Tolygusis briaunainis

Platono kūnas: Tetraedras
Tolygusis žvaigždinis briaunainis: Nusklembtas dodekadodekaedras

Tolygusis briaunainis – toks briaunainis, kurio sienos yra taisyklingieji daugiakampiai ir kurio viršūnės yra tranzityvios (t. y. viršūnių kampai yra lygūs ir šis briaunainis yra izogonas). Tolygaus briaunainio visos viršūnės yra tolygios (tapačios), o pats briaunainis pasižymi didelio laipsnio atspindėjimo ir sukimo simetrija.

Tolygieji briaunainiai gali būti taisyklingi (jei be viršūnių, dar yra tranzityvios sienos ir briaunos), kvazitaisyklingi (jei be viršūnių, dar yra tranzityvios briaunos, bet sienos netranzityvios) ir pustaisyklingiai (jei tranzityvios vien viršūnės, o sienos ir briaunos netranzityvios). Šių briaunainių sienos ir viršūnės gali būti ir neiškilos, tad daug tolygiųjų briaunainių yra žvaigždiniai.

Atmetus begalines prizminių briaunainių klases, suskaičiuosime 75 tolygiuosius briaunainius (arba 76, jei įskaičiuosime Skilingo figūrą).

  • Iškilieji:
  • Žvaigždiniai:
    • 4 Keplerio-Puanso kūnai – taisyklingi neiškili briaunainiai;
    • 53 tolygūs žvaigždiniai braiunainiai – 5 kvazitaisyklingieji ir 48 pustaisyklingiai;
    • 1 žvaigždinis briaunainis, turintis sutampančių briaunų poras, geometriškai vadinamas didžiuoju dinusklembtu dirombiniu dodekaedru, kurį atrado Džonas Skilingas (John Skilling), todėl neretai jis svadinamas tiesiog Skilingo figūra.

Greta šios suskaičiuojamos aibės dar yra dvi begalinės briaunainių klasės – prizmės ir antiprizmės, apimančios prizmines iškilas ir žvaigždines formas.

Tolygiųjų briaunainių dualai turi tranzityvias sienas (yra izoedrai) ir jų viršūnės planas yra taisyklingas daugiakampis. Įprastai klasifikuojant, dualūs briaunainiai gretinami su jų pirminiais tolygiaisiais briaunainiais. Taisyklingųjų briaunainių dualai taip pat yra taisyklingieji, o Archimedo kūnų – Katalano kūnai.

Tolygieji briaunainiai yra atskiras trimatis tolygiųjų politopų atvejis. Tolygiųjų politopų teorija apibendrina tolygiąsias figūras ne vien trimatei bet ir kitų matavimų erdvėms: tiek aukštesnio matavimo (keturmatei ir aukštesnei), tiek žemesnėms (dvimatei, vienmatei ir pan.). Trimačių tolygiųjų briaunainių nagrinėjimas leidžia akivaizdžiai pažvelgti į tolygiųjų politopų savybes žmogui lengvai suvokiamoje trimatėje erdvėje.

Istorija

redaguoti

Taisyklingieji žvaigždiniai briaunainiai:

Kiti 53 netaisyklingieji žvaigždiniai briaunainiai:

