Vektorius: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Eilutė 1:
{{otheruses}}
'''Vektorius'''
Bendriausias vektoriaus pavyzdys [[fizika|fizikoje]] būtų [[jėga]].
Skaitinių dydžių grupė abibūdinanti pasirinktą objektą gali būti užrašyta sugrupuotų skaičių sąrašu arba kitaip
: <math> \mathbf{v} = (v_1, v_2, ..., v_n)</math>.
: kur '''v''' yra ''n'' skaičių vektorius. Išraiškos su vektoriais yra naudojamos siekiant kompaktiškai užrašyti bei patogiai manipuliuoti ilgomis skaičių grupėmis. Kitas vektorinio užrašymo privalumas yra jo geometrinė interpretacija
== Vektoriaus daugyba iš skaliaro ==
Vienas realaus dydžio skaičius yra vadinamas ''[[Skaliaras|skaliaru]]''. Vektoriaus daugyba iš skaliaro yra kiekvieno vektoriaus nario daugyba iš skaliaro ir gauta sandauga yra vektorius:
: <math>c\mathbf{v} = (cv_1, cv_2, ..., cv_n)</math>.
== Dviejų vektorių suma ==
eilutė 20 ⟶ 21:
''Išsamesnis straipsnis: [[Skaliarinė sandauga]].''
Skaliarinės sandaugos savoka yra glaudžiai susijusi su vektoriaus ilgio bei vektoriaus projekcijos sampratomis.
Norint vektorius sudauginti skaliariškai, abu vektoriai turi '''atitikti''', t. y., abiejų vektorių narių skaičius turi būti vienodas. Skaliarinė dviejų vektorių sandauga yra suma visų kiekvieno iš vektoriaus atitinkamų narių sandaugų:
: <math>\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}=\sum_{i=1}^n v_i\cdot w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3 + ... + v_n w_n . </math>
: Skaliarinės vektorių sandaugos rezultatas yra ne vektorius, o skaliaras.
Pavyzdžiui, vektorių '''a'''=(3, 5, 6) ir '''b'''=(4, 0, 1) skaliarinė sandauga lygi:
: <math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=3\cdot 4+5\cdot 0+6\cdot 1=12+0+6=18.</math>
== Vektoriaus ilgis ==
eilutė 33 ⟶ 34:
Vektoriaus '''v''' ilgis gali būti paskaičiuotas naudojant Euklido normą:
: <math>\left\|\mathbf{v}\right\|= \sqrt{v_1^2 + \cdots + v_n^2}</math>.
Tai yra [[Pitagoro teorema|Pitagoro teoremos]] pasekmė, kadangi vienetiniai baziniai vektoriai '''e<sub>1</sub>''',
: <math> \left\|\mathbf{v}\right\|=\sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}</math>.
Pavyzdžiui, vektoriaus '''a'''=(3, -2, 4) ilgis:
: <math> \left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{29}.</math>
Vektoriaus sandaugos su skaliaru duos:
: ||c'''v'''||=c ||'''v'''||.
'''[[Trikampio nelygybė]]''' naudojama apibūdinti dviejų vektorių sumos ilgį:
: ||'''v'''+'''w'''||≤||'''v'''||+||'''w'''||.
== Kampas tarp vektorių ==
Kampas tarp dviejų vektorių yra išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą:
: <math>\cos \phi= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}</math>.
: <math>\phi=\arccos\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}.</math>
Matome, jog skaliarinė sandauga yra lygi vieno vektoriaus projekcijos į kitą vektorių ilgiui.
: <math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot\left\|\mathbf{b}\right\|\cdot \cos\phi.</math>
== Vektorinė vektorių sandauga ==
eilutė 60 ⟶ 61:
Vektorių '''a''' × '''b''' sandauga yra vektorius, statmenas '''a''' ir '''b''' ir yra aprašytas taip:
: <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}
=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\sin(\phi)\,\mathbf{\hat{n}}</math>
kur ''φ'' yra kampas tarp '''a''' ir '''b''', o <math>\mathbf{\hat{n}}</math> yra [[vienetinis vektorius|vienetinio ilgio vektorius]] <math>(\left\|\mathbf{\hat{n}}\right\|=1)</math> statmenas ir '''a''' ir '''b'''. Šio apibrėžimo problema ta, kad yra du vienetiniai vektoriai, statmeni '''b''' ir '''a'''.
Ortogonalių vektorių bazė '''e<sub>1</sub>''', '''e<sub>2</sub>''' , '''e<sub>3</sub>''' vadinama ''dešinine'', jei trys vektoriai išsidėstę kaip trys dešinės rankos pirštai (nykštys, smilius ir didysis).'''a''' × '''b''' vektorinė sandauga yra tokios krypties, kad '''a''' ir '''b''' bei '''a''' × '''b''' tampa dešinine sistema (taip pat atkreipkite dėmesį, kad '''a''' ir '''b''' nebūtinai yra ortogonalūs). Tai dar kitaip vadinama [[Dešinės rankos taisyklė|dešinės rankos taisykle]].
eilutė 72 ⟶ 73:
Pavyzdžiui, duoti vektoriai '''a'''=(1, -2, 2), '''b'''=(3, 0, -4). Jų vektorinė sandauga lygi
: <math>\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & 0 & -4 \end{vmatrix}=8\mathbf{i}+10\mathbf{j}+6\mathbf{k}=(8, 10, 6). </math>
Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą formaliai panaudojome [[determinantas|determinanto]] skaičiavimo taisykles.
Vektorinės sandaugos modulis yra [[Lygiagretainis|lygiagretainio]] plotas, kurį sudaro du vektoriai:
: <math>S=\left\|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\right\|=\sqrt{8^2+10^2+6^2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}.</math>
Dedamųjų daugyba:
: <math>\mathbf{i}\times \mathbf{j}=-(\mathbf{j}\times \mathbf{i})=\mathbf{k};</math>
: <math>\mathbf{j}\times \mathbf{k}=-(\mathbf{k}\times \mathbf{j})=\mathbf{i};</math>
: <math>\mathbf{k}\times \mathbf{i}=-(\mathbf{i}\times \mathbf{k})=\mathbf{j}.</math>
: <math>\mathbf{i}\times \mathbf{i}=\mathbf{j}\times \mathbf{j}=\mathbf{k}\times \mathbf{k}=\mathbf{0}.</math>
== Mišri vektorių sandauga ==
eilutė 87 ⟶ 88:
Mišri vektorių sandauga ('''a''' '''b''' '''c''') yra apibrėžiama:
: <math>(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})
=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{vmatrix}.</math>
Lygiagretainio gretasienio tūris gali būti skaičiuojamas kaip jį sudarančių 3 vektorių mišri sandauga.
== Taip pat skaitykite ==
== Nuorodos ==
http://www2.el.vgtu.lt/ssa/sA1node1.html
▲*[[Vektorių sudėtis]];
▲*[[Tiesinė algebra]].
{{mat-stub}}
▲{{Vikižodynas|vektorius|no=T}}
▲{{Commons|Category:Vector mathematics|no=T}}
[[Kategorija:Matematika]]
| |||