Faktorialas: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
S wiki sintakse 2 |
S wiki sintakse 3 |
||
Eilutė 7:
Formaliai faktorialo funkciją galima apibrėžti taip:
: <math>
n! = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{jei }n\mbox{=0} \\ n \cdot (n-1)!, & \mbox{jei }n\ge\mbox{1} \end{matrix}\right.
</math>
Eilutė 50:
Faktorialo funkcija gali būti [[funkcijos apibrėžimo sritis|apibrėžta]] ir ne [[Sveikasis skaičius|sveikiesiems skaičiams]]. Tokia funkcija yra vadinama '''gama funkcija''' ir yra žymima <math>\Gamma(z)</math>, kai z nėra 0 arba sveikas neigiamas skaičius
: <math>\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t. \!</math>
Pirmasis tokį pažymėjimą įvedė [[Andre-Mari Ležandras]].
Pirminis [[Leonardas Euleris|Eulerio]] gama funkcijos apibrėžimas buvo:
: <math>\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n(z+k)}. \!</math>
Gama funkcija kaip ir faktorialas tenkina tokius pat [[Rekursija|rekursyvinius sąryšius]]:
: <math>n!=n(n-1)! \,</math>
: <math>\Gamma(n+1)=n\Gamma(n) \,</math>
Kartu su <math>\Gamma(1)=1</math>:
: <math> \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1 </math>,
gama funkcija yra taip susijusi su faktorialu:
: <math>\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,</math>
Taip pat
: <math>\left (\frac{1}{2}\right )! = \frac{\sqrt{\pi}}{2}</math>
ir bet kokį pusinį faktorialą galime užrašyti taip:
: <math>\left (n+\frac{1}{2}\right )!=\sqrt{\pi}\times \prod_{k=0}^n {2k + 1 \over 2}.</math>
Pavyzdžiui,
: <math>3.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2} \approx 11.63.</math>
Faktiškai gama funkcija yra apibrėžta visiems [[kompleksinis skaičius|kompleksiniams skaičiams]], išskyrus nulį ir neigiamus sveikus skaičius.
Eilutė 81:
* n-matės [[Hipersfera|hipersferos]] [[tūris]] gali būti apskaičiuotas pasinaudojant gama funkcija:
:: <math>V_n={\pi^{n/2}R^n\over \Gamma((n/2)+1)}.</math>
==Nuorodos==
* http://factorielle.free.fr
{{Vikižodynas|faktorialas|no=T}}
| |||