  • Iš likusių 53, 1878 metais Edmundas Hesas (Edmund Hess) atrado du briaunainius, 1881 metais Alberas Banduro (Albert Badoureau) atrado 36, o Pičas (Pitsch), tais pačiais 1881 metais, nepriklausomai atrado dar 18, iš kurių 15 buvo dar visiškai nežinomi.
  • JAV geometras Haroldas Kokseteris (Harold Scott MacDonald Coxeter), bendradarbiaudamas su Džefriu Mileriu (Jeffrey Charles Percy Miller), 1930–1932 metais atrado likusius dvylika briaunainių, bet neskubėjo apie tai publikuoti, tad panašiai tuo pačiu metu broliai Maiklas ir Kristoferis Longet-Higinsai (Michael Selwyn Longuet-Higgins, Hugh Christopher Longuet-Higgins) nepriklausomai atrado 11 šių briaunainių.
  • 1954 metais Kokseteris, broliai Longet-Higinsai ir Mileris bendrai publikavo tolygiųjų briaunainių sąrašą.[1]
  • 1970 metais Sopovas[2] įrodė, kad jų sąrašas yra išsamus.
  • 1974 metais Magnusas Veningeris (Magnus Wenninger) publikavo veikalą Polyhedron models (Briaunainių modeliai), kuriame pavaizduoti visi 75 neprizminiai tolygieji briaunainiai ir pateikti matematiko Normano Džonsono (Norman Johnson) suteikti pavadinimai, kurie, daugelio jų, nebuvo anksčiau skelbti.
  • 1975 metais Dž. Skilingas (John Skilling) nepriklausomai dar kartą įrodė, kad Kokseterio ir kitų sąrašas yra išsamus, o jei būtų leista tolygiesiems briaunainiams priskirti figūrą, kurios kelios briaunos sutampa, tuomet reikėtų įtraukti dar vieną, ir tiktai vieną briaunainį, vėliau pavadintą Skilingo figūra.[3]
  • 1987 metais Edmondas Bonanas (Edmond Bonan) nubraižė visų tolygiųjų briaunainių trimates projekcijas kompiuterio programa (turbo paskalio kalba parašyta programa Polyca) – šie vaizdai buvo pristatyti Tarptautiniame steroskopijos kongrese (International Stereoscopic Union Congress, Eastbourne, UK).
  • 1993 metais Zvi Har Elis (Zvi Har’El) sukūrė kompiuterinę programą Kaleido, skirtą kaleidoskopiniam tolygiųjų briaunainių konstravimui ir aprašė ją straipsnyje Uniform Solution for Uniform Polyhedra (Vieningas sprendimas tolygiems briaunainiams). Jis figūras numeravo nuo 1 iki 80.
  • Tais pačiais 1993 metais, R. Mėderis (R. Mäder) Kaleido programos sprendimui pritaikė kitokį figūrų indeksavimą ir viską perkėlė į Mathematica programinę aplinką.
  • 2002 metais Peteris Meseris (Peter W. Messer) atrado minimalią aibę, apimančią uždaro pavidalo išraiškas, kuriomis galima išreikšti kombinatorinių ir metrinių bet kurio tolygiojo briaunainio (ir jo dualo) savybių kiekybinius parametrus, kai žinomas tik Vithofo simbolis.[4]

Tolygieji žvaigždiniai briaunainiai

redaguoti

Visi 57 neprizminiai neiškili briaunainiai gali būti sudaryti taikant Vithofo konstravimo metodą.

Iškilos (nežvaigždinės) formos: Vithofo konstravimas

redaguoti
Pavyzdys sukurtas iš kubo ir oktaedro tarpusavio virsmo
Pavyzdys sukurtas iš kubo ir oktaedro tarpusavio virsmo

Iškili tolygieji briaunainiai yra vadinami pagal Vithofo konstravimo veiksmo pavadinimą ir (arba) pagal sąsają su taisyklingąja forma. Žemiau pateikiami iškili tolygieji briaunainiai išdėstyti pagal Vithofo konstravimo veiksmą ir simetrijos grupę.

Vithofo konstravimo metu sukuriami pakartojimai, kuriuos atitinka žemesnės simetrijos atvejai. Kubas vienu metu yra ir taisyklingasis briaunainis, ir kvadratinė prizmė. Oktaedras vienu metu yra ir taisyklingasis briaunainis, ir trikampė antiprizmė; be to, jis dar yra rektifikuotas tetraedras. Daug briaunainių gali būti sukurti pakartotinai iš skirtingų Vithofo konstravimo taškų – tik tada jie yra kitaip nuspalvinami. (Kadangi Vithofo konstravimas vienodai tinkamas tiek tolygiems briaunainiams, tiek tolygiems klojiniams, tai lentelėje pateikiami abeji vaizdai. Sferiniai klojiniai apima ir vadinamuosius hosoedrus bei diedrus, kurie yra netikrieji, „išsigimę“ briaunainiai.)

