\sqrt {\pi }}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}\approx 11.63.$

Taikymas

• n – matės hipersferos tūris gali būti apskaičiuotas pasinaudojant gama funkcija:

$V_{n}={\pi ^{n/2}R^{n} \over \Gamma ((n/2)+1)}.$