Vikipedija

Euklidinė erdvė: Skirtumas tarp puslapio versijų

Naršyti istoriją interaktyviai
← Prieš tai darytas keitimasKitas pakeitimas →
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
VizualusVikitekstas
Orionus (aptarimas | indėlis)
3 835 keitimai
Orionus (aptarimas | indėlis)
3 835 keitimai
Matematinės savybės, versta iš angliškos wiki
Eilutė 1:
{{cleanup}}
'''Euklidinė erdvė''' (angangl. Euclidean space) - tikroji (ir n-matė) erdvė, kurios [[vektorius|vektoriams]]kurioje yra apibrėžta keturias savybes patenkinanti [[skaliarinė sandauga]].
:VektroriųVektorių skaliarinę sandaugą žymėsime <math>( \alpha \cdot \beta )</math> arba <math>\alpha \cdot \beta</math>.
:KeturiosJi tenkina keturias savybes:
:1. Simetrija <math>(\alpha \cdot \beta)=(\beta \cdot \alpha)</math>,
:2. Daugybos iš skaliaro asociatyvumas <math> (l\alpha \cdot \beta)=l( \alpha \cdot \beta) </math>,
Eilutė 8:
:4. Vektoriaus skaliarinė sandauga iš savęs yra teigiama, t.y. <math>(\alpha \cdot \alpha) >0</math>, jei <math>\alpha <>0</math>
 
==Realiųjų koordinačių erdvė==
==Savybės==
:<math>(a \alpha \cdot b \beta)=ab(\alpha \cdot \beta)</math> (1)
 
Tarkime, kad '''R''' tai [[Realusis skaičius|realiųjų skaičių]] [[laukas (matematika)|laukas]]. Bet kokiam neneigiamam [[Sveikieji skaičiai|sveikam]] ''n'' egzistuoja n-matė vektorinė erdvė '''R'''<sup>''n''</sup>, kartais vadinama '''realiųjų koordinačių erdve'''. '''R'''<sup>''n''</sup> elementas gali būti užrašytas:
==Dviejų vektorių skaliarinė sandauga==
:'''x''' = (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, &hellip;, ''x''<sub>''n''</sub>),
N-mačių eilučių tikrojoje erdvėje skaliarinę sandaugą galime įvesti panašiai kaip trimatėje erdvėje. Vektorių-eilučių
kur kiekvienas ''x''<sub>''i''</sub> yra realusis skaičius. Vektorinėje erdvėje
:<math>[ \alpha ] = [a_1 , a_2 , ... , a_n ] </math> ir <math>[ \beta ] = [b_1 , b_2 , ... , b_n ] </math>
'''R'''<sup>''n''</sup> apibrėžtos tokios operacijos:
:skaliarinę sandaugą taip apibrėšime
:<math>[ \alphamathbf{x} ]+ \cdot [ \beta ] mathbf{y} = [a_1 b_1(x_1 + a_2y_1, b_2x_2 + ...y_2, +\ldots, a_nx_n b_n ]+ y_n),</math>
:<math>a\,\mathbf{x} = (a x_1, a x_2, \ldots, a x_n).</math>
:arba
Vektorių '''R'''<sup>''n''</sup> erdvėje yra apibrėžiama ortogonali bazė:
:<math>[ \alpha ] \cdot [ \beta ] =\sum_{s=1}^n a_s b_s. </math>▼
:<math>\mathbf{e}_1 = (1, 0, \ldots, 0),</math>
:<math>\mathbf{e}_2 = (0, 1, \ldots, 0),</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>\mathbf{e}_n = (0, 0, \ldots, 1).</math>
Bet koks vektorius iš '''R'''<sup>''n''</sup> gali būti išreikštas per
▲:<math>[ \alphamathbf{x} ]= \cdot [ \beta ] =\sum_{si=1}^n x_i a_s b_s\mathbf{e}_i. </math>
 