Vithofo konstravimo metu simetrijos grupės sukuriamos iš trimačio atspindžio taškų grupių, kurių kiekvieną atitinka fundamentinis trikampis (p q r), kur p>1, q>1, r>1 ir 1/p+1/q+1/r<1.

Likusios neatspindėjimo formos yra konstruojamos nupjaunant pakaitomis (angl. alternation) sienų daugiakampius, turinčius lyginį kraštinių skaičių, kai nupjaunamas kas antras briaunanio sienos daugiakampio kampas.

Kartu su prizmėmis ir jų diedrine simetrija, sferinio Vithofo konstravimo veiksmas prideda dvi taisyklingas klases, kurios yra „išsigimę“ briaunainiai – diedrai ir hosoedrai, iš kurių pirmieji turi tik dvi sienas, o antrieji tik dvi viršūnes. Nupjaunant taisyklingąjį hosoedrą gauname prizmes.

Žemiau, iškili tolygieji briaunainiai, kurie nėra prizmės, pateikiami simetrinių formų tvarka ir indeksuojami nuo 1 iki 18. Pasikartojančios formos numeris apskliaustas laužtiniais skliaustais.

Begalinės prizminės formos indeksuojamos, paskirsčius jas į keturias šeimas:

  1. Hosoedrai H2… (Tik kaip sferiniai klojiniai)
  2. Diedrai D2… (Tik kaip sferiniai klojiniai)
  3. Prizmės P3… (Nupjautiniai hosoedrai)
  4. Antiprizmės A3… (Nusklembtos (angl. snub) prizmės)

Apibendrinančios duomenų lentelės

redaguoti

p – sienos kraštinių (arba kampų) skaičius;
q – į vieną viršūnę sueinančių sienų (arba briaunų) skaičius.

Džonsono pavadinimai Pirminis Nupjautinis Rektifikuotas Binupjautinis
(nupjautinis dualas)
Birektifikuotas
(dualas)
Kanteliuotas Omninupjautinis
(Kantenupjautinis)
Nusklembtas
(angl. snub)
Išplėstinis
Šlėfli simbolis
{p, q} t{p, q} r{p, q} 2t{p, q} 2r{p, q} rr{p, q} tr{p, q} sr{p, q}
t0{p, q} t0,1{p, q} t1{p, q} t1,2{p, q} t2{p, q} t0,2{p, q} t0,1,2{p, q} ht0,1,2{p, q}
Vithofo simbolis
(p q 2)
q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Kokseterio diagram



Viršūnės planas pq (q.2p.2p) (p.q)2 (p.2q.2q) qp (p.4.q.4) (4.2p.2q) (3.3.p.3.q)
Tetraedrinė
(3 3 2)

{3,3}

(3.6.6)

(3.3.3.3)

(3.6.6)

{3,3}

(3.4.3.4)

(4.6.6)

(3.3.3.3.3)
Oktaedrinė
(4 3 2)

{4,3}

(3.8.8)

(3.4.3.4)

(4.6.6)

{3,4}

(3.4.4.4)

(4.6.8)

(3.3.3.3.4)
Ikosaedrinė
(5 3 2)

{5,3}

(3.10.10)

(3.5.3.5)

(5.6.6)

{3,5}

(3.4.5.4)

(4.6.10)

(3.3.3.3.5)

Diedrinės simetrijos vaizdai:

(p 2 2) Pirminis Nupjautinis Rektifikuotas Binupjautinis
(nupj. dualas)
Birektifikuotas
(dualas)
Kanteliuotas Omninupjautinis
(Kantenupjautinis)
Nusklembtas
(angl. snub)
Išplėstinis
Šlėfli simbolis
{p,2} t{p,2} r{p,2} 2t{p,2} 2r{p,2} rr{p,2} tr{p,2} sr{p,2}
t0{p,2} t0,1{p,2} t1{p,2} t1,2{p,2} t2{p,2} t0,2{p,2} t0,1,2{p,2} ht0,1,2{p,2}
Vithofo simbolis 2 | p 2 2 2 | p 2 | p 2 2 p | 2 p | 2 2 p 2 | 2 p 2 2 | | p 2 2
Kokseterio-Dinkino
diagrama
Viršūnės planas p2 (2.2p.2p) (p. 2.p. 2) (p. 4.4) 2p (p. 4.2.4) (4.2p.4) (3.3.p. 3.2)
Diedrinė
(2 2 2)

