Gryno formulė: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Eilutė 17:
<math>\int_L xydx+(x^2+y^2)dy=\iint_D(2x-x)dxdy=\iint_D x dxdy.</math>
Dvilypį integralą pakeisime kartotiniu polinėje koordinačių sistemoje, turėdami galvoje, kad apskritimas apeinamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodykle). Tuomet kampas <math>\phi</math> kinta nuo <math>-{\pi\over 2}</math> iki <math>{\pi\over 2}.</math> Vadinasi (<math>x=\rho\cos\phi,</math> <math>\rho^2=a\rho\cos\phi,</math> <math>\rho=a\cos\phi</math>),
<math>\int_D xdxdy=\iint_D\rho^2\cos\phi d\rho d\phi=\int_{-{\pi\over 2}}^{\pi\over 2}\cos\phi d\phi\int_0^{a\cos\phi}\rho^2 d\rho=\int_{-{\pi\over 2}}^{\pi\over 2}\cos\phi {\rho^3\over 3}|_0^{a\cos\phi} d\phi=
<math>={a^3\over 3}\int_{-{\pi\over 2}}^{\pi\over 2}\cos^4\phi d\phi={2a^3\over 3}\int_0^{\pi\over 2}\cos^4\phi d\phi={2a^3\over 3}\cdot {3!!\over 4!!}\cdot {\pi\over 2}={\pi a^3\over 8},</math> kur pasinaudojome [[integravimo metodai|dvigubu faktorialu]].
| |||