Vynerio procesas

Šį puslapį ar jo dalį reikia sutvarkyti pagal Vikipedijos standartus. Jei galite, sutvarkykite.

Vynerio (Wiener) procesas (VP) – nepertraukiamas stochastinis procesas (stocastic process) pavadintas Norberto Vynerio (Norbert Wiener) garbei. VP dažnai dar vadinamas Brauno judėjimu. Tai vienas iš geriausiai žinomų Levy procesų (cadlag stochastiniai procesai su stacionariais nepriklausomais augimais), pasitaikančių teorinėje ir taikomojoje matematikoje, ekonomikoje, fizikoje bei kituose socialiniuose ir gamtos moksluose.

Vienmatė Vynerio proceso realizacija

Trimatė Vynerio proceso realizacija

VP atlieka svarbų vaidmenį tiek teorinėje, tiek taikomojoje matematikoje. Teorinėje matematikoje šis procesas paskatino studijas apie kontinuumo laiko martingalus (martingales). Tai yra pagrindinis procesas, pagal kurį galima aprašyti sudėtingus stochastinius procesus. Teorinė matematika vaidina svarbų vaidmenį stochastiniuose skaičiavimuose, sklaidos procesuose ir net potencialų teorijoje. Taikomojoje matematikoje VP naudojamas Gauso baltajam triukšmui aprašyti. Triukšmo modelis turi daugybę taikymų, pvz., yra naudingas neardomų elektronikos prietaisų gedimų aptikimui.

VP taikomas visame matematikos moksle. Fizikoje naudojamas Brauno judėjimui tirti, kai maža medžiagos dalelė juda patalpinta skystyje, arba Fokerio–Planko (Fokker-Planck) ir Lanževeno (Langevin) difuzijos lygtims spręsti. Šis procesas taip pat laikomas kvantinės mechanikos formulavimo pagrindu (Vynerio procesas gali būti apibūdinamas pagal Feinmano–Kaco (Feynman-Kac) formulę arba Šriodingerio (Schrodinger equation) lygties sprendimą). VP taip pat naudingas finansų matematikoje: Bleko–Shoulo (Black-Scholes) opcionų įkainojimo modelis.

Vynerio proceso apibūdinimas

VP apibrėžiamas trimis sąlygomis:

1. W₀ = 0
2. W_t beveik visur tolydus
3. W_t nepriklausomai auga su pasiskirstymu $W_{t}-W_{s}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)$ (for 0 ≤ s < t).

N(μ, σ²) - žymimas normalusis pasiskirstymas su numatoma verte μ ir dispersija σ. Jei 0 ≤ s₁ ≤ t₁ ≤ s ₂ ≤ t₂ tai W_t1 − W_s1 ir W_t2 − W_s2 yra nepriklausomos atsitiktinės reikšmės. Kadangi tai yra nepriklausomas pokytis, todėl ši sąlyga galioja ir n pokyčių turintiems uždaviniams.

Alternatyva Vynerio proceso apibūdinimui yra Levy apibūdinimas, kuris sako: VP yra beveik visur tolydus martingalas, kai W₀ = 0 ir kvadratinis pokytis [W_t, W_t] = t ((kuris reiškia, kad W_t²-t visada martingalas).

Trečiu atveju VP turi spektrinį sinusinės eilutės pavidalą, kurios koeficientai yra nepriklausomai pasiskirstę pagal N(0,1) skirstinį. Ši išraiška gauta naudojant Karhunen-Loeve teoremą.

VP gali būti sukonstruotas kaip atsitiktinio dreifo didėjimo riba, arba kaip diskretaus laiko stochastinis procesas pastoviu nepriklausomu augimu. Tai žinoma kaip Donsker teorema. Kaip ir atsitiktinis dreifas, VP pasikartoja vienmatėje arba dvimatėje erdvėje (tai reiškia, kad beveik visada grįžta į prieš tai buvusią padėtį), tačiau trimatėje ir aukštesnių dimensijų erdvėse tai negalioja. Skirtingai nei dreifo atveju šis invariantas išreikštas

$\alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}\,$

yra Vynerio procesas, kur konstanta α nelygi 0. Vynerio matas yra tikimybių dėsnis tolydžių funkcijų erdvėje g(x), g(0) = 0, kuris išplaukė iš Vynerio proceso. Integralas, remiantis Vynerio matu, gali būti vadinamas Vynerio integralu.

