Menamasis vienetas: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
kvarternionas->kvaternionas, klaida termine |
Papildyta iš angliškos wiki |
||
Eilutė 1:
'''Menamasis vienetas''' (arba '''tariamasis vienetas''') – skaičius <math>i</math>
Pagrindinė tariamojo vieneto įvedimo motyvacija – faktas, kad ne kiekviena [[polinomas|polinominė lygybė]] ''f''(''x'') = 0 turi sprendimą realiųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, lygybė ''x''<sup>2</sup> + 1 = 0 neturi realaus sprendimo. Praplėtus realiųjų skaičių aibę menamuoju (tariamuoju vienetu), kiekviena tokia lygybė turi
==Apibrėžimas==
Pagal apibrėžimą menamasis vienetas <math>i</math> yra vienas iš [[kvadratinė lygtis|kvadratinės lygties]]
:<math>x^2 + 1 = 0 \ </math>
arba
:<math>x^2 = -1 \ </math>
sprendinių.
Kadangi nėra realiojo skaičiaus, kuris pakeltas kvadratu duotų neigiamą realų skaičių, mes galime įsivaizduoti jį (tarti jį egzistuojant - iš čia ir pavadinimas menamasis arba tariamasis vienetas) egzistuojant ir priskirti jam simbolį <math>i</math>. Tačiau <math>i</math> yra tokia pat lygiavertė matematinė abstrakcija, kaip ir realusis skaičius, nors, aišku, jį sunkiau intuityviai suvokti.
==''i'' ir −''i''==
Kadangi <math>x^2 = -1 </math> tai antros eilės polinomas, lygtis turi du skirtingus sprendinius: vienas <math>i</math> kitas −<math>i</math> ≠ <math>i</math>. Kadangi kvadratinė lygtis yra vienintelis <math>i</math> apibrėžimas, atrodo, kad jis nevienareikšmis. Tačiau jokių dviprasmybių nelieka, jei pasirenkamas vienas iš sprendinių ir deklaruojamas kaip "teigiamas <math>i</math>". Tai yra dėl to kad nors −<math>i</math> ir <math>i</math> nėra kiekybiškai vienodi (vienas neigiamas, kitas teigiamas), tačiau kokybiškai jie nesiskiria (tačiau to negalima pasakyti apie −1 ir +1): abu menamieji skaičiai turi vienodas teises būti −1 kvadratu. Jei visose matematinėse knygose apie kompleksinius skaičius pakeisti +<math>i</math> į −<math>i</math>, visi faktai ir teoremos išliks teisingomis. Taigi, nė viena vertė nėra svarbesnė už kitą, o pažymėjimas vieną "teigama" tėra tik užrašymo rudimentas.
Ši problema matematine prasme gana subtili. Nors kompleksinių skaičių laukas apibrėžtas kaip '''R'''[''X'']/ (''X''<sup>2</sup> + 1), iš tiesų yra du '''R'''[''X'']/ (''X''<sup>2</sup> + 1) [[automorfizmas|automorfizmai]], pats ''X'' ir automorfizmas, atvaizduojantis ''X'' į −''X''.
Panaši problema atsiranda, kai kompleksiniai skaičiai yra vaizduojami kaip 2 × 2 realiosios [[matrica (matematika)|matricos]], kadangi tiek
:<math>X = \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & \;\; 0
\end{pmatrix}</math>
tiek ir
:<math>X = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & \;\; 0
\end{pmatrix}
</math>
yra matricinės lygties sprendiniai:
:<math> X^2 = -I \ </math> .
Šiuo atveju nevienareikšmiškumas atsiranda dėl geometrinio teigiamos krypties apskritime pasirinkimo. Matematiškai išsireiškus, [[grupė (algebra)|grupės]] SO (2, '''R''') automorfizmas turi du elementus — vienetą ir automorfizmą, kuris sukeičia vietomis pasukimus kryptimis pagal laikrodžio rodyklę ir prieš laikrodžio rodyklę.
Visų šių nevienareikšmiškumų yra išvengiama, jei įvedama griežtesnis [[Kompleksinis skaičius#Kompleksinių skaičių laukas|kompleksinio skaičiaus apibrėžimas]], kuomet išreikštai pasirenkamas vienas iš sprendinių kaip menamasis vienetas.
==Perspėjimas==
Menamasis vienetas kartais yra užrašomas <math>\sqrt{-1}</math>, tačiau reikia labai atidžiai naudoti formules su [[Šaknis (matematika)|šaknies]] operacijomis. Šis pažymėjimas naudotinas tik realiesiems <math>x</math> ≥ 0, arba pagrindinei kompleksinės šaknies funkcijos šakai. Jei mėginsime realiųjų skaičių šaknies traukimo taisykles taikyti kompleksinės šaknies operacijai, galime gauti klaidingus rezultatus:
:<math>-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1</math>
Skaičiavimo taiskylė
:<math>\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}</math>
teisinga tik realioms, neneigiamoms <math>a</math> ir <math>b</math> vertėms.
<!---
For a more thorough discussion of this phenomenon, see [[square root]] and [[branch point|branch]].
-->
Norint išvengti tokių klaidų, reikia niekada nenaudoti neigiamų skaičių po šaknies ženklu. Vietoj to, kad rašyti <math>\sqrt{-7}</math>, reikia naudoti užrašymą <math>i\sqrt{7}</math>.
[[Kategorija:Matematika]]
| |||