==Euklidinė struktūra==
Euklidinę eilučių erdvę galima apibrėžti ir taip:
Norint naudoti euklidinę geometriją, reikia turėti atstumų (nuotolių) ir krypčių (kampų) tarp vektorių sąvokas. Natūralus būdas suskaičiuoti šiuos dydžius yra apibrėžti [[Skaliarinė sandauga|skaliarinę sandaugą]] erdvėje '''R'''<sup>''n''</sup>. Skaliarinė dviejų vektorių '''x''' ir '''y''' sandauga yra apibrėžiama:
:<math>[ \alpha ] \cdot [ \beta ] =</math>
:<math> = s_\mathbf{1,1x} a_1 b_1 + s_\cdot\mathbf{1,2y} a_1 b_2 + ... += s_\sum_{i=1,n}^n a_1x_iy_i b_n= x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.</math>
Jos rezultatas yra visada realusis skaičius. Dar daugiau, '''x''' skaliarinė sandauga su juo pačiu visada neneigiamas skaičius. Tai leidžia apibrėžti vektoriaus ''x'' ilgį kaip
:<math> + s_{2,1} a_2 b_1 + s_{2,2} a_2 b_2 + ... + s_{2,n} a_2 b_n +</math>
:<math>\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}.</math>
:<math> ................................. </math>
:<math> + s_{n,1} a_n b_1 + s_{n,2} a_n b_2 + ... + s_{n,n} a_n b_n .</math>
 
Ši funkcija tenkina matematinės normos sąvoką ir vadinama '''R'''<sup>''n''</sup>
arba
'''Euklidine norma'''. Vidinis kampas &theta; tarp '''x''' ir '''y''' gali būti parašytas kaip
:<math>= \sum_{j,k=1}^n s_{j,k} a_j b_k . </math>
:<math>\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)</math>
kur cos<sup>&minus;1</sup> yra arkkosinuso funkcija.
 
Pagaliau mes galime panaudoti normos sąvoką apibrėždami atstumą arba metriką erdvėje '''R'''<sup>''n''</sup>:
:Tegu turime n-matę unitarinę (euklidinę) erdvę ir jos bazę <math> { \omega } = { w_1, w_2, ..., w_n } </math>. Išnagrinėsime, kaip galima išreikšti skaliarinę sandaugą, pasinaudojus bazės elementais <math> w_1, w_2, ..., w_n </math>. Surasime vektorių
:<math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i -
:<math>[ \alpha ] \cdot [ \omega ] = [a_1 w_1 + a_2 w_2 + ... + a_n w_n ] </math>,
y_i)^2}.</math>
:<math>[ \beta ] \cdot [ \omega ] = [a_1 w_1 + a_2 w_2 + ... + a_n w_n ] </math>
:skaliarinę sandaugą.
:Kadangi formulė (1) matematinės indukcijos metodu lengvai pakeičiama n dėmenų atvejui, tai
:<math>(\alpha \cdot \beta)=(a_1 w_1 + a_2 w_2 + ... + a_n w_n \cdot b_1 w_1 + b_2 w_2 + ... + b_n w_n) = </math>
:<math>= \sum_{j,k=1}^n a_j b_k (w_j \cdot w_k) . </math>
:Vektorių skaliarinė sandauga yra skaliaras, todėl
:<math> ( w_j \cdot w_k ) = s_{j,k} </math>
:Matrica S (kuri tapati ermitinei matricai ''H'') turi būti simetrine, t.y. jos elementai turi tenkinti šią sąlygą:
:<math> s_{j,k} = s_{k,j} </math>.▼
 
Šis atstumas arba metrika yra vadinamas '''euklidiniu atstumu'''. Iš esmės tai yra gerai visiems žinoma [[Pitagoro teorema]].
Realių koordinačių erdvė su šia metrika yra vadinama '''Euklidine erdve''' ir dažnai naudojamas žymėjimas '''E'''<sup>''n''</sup>. Euklidinė erdvė taip pat reiškia, kad ji yra [[Hilberto erdvė]] ir [[metrinė erdvė]].
 
Sukimai Euklidinėje erdvėje apibrėžiami kaip tiesinės transformacijos ''T'', išsaugančios kampus ir atstumus:
:<math>T\mathbf{x} \cdot T\mathbf{y} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y},</math>
▲:<math> s_|T\mathbf{j,kx}| = s_|\mathbf{k,jx} |.</math>.
''T'' iš esmės yra ortogonalios [[Matrica (matematika)|matricos]].
 
[[Kategorija:Geometrija]]
Rodomas puslapis "https://lt.wikipedia.org/wiki/Euklidinė_erdvė"