Hiugenso ir Frenelio principas: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
SNėra keitimo santraukos |
Nėra keitimo santraukos |
||
Eilutė 8:
Hiugenso ir Frenelio principas formaliai seka iš kvantinės elektrodinamikos fundamentinių postulatų, tegiančių, kad kiekvieno objekto [[banginė funkcija]] sklinda visais įmanomais keliais iš šaltinio į nagrinėjamą tašką. Tokiu būdu šis principas yra visų [[kelio integralas|kelio integralų]], apibrėžiančių objekto banginės funkcijos [[amplitudė|amplitudę]] ir [[fazė|fazę]] [[Interferencija|interferencijos]] (sudėties) pasekmė bei apibrėžia [[Tikimybė|tikimybę]] aptikti objektą (tarkim [[fotonas|fotoną]]) nagrinėjamame taške. Ne tik šviesos [[kvantas|kvantai]] (fotonai), bei ir [[elektronas|elektronai]], [[neutronas|neutronai]], [[protonas|protonai]], [[atomas|atomai]], [[molekulė]]s bei kiti nepaminėti objektai paklūsta šiam paprastam principui.
== Difrakcija pro plyšį ==
Tegu banga, sklindanti iš taškinio šaltinio turi amplitudę <math>\psi</math> taške r, tuomet amplitudė yra [[bangų lygtis|bangų lygties]] dažnių erdvėje sprendinys
:<math>\nabla^2 \psi + k^2 \psi = \delta(\bold r)</math>
kur <math> \delta(\bold r)</math> yra trimatė [[delta funkcija]]. Delta funkcija turi tik radialinę priklausomybę, todėl [[Laplaso operatorius]] (skaliarinis Laplasianas) [[sferinė koordinačių sistema|sferinėse koordinatėse]] gali būti supaprastintas iki
:<math>\nabla ^2\psi= \frac{1}{r} \frac {\partial ^2}{\partial r^2} (r \psi) </math>
Tiesiogiai įstatę, galime įsitikinti, kad šios lygties sprendinys yra skaliarinė [[Gryno funkcija]], kuri sferinėse koordinatėse (bei naudojant "fizikinę" laikinę priklausomybę <math>e^{-i \omega t}</math>) užrašoma taip:
:<math>\psi(r) = \frac{e^{ikr}}{4 \pi r}</math>
Šis sprendinys teigia, kad delta funkcijos šaltinis yra koordinačių sistemos pradžioje. Kuomet šaltinio padėtis yra taškas, į kurį iš koordinačių sistemos pradžios eina vektorius <math>\bold r'</math>, o nagrinėjamas bangos taškas yra apibrėžiamas vektoriumi <math>\bold r</math>, tuomet mes galime užrašyti skaliarinę Gryno funkcija taip
:<math>\psi(\bold r | \bold r') = \frac{e^{ik | \bold r - \bold r' | }}{4 \pi | \bold r - \bold r' |}</math>
Tokiu būdu, jei elektrinis laukas, E<sub>inc</sub>(''x'',''y'') krenta į plyšį, elektrinis laukas už plyšio yra surandamas iš sekančio paviršinio integralo:
:<math>\Psi(r)\propto \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y')~ \frac{e^{ik | \bold r - \bold r'|}}{4 \pi | \bold r - \bold r' |} \,dx'\, dy',</math>
kur šaltinio taškas plyšyje yra
:<math>\bold r' = x' \bold \hat x + y' \bold \hat y</math>
Tolimoje srityje (tolimasis laukas), kuomet iš plyšio sklindantis spinduliai yra apytiksliai lygiagretūs, Gryno funkcija
:<math>\psi(\bold r | \bold r') = \frac{e^{ik | \bold r - \bold r' |} }{4 \pi | \bold r - \bold r' |}</math>
gali būti supaprastintai užrašyta kaip
:<math> \psi(\bold r | \bold r') = \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} e^{-ik ( \bold r' \cdot \bold \hat r)}</math>
Bangos amplitudės išraika tolimajame lauke (arba Frauenhoferio difrakcijos srityje) tampa
:<math>\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y') e^{-ik ( \bold r' \cdot \bold \hat r ) } \, dx' \,dy',</math>
Kadangi
:<math>\bold r' = x' \bold \hat x + y' \bold \hat y</math>
ir
:<math>\bold \hat r = \sin \theta \cos \phi \bold \hat x + \sin \theta ~ \sin \phi ~ \bold \hat y + \cos \theta \bold \hat z</math>
bangos lauko toliamajame lauke išraiška galutinai užrašoma kaip
:<math>\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y') e^{-ik \sin \theta (\cos \phi x' + \sin \phi y')} \, dx'\, dy'</math>
Tolimesnis išraiškos supaprastinimas gali būti pasiektas pakeitus koordinačių sistema. Tarkim,
:<math>k_x = k \sin \theta \cos \phi \,\!</math>
ir
:<math>k_y = k \sin \theta \sin \phi \,\!</math>
Gauname, kad Frauenhoferio difrakcijos metu, plokščią plyšį apšvietusi šviesa, už plyšio yra aprašoma integralu, esančiu kritusios šviesos [[Furjė transformacija|Furjė atvaizdu]].
:<math>\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y') e^{-i (k_x x' + k_y y') } \,dx'\, dy',</math>
Tokiu būdu, toli nuo plyšio, pro plyšį praėjusios šviesos laukas yra erdvinis elektrinio lauko plyšyje Furjė atvaizdas. Hiugenso principas pritaikytas difrakcijai pro plyšį teigia, kad tolimasis bangos laukas neša savyje informaciją apie jį sukūrusį plyšį.
[[Kategorija:Optika]]
| |||