{2,2}

2.4.4

2.2.2.2

4.4.2

{2,2}

2.4.2.4

4.4.4

3.3.3.2
Diedrinė
(3 2 2)

{3,2}

2.6.6

2.3.2.3

4.4.3

{2,3}

2.4.3.4

4.4.6

3.3.3.3
Diedrinė
(4 2 2)

{4,2}
2.8.8
2.4.2.4

4.4.4

{2,4}

2.4.4.4

4.4.8

3.3.3.4
Diedrinė
(5 2 2)

{5,2}
2.10.10
2.5.2.5

4.4.5

{2,5}

2.4.5.4

4.4.10

3.3.3.5
Diedrinė
(6 2 2)

{6,2}

2.12.12

2.6.2.6

4.4.6

{2,6}

2.4.6.4

4.4.12

3.3.3.6

Vithofo konstravimo veiksmai

redaguoti
Veiksmas Simbolis Kokseterio
diagrama
Aprašymas
Pirminis {p, q}
t0{p, q}
Bet koks taisyklingas briaunainis arba klojinys
Rektifikuotas (r) r{p, q}
t1{p, q}
Visiškai nupjautos briaunos virsta taškais. Briaunainio sienos dabar yra kombinuotos iš priminio kūno ir jo dualo sienų.
Birektifikuotas (2r)
(tas pats, kas dualas)
2r{p, q}
t2{p, q}
Birektifikuotas kūnas (dualas) gaunamas toliau nupjaunant taip, kad pirminės sienos virsta taškais. Naujos sienos susidaro po kiekviena pirmine viršūne. Briaunų skaičius nepakinta, bet jos pasisuka 90 laipsnių. Taisyklingojo briaunainio {p, q} dualas yra taip pat taisyklingas briaunainis {q, p}.
Nupjautas (t) t{p, q}
t0,1{p, q}
Kiekviena pirminė viršūnė nupjaunama ir jos vietoje susidaro nauja siena. Nupjovimui būdingas tam tikras laisvės laipsnis, kurio vienas sprendimas sukuria tolygųjį nupjautinį briaunainį. Pirminių briaunainio sienos pastumiamos į šonus, o nupjautų viršūnių vietoje susidaro dualo sienos.
Binupjovimas (2t) 2t{p, q}
t1,2{p, q}
Tas pats, kas nupjautinis dualas.
Kanteliacija (rr)
(Taip pat Išplėtimas)
rr{p, q} Kartu su viršūnės nupjovimu, kiekviena pirminė briauna nuožulniai papildoma nauja stačiakampe siena, susidarančia vietoje briaunos. Tolygi kanteliacija yra pusiaukelė tarp pirminio kūno ir jo dualo.
Kantenupjautas (tr)
(Taip pat Omninupjovimas)
tr{p, q}
t0,1,2{p, q}
Nupjovimas ir kanteliacija vyksta kartu ir sukuria omninupjautą formą, kurioje pirminio kūno sienos yra pastumtos į šonus, dualo sienos yra pastumtos į šonus, o vietoje pirminių briaunų yra susidarę kvadratai
Nupjovimas pakaitomis (angl. alternation)
Veiksmas Simbolis Kokseterio
diagrama
Aprašymas
Nusklembtas rektifikuotas (sr) sr{p, q} Kantenupjovimas pakaitomis. Visos pirminės sienos netenka pusės savo kraštinių, o kvadratai susitraukia į briaunas. Kadangi omninupjautinės formos turi trisienių viršūnių, susidaro nauji trikampiai. Įprastai šios pakaitinio sienų keitimo būdu gautos formos vėliau šiek tiek deformuojamos, kad vėl taptų tolygiais briaunainiais. Vėlesnės kaitos galimybės priklauso nuo laisvės laipsnio.
Nusklembtas (s) s{p,2q} Nupjovimas pakaitomis
Kantavimas nusklembimas (s2) s2{p,2q}
Kanteliacija pakaitomis (hrr) hrr{2p,2q} Įmanomi tik tolygieji klojiniai (begaliniai briaunainiai), kai pakaitomis nupjaunama
Pavyzdžiui,
Pusė (h) h{2p, q} Pakaitomis nupjaunama , tas pats kaip
Kantavimas (h2) h2{2p, q} Tas pats kaip
Pusiau rektifikavimas (hr) hr{2p,2q} Įmanomas tik tolygiems klojiniams (begaliniams briaunainiams), pakaitomis nupjaunama , tas pats kaip arba
Pavyzdžiui, = arba
Ketvirtis (q) q{2p,2q} Įmanomas tik tolygiems klojiniams (begaliniams briaunainiams), tas pats kaip
pavyzdžiui, = arba

(3 3 2) Td Tetraedrinė simetrija

redaguoti

Sferos tetraedrinė simetrija sukuria 5 tolygiuosius briaunainius, o šeštas suformuojamas nusklembimo veiksmu.

Tetraedrinės simetrijos pagrindas yra fundamentinis trikampis, turintis vieną viršūnę su dviem veidrodžiais ir dvi viršūnes su trimis veidrodžiais, kas užrašoma simboliu (3 3 2). Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe A2 arba [3,3], taip pat Kokseterio-Dinkino diagrama: .

Tetrakis heksaedras turi 24 regimus trikampius, o ant sferos matome pakaitomis nudažytus trikampius ant analogiško sferinio briaunainio:

Nr. Pavadinimas Grafas
A3
Grafas
A2
Vaizdas Klojinys Viršūnės
planas
Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Poz. 2

[3]
(4)
Poz. 1

[2]
(6)
Poz. 0

[3]
(4)
Sienos Briaunos Viršūnės
1 Tetraedras
{3,3}

{3}
4 6 4
[1] Birektifikuotas tetraedras
(tas pats, kaip tetraedras)

t2{3,3}={3,3}

{3}
4 6 4
2 Rektifikuotas tetraedras
(tas pats, kaip oktaedras)

t1{3,3}=r{3,3}

{3}

{3}
8 12 6
3 Nupjautinis tetraedras
t0,1{3,3}=t{3,3}

{6}

{3}
8 18 12
[3] Binupjautinis tetraedras
(tas pats, kaip nupjautinis tetraedras)

t1,2{3,3}=t{3,3}

{3}

{6}
8 18 12
4 Rombinis tetratetraedras
(tas pats, kaip kuboktaedras)

t0,2{3,3}=rr{3,3}

{3}

{4}

{3}
14 24 12
5 Nupjautinis tetratetraedras
(tas pats, kaip nupjautinis oktaedras)

t0,1,2{3,3}=tr{3,3}

{6}

{4}

{6}
14 36 24
6 Nusklembtas tetratetraedras
(tas pats, kaip ikosaedras)

sr{3,3}

{3}

2 {3}

{3}
20 30 12

(4 3 2) Oh Oktaedrinė simetrija

redaguoti

Sferos oktaedrinė simetrija sukuria 7 tolygiuosius briaunainius ir dar 7 pasitelkiant nupjovimą pakaitomis. Šeši pavidalai kartojasi iš aprašytos tetraedrinės simetrijos lentelės (aukščiau).

Oktaedrinės simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis (4 3 2), jei skaičiuosime veidrodžius kiekvienoje viršūnėje. Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe B2 arba [4,3], taip pat Kokseterio-Dinkino diagrama: .

Disdyakis dodekaedras turi 48 regimus sienų trikampius, o ant sferos matome pakaitomis nudažytus trikampius, vaizduojančius analogišką sferinį briaunainį:

Nr. Pavadinimas Grafas
B3
Grafas
B2
Vaizdas Klojinys Viršūnės planas Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Poz. 2

[4]
(8)
Poz. 1

[2]
(12)
Poz. 0

[3]
(6)
Sienos Briaunos Viršūnės
7 Kubas
{4,3}

{4}
6 12 8
[2] Oktaedras
{3,4}

{3}
8 12 6
[4] Rektifikuotas kubas
Rektifikuotas oktaedras
(Kuboktaedras)

{4,3}

{4}

{3}
14 24 12
8 Nupjautinis kubas
t0,1{4,3}=t{4,3}

{8}

{3}
14 36 24
[5] Nupjautinis oktaedras
t0,1{3,4}=t{3,4}

{4}

{6}
14 36 24
9 Kanteliuotas kubas
Kanteliuotas oktaedras
Rombinis kuboktaedras

t0,2{4,3}=rr{4,3}

{8}

{4}

{6}
26 48 24
10 Omninupjautinis kubas
Omninupjautinis oktaedras
Nupjautinis kuboktaedras

t0,1,2{4,3}=tr{4,3}

{8}

{4}

{6}
26 72 48
[6] Nusklembtas oktaedras
(Tas pats, kaip ikosaedras)

=
s{3,4}=sr{3,3}

{3}

{3}
20 30 12
[1] Puskubis
(Tas pats, kaip tetraedras)

=
h{4,3}={3,3}

1/2 {3}
4 6 4
[2] Kantuotas kubas
(Tas pats, kaip nupjautinis tetraedras)

=
h2{4,3}=t{3,3}

1/2 {6}

1/2 {3}
8 18 12
[4] (Tas pats, kaip kuboktaedras)
=
rr{3,3}
14 24 12
[5] (Tas pats, kaip nupjautinis oktaedras)
=
tr{3,3}
14 36 24
[9] Kantuotas nusklembtas oktaedras
(Tas pats, kaip rombinis kuboktaedras)

s2{3,4}=rr{3,4}
26 48 24
11 Nusklembtas kuboktaedras
sr{4,3}

{4}

2 {3}

{3}
38 60 24

(5 3 2) Ih Ikosaedrinė simetrija

redaguoti

Sferos ikosaedrinė simetrija sukuria 7 tolygiuosius briaunainius ir dar 1, pasitelkiant nupjovimą pakaitomis. Tik 1 pavidalas kartojasi iš aprašytų tetraedrinės ir oktaedrinės simetrijos lentelių (aukščiau).

Ikosaedrinės simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis (5 3 2), jei skaičiuosime veidrodžius kiekvienoje viršūnėje. Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe G2 arba [5,3], taip pat Kokseterio-Dinkino diagrama: .

Disdyakis triakontaedras turi 120 regimų sienų trikampių, o ant sferos matome pakaitomis nudažytus trikampius, vaizduojančius analogišką sferinį briaunainį:

Nr. Pavadinimas Grafas
(A2)
[6]
Grafas
(H3)
[10]
Vaizdas Klojinys Viršūnės planas Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Poz. 2

[5]
(12)
Poz. 1

[2]
(30)
Poz. 0

[3]
(20)
Sienos Briaunos Viršūnės
12 Dodekaedras
{5,3}

{5}
12 30 20
[6] Ikosaedras
{3,5}

{3}
20 30 12
13 Rektifikuotas dodekaedras
Rektifikuotas ikosaedras
Ikosidodekaedras

t1{5,3}=r{5,3}

{5}

{3}
32 60 30
14 Nupjautinis dodekaedras
t0,1{5,3}=t{5,3}

{10}

{3}
32 90 60
15 Nupjautinis ikosaedras
t0,1{3,5}=t{3,5}

{5}

{6}
32 90 60
16 Kanteliuotas dodekaedras
Kanteliuotas ikosaedras
Rombinis ikosidodekaedras

t0,2{5,3}=rr{5,3}

{5}

{4}

{3}
62 120 60
17 Omninupjautinis dodekaedras
Omninupjautinis ikosaedras
Nupjautinis