Grandininė linija: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Nėra keitimo santraukos |
|||
Eilutė 37:
: <math>x(t)=a \sinh\left(\frac{t}{a}\right)\cosh\left(\frac{t}{a}\right)</math>, <math>y(t)=2 a\cosh\left(\frac{t}{a}\right)</math>
* GL sukimosi paviršius yra katenoidas, kuris priklauso minimalių paviršių šeimai.
Dar Savybės
* Bet kurio kreivės taško <math>M</math> atstumo iki direktrisės projekcija į normalę taške <math>M</math> yra lygi viršūnės atstumui iki direktrisės.
: Tikrai, jei taškas <math>P</math> yra taško <math>M</math> ortogonalioji projekcija <math>O_x</math> ašyje, tiesė <math>n</math> yra kreivės normalė taške <math>M</math>, o taškas <math>L</math> yra taško <math>P</math> ortogonalioji projekcija tiesėje <math>n</math> tai <math>ML=y\cos\alpha=y\frac{dx}{ds}</math>. Kadangi iš grandininės linijos lygties turime <math>s=a\frac{dy}{dx}=\sinh\left(\frac{x}{a}\right)</math> tai <math>ds=\frac{1}{a}\cosh\frac{x}{a}=\frac{y}{a}\, dx</math> todėl <math>ML=y\frac{dx}{\frac{y}{a} dx}</math>.
* Bet kurio kreivės taško <math>M</math> atstumo iki simetrijos ašies projekcija į liestinę taške <math>M</math> yra lygi kreivės lanko nuo taško <math>M</math> iki viršūnės ilgiui.
:Tikrai, jei taškas <math>K</math> yra įtaško <math>P</math> ortogonalioji projekcija liestinėje <math>l</math> tai iš trikampio <math>MPK</math> ir iš prieš tai esančios savybės turime, kad
:<math>MK^2=MP^2-ML^2=y^2-a^2=s^2.</math>
* Grandininė linija yra kreivė, kurios lanko ilgis nuo fiksuoto taško <math>A</math> – kreivės viršūnės iki bet kurio jos taško <math>M</math> yra proporcingas liestinės krypties koeficientui taške <math>M</math>.
* Dviejų grandininės linijos lankų nuo viršūnės <math>A</math> iki taškų, per kuriuos eina statmenos kreivės liestinės, ilgių sandauga yra pastovus skaičius.
* Bet kurio grandininės linijos taško ordinatė yra kreivumo spindulio tame taške ir grandininės linijos parametro geometrinis vidurkis.
* Grandininės linijos <math>y=a\cosh\left(\frac{x}{a}\right)=\frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)</math> taškuose, kuriems <math>y\prec a\sqrt{\frac{5}{2}}</math> antrosios eilės kreivė, turinti aukščiausios eilės lietimąsi su grandinine linija yra elipsė (tokie taškai vadinami kreivės elipsiniais taškais), kai <math>y\succ a\sqrt{\frac{5}{2}}</math> tokia kreivė yra hiperbolė (hiperboliniai kreivės taškai), o dviejuose taškuose, kuriems <math>y= a\sqrt{\frac{5}{2}}</math> glaudžiausiai su grandinine linija liečiasi parabolė (paraboliniai taškai).
== Lygties išvedimas ==
| |||