Trapecija (gr. τραπέζιονstaliukas) – keturkampis, kurio dvi priešingosios kraštinės lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės gali būti nelygiagrečios. Lygiagrečios kraštinės vadinamos trapecijos pagrindais, kitos dvi kraštinės – šoninėmis kraštinėmis. 1 pav. pavaizduotos trapecijos kraštinės BC ir AD – trapecijos pagrindai, AB ir CD – trapecijos šoninės kraštinės. Iš taškų B ir C nuleisti statmenys BK ir CL vadinami trapecijos aukštine. atkarpa, kuri jungia šoninių kraštinių vidurio taškus, vadinama trapecijos vidurio linija. 1 pav. pavaizduotos trapecijos vidurio linija yra EF.[1]

1 pav. Įvairiakraštė trapecija

Aplink trapeciją apibrėžti apskritimą galima tik tada, jeigu ji yra lygiašonė.[2]

Trapecijų rūšys redaguoti

Lygiašonė trapecija redaguoti

 
2 pav. Lygiašonė trapecija

Trapecija, kurios šoninės kraštinės lygios, vadinama lygiašonė. 2 pav. pavaizduota trapecija ABCD yra lygiašonė, nes AB=CD. Lygiašonės trapecijos kampai prie kiekvieno iš pagrindų yra lygūs:[3]  

  laipsnių.   laipsnių.

Jeigu į lygiašonę trapeciją galima įbrėžti apskritimą, tai jos aukštinė h yra lygi pagrindų a ir b geometriniam vidurkiui:[4]

 

Stačioji trapecija redaguoti

Trapecija, kurios viena šoninė kraštinė statmena pagrindui, vadinama stačiąja. 3 pav. pavaizduota stačioji trapecija ABCD, kurios  

 
3 pav. Stačioji trapecija

Trapecijos savybės redaguoti

  • Keturkampis yra trapecija tada ir tik tada, jei yra bent viena pora greta esančių kampų, kurių suma lygi 180°.
  • Kita būtina ir pakankama sąlyga yra jog įstrižainės dalija viena kitą tuo pačiu santykiu. Šis santykis toks pats kaip ir tarp pagrindų ilgių.
  • Linija, išvesta per šoninių kraštinių vidurio taškus (vidurinė linija), yra lygiagreti pagrindams. Jos ilgis yra pagrindų ilgių aritmetinis vidurkis.

Trapecijos elementų žymėjimas redaguoti

4 pav. pavaizduoti visi pagrindiniai trapecijos elementai. AB=b, DC=a – trapecijos ABCD pagrindai; DA=d, BC=c – trapecijos šoninės kraštinės; GH=m – trapecijos vidurio linija; EF – atkarpa, einanti per įstrižainių susikirtimo tašką ir lygiagreti pagrindams; AK=h – aukštinė; BD= ,AC=  – trapecijos įstrižainės; φ – kampas tarp įstrižainių.

 
4 pav. Trapecijos elementai

Trapecijos vidurio linija, perimetras, plotas redaguoti

Pastaba: Visos žemiau pateiktos formulės remiasi 4 pav. žymėjimais (žr. Trapecijos elementų žymėjimas).
Trapecijos vidurinė linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų sumos pusei:[5]

 ,  ;  

Trapecijos įstrižainių radimas:

 ;  

Atkarpos lygiagrečios pagrindams ir einančios per įstrižainių susikirtimo tašką radimas:

 

Trapecijos perimetras ir pusperimetris:

 ;  

Trapecijos plotas lygus vidurinės linijos ir aukštinės sandaugai:

 ,

Trapecijos plotas lygus jos pagrindų sumos pusei ir aukštinės sandaugai.

 ,

čia a ir b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, h – aukštinė. Kitaip tariant (žr. savybes) jis lygus vidurinės linijos ir aukštinės ilgių sandaugai.

Jei aukštinė nežinoma, tačiau žinomi visų kraštinių ilgiai, trapecijos plotą galima rasti pagal formulę

 

čia a, b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, c, d – kitų dviejų kraštinių ilgiai.

Trapecijos plotas lygus jos įstrižainių ir sinuso kampo tarp jų pusei:

   

Šaltiniai redaguoti

  1. Petras Vaškas. Trapecija. Visuotinė lietuvių enciklopedija, T. XXIV (Tolj–Veni). – Vilnius: Mokslo ir enciklopedijų leidybos institutas, 2015
  2. Birutė Gražulevičienė. Mokyklinės matematikos žinynas. – Vilnius: Leidybos centras, 1997. – 84 p. ISBN 9986-03-264-4
  3. Vaidotas Mockus. Geometrijos žinynas moksleiviams. – Šiauliai: Šiaulių pedagoginis institutas, 1996. – 71 p. ISBN 9986-38-010-3
  4. Vaidotas Mockus, Algidė Jocaitė. Mokyklinio geometrijos kurso kartojimo medžiaga. – Šiauliai: V.Mockaus įmonė, 2002. – 100 p. ISBN 9955-9379-7-1
  5. Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI-XII klasei. Suaugusiųjų ir savarankiškam mokymuisi. – Kaunas: Šviesa, 2007. – 189 p. ISBN 5-430-04629-9

Nuorodos redaguoti