Vienmačio Vynerio proceso savybės

Pagrindinės savybės

Besąlyginė tikimybės tankio funkcija fiksuotu laiko momentu t:

$f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/{2t}}.$

Atsitiktinio dydžio vidurkis arba matematinė viltis yra 0:

$E(W_{t})=0.$

Dispersija yra t:

$E(W_{t}^{2})-E^{2}(W_{t})=t.$

Kovariacija ir koreliacija:

$\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t)\,,$

$\operatorname {corr} (W_{s},W_{t})={\frac {\min(s,t)}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {\min(s,t)}{\max(s,t)}}}\,.$

Matematinės vilties ir dispersijos reikšmės seka iš pokyčio, kuris pasiskirstęs pagal nulinį normalųjį skirstinį. Taigi

$W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim {\mathcal {N}}(0,t).$

Kovariacijos ir koreliacijos reikšmės gaunamos iš apibrėžimo, kad nesutampantys pokyčiai yra nepriklausomi, todėl ir nekoreliuoti. Tarkime, kad t₁ < t₂.

$\operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=E\left[(W_{t_{1}}-E[W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-E[W_{t_{2}}])\right]=E[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]\ \ .$

Keičiame kintamąjį: $W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}$

$E[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]=E\left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]=E\left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+E[W_{t_{1}}^{2}]\ \ .$

Jei W(t₁) = W(t₁) − W(t₀) ir W(t₂) − W(t₁) yra nepriklausomi tai

$E[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})]=E[W_{t_{1}}]\cdot E[W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0\ \ .$

Taigi

$\operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=E[W_{t_{1}}^{2}]=t_{1}\ .$

Automodeliškumas

Brauno mastelis

Kiekvienam c>0 procesas $V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}$ yra kita Vynerio proceso išraiška.

Laiko apgręžimas

Procesas $V_{t}=W_{1}-W_{1-t}$ kai 0 ≤ t ≤ 1 yra pasiskirstęs kaip $W_{t}$ kai 0 ≤ t ≤ 1.

Laiko inversija

Procesas $V_{t}=tW_{1/t}$ yra kita Vynerio proceso išraiška.

Klasikinis Brauno martingalas

Stochastinis procesas

$M_{t}=p(W_{t},t)\,$ yra martingalas,

jei polinomas p(x, t) atitinka diferencialinę lygtį dalinėmis išvestinėmis

${\Big (}{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\Big )}p(x,t)=0$

Pvz.: $W_{t}^{2}-t$ yra martingalas, kad proceso W kvadratinė variacija intervale [0,t] yra lygi t. Iš to gaunama, kad proceso W intervale [-c, c] kvadratinė variacija lygi c².

Bendruoju atveju, kiekvieno polinomo p(x, t) stochastinis procesas yra martingalas:

$M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s\,,$

Kur a yra polinomas

$a(x,t)={\Big (}{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\Big )}p(x,t)\,.$

Pvz.: $p(x,t)=(x^{2}-t)^{2},$ $a(x,t)=4x^{2};$; procesas $(W_{t}^{2}-t)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s$ yra martingalas, kuris parodo, kad kvadratinė variacija martingalo $W_{t}^{2}-t$ intervale [0,t] yra lygi $4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.$

Daugiau apie funkcijos p(x,t) pagrindinius polinomus žiūrėkite [Local martingales]

Funkcijos Trajektorijų Savybės

Visos funkcijos w su šiomis savybėmis visiškai atitinka VP. Tai savybės, kurias VP turi beveik visur.

Kokybinės savybės

• Kiekvienas ε>0, funkcija w įgyja abi (griežtai) teigiamą ir (griežtai) neigiamą reikšmes intervale (0,ε).
• Funkcija w yra tolydi visoje aibėje, bet niekur nediferencijuojama (kaip Vejerštraso funkcija).
• Taškai lokalaus maksimumo funkcijos w yra tiršta aibė:
  • maksimalios reikšmės poromis skirtingos;
  • kiekvienas lokalus maksimumas atitinka savybę: jei w turi lokalų maksimumą taške t, tai $|w(s)-w(t)|/|s-t|\to \infty$ kai $s\to t$;
  • tas pats galioja ir minimumams.
• Funkcija w neturi įtakos taško didėjimui t>0 aplinkoje, kaip tikslumas ε intervale (0,t):
  • jei w(s) ≤ w(t) kiekvienam s intervale (t-ε,t);
  • jei w(s) ≥ w(t) kiekvienam s intervale (t,t+ε);
  • lokalus didėjimas yra mažesnis už funkcijos w didėjimą intervale (t-ε,t+ε).
  • tas pats galioja ir funkcijos mažėjimui.
• Funkcija w gali įgyti neribotą skaičių reikšmių kiekviename intervale.
• Nulinė funkcijos w reikšmė nėra tanki ([nowhere dense]), puikiai visa tai apibūdina rinkinys: Lebego erdvėje 0 ir Hausdorff dimensija 1/2.

Kiekybinės savybės

Kartotinio logaritmo dėsnis

$\limsup _{t\to +\infty }{\frac {|w(t)|}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1$

Tolydumo modulis

Lokalus modulio tęstinumas:

$\limsup _{\varepsilon \to 0+}{\frac {|w(\varepsilon )|}{\sqrt {2\varepsilon \log \log(1/\varepsilon )}}}=1.$

Globalus modulio tęstinumas (Levy):

$\limsup _{\varepsilon \to 0+}\sup _{0\leq s<t\leq 1,t-s\leq \varepsilon }{\frac {|w(s)-w(t)|}{\sqrt {2\varepsilon \log(1/\varepsilon )}}}=1.$

Lokalus laikas

Lebego prasme intervale [0, t] funkcija w virsta Lt(*), čia L_t(·) yra skaičius. Taigi,

$\int _{0}^{t}f(w(s))\,\mathrm {d} s=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)L_{t}(x)\,\mathrm {d} x$

Funkcija f(x) atitinka plačią funkcijų klasę (tolydžios funkcijos; integruojamos lokalioje erdvėje funkcijos; išmatuojamos, neneigiamą reikšmę turinčios funkcijos). Skaičius L_t (gali ir bus naudojamas) yra tolydus. Išraiška L_t(x) yra vadinama lokalaus laiko x išraiška, kur x yra funkcijos w reikšmė intervale [0, t]. Tai teigiama reikšmė nuo kiekvieno x iš intervalo (a, b), kur a ir b atitinkamai yra didžiausia ir mažiausia reikšmės, funkcijos w intervale [0, t]. Kai x yra už šio intervalo ribų, funkcija nyksta. Apdoroti dviejų kintamųjų x ir t funkciją yra pakankamai sudėtinga. Sprendžiama funkcija nuo t (kai x yra fiksuotas) yra vieno kintamojo funkcijos w aibė, kur w turi nulinę reikšmę. Šios tolydumą apibūdinančios savybės yra pakankamai (nevisiškai) netrivialios. Vienu atveju funkcija lokaliu laiku visada gali būti apibrėžta glodžia funkcija, kitu atveju tai skaiti funkcija, kuri yra trūki, kol funkcija netampa monotonine. Kitaip sakant, yra konfliktas tarp gero elgesio funkcijų ir gero elgesio funkcijų lokaliuoju laiku. Tai reiškia, kad Vynerio proceso tolydumas lokaliuoju laiku, yra kitas netolydžios funkcijos pavyzdys.

Panašūs procesai

Brauno judėjimas specialios formos tūryje - sferoje.

Stochastinis procesas apibrėžtas

$X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}\,$

vadinamas Vynerio procesu su dreifu μ ir labai maža dispersija σ². Šiuos procesus naudoja tolydūs Levy procesai.

Du atsitiktiniai procesai figūruoja laiko intervale [0, 1], kitaip sakant, kai Vynerio proceso įtaka nyksta abiejuose intervalo [0, 1] galuose. Funkcija įgyja teigiamas ir neigiamas reikšmes intervale [0, 1] ir vadinama Brauno tiltu (Brownian bridge). Funkcija įgijusi tik teigiamas reikšmes intervale [0, 1] vadinama Brauno nuokrypiu (Brownian excursion). Abiem atvejais griežtas funkcijos elgesys apima ribinę procedūrą, kuri išreiškiama formule $P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)$ tai negalioja kai $P(B)=0.$.

Geometrinis Brauno judėjimas gali būti aprašytas

$e^{[\beta t-(\alpha ^{2}t/2)+\alpha W_{t}]}.\,$

Tai stochastinis procesas, kuris naudojamas modeliuoti procesams, kurie niekada neįgyja neigiamų reikšmių.

Stochastinis procesas

${X_{t}=\mathrm {e} ^{-t}W_{\mathrm {e} ^{2t}}}$

pasiskirstęs pagal Ornstein–Uhlenbeck procesą.

Vienos reikšmės radimas kai x>0 pagal Vynerio procesą, yra atsitiktinis skaičius, kuris yra pasiskirstęs pagal Levy pasiskirstymą. Atsitiktinių skaičių šeima (kai numeruojami visi teigiami x) yra tolydi iš kairės pagal modifikuotą Levy funkciją. Tolydumas iš dešinės, pagal šį modifikuotą procesą, įgyja pirmą reikšmę iš uždaro intervalo [0, x].

Funkcija L_t(0) lokaliuoju laiku elgiasi kaip atsitiktinė funkcija nuo t, o tai yra atsitiktinė funkcija kuri parašoma taip:

$S_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}.$

Funkcija L_t(x) lokaliuoju laiku elgdamasi kaip atsitiktinė funkcija nuo x (kai t yra konstanta) yra atsitiktinė funkcija, aprašyta Ray-Knight teoremomis su Bassel sąlygomis (Bessel process).

Brauno martingalas

Tarkime, kad įvykis A yra Vynerio proceso įvykis (tiksliau: galima nustatyti įvykio vertę naudojantis Vynerio procesu visų funkcijų erdvėje), ir X_t yra sąlyginė tikimybė įvykio A, kuri duoda Vynerio proceso išraišką intervale [0, t] (tiksliau: Vynerio funkcijos trajektorijų sistemoje dalis trajektorijų intervale [0, t] priklauso nuo A). Tada funkcija X_t yra tolydus martingalas. Ši martingalo savybė gaunama tiesiogiai iš apibrėžimo, bet šis tolydumo faktas yra specifinis, nes tai yra pagrindinė teorema, nusakanti, kad visi Brauno martingalai yra tolydūs. Pagal apibrėžimą Brauno martingalas gaunamas iš Brauno filtracijos; Brauno filtracija pagal apibrėžimą gaunama iš Vynerio proceso.

Laiko kitimas

Kiekvienas tolydus martingalas (priklausomai nuo kilmės) yra laiko pakaitalas Vynerio procese.

Pvz.: 2W_t = V(4t) kur V yra kita Vynerio funkcija (kitokia nei W, bet pasiskirsčiusi kaip W).

Pvz.: $W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}$ kur $A(t)=4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s$ and $V$ ir V yra kita Vynerio funkcija.

Apskritai, jei M yra tolydus martingalas, tai $M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}$ , kur $A(t)$ yra kvadratinė variacija M intervale [0,t], ir $V$ yra Vynerio procesas.

Išvada: (Žiūrėti Doob's martingale convergence theorems) Tegul $M_{t}$ yra tolydus martingalas, ir

$M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},\quad M_{\infty }^{+}=\limsup _{t\to \infty }M_{t}.$

Tada vienas iš dviejų atvejų yra įmanomas:

$-\infty <M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}<+\infty ,\quad -\infty =M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}=+\infty ;$

kitų atvejų (tokių kaip $M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,$   $M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty$) tikimybė lygi 0.

Ypač, neneigiamas tolydus martingalas turi baigtinę ribą (kai $t\to \infty$)) beveik visur. Visi formulavimai (šiame poskyryje) martingalų tinka tik lokaliems martingalams (local martingale).

Mato keitimas

Plati klasė tolydžių pusmartingalų (ypač difuzijos procesų) yra susijusios su Vynerio procesu per laiko ir mato keitimo kombinaciją.

Todėl aukščiau išdėstytos kokybinės Vynerio proceso savybės apibendrina plačią klasę tolydžių pusmartingalų.

Vynerio proceso kompleksinė išraiška

Kompleksinė Vynerio proceso išraiška gali būti apibrėžta kaip kompleksiniai atsitiktinės funkcijos $Z_{t}=X_{t}+\mathrm {i} Y_{t}$ skaičiai, kur $X_{t},Y_{t}$ yra nepriklausomos Vynerio funkcijos (realūs skaičiai).

Automodeliškumas

Brauno mastelis, laiko apgręžimas ir laiko inversija: viskas taip pat, kaip ir su realiaisiais skaičiais.

Sukimosi invariantiškumas: kiekvienam kompleksiniam skaičiui c tokiam kad |c|=1 funkcija $cZ_{t}$ yra kita kompleksinė Vynerio funkcija.

Laiko pakeitimas

Jei f(x) yra tolydi funkcija, tai $f(Z_{t})-f(0)$ yra kompleksinė Vynerio funkcija su pakeistu laiku.

Pvz.: $Z_{t}^{2}=(X_{t}^{2}-Y_{t}^{2})+2X_{t}Y_{t}\mathrm {i} =U_{A(t)}$, kur $A(t)=4\int _{0}^{t}|Z_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s$ ir $U$ yra kita kompleksinė Vynerio funkcija.

Priešingai nei realiuoju atveju, kompleksinis martingalas dažniausiai neturi Vynerio funkcijos su pakeistu laiku. Pvz., Funkcija $2X_{t}+\mathrm {i} Y_{t}$ nėra martingalas.

Literatūra

• Kleinert, Hagen, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2004); Paperback ISBN 981-238-107-4 (also available online: PDF-files)
• Henry Stark, John W. Woods, Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing, 3rd edition, Prentice Hall (New Jersey, 2002); Textbook ISBN 0-13-020071-9
• Richard Durrett, Probability: theory and examples,second edition, 1996.
• Daniel Revuz and Marc Yor, Continuous martingales and Brownian motion, second edition, Springer-Verlag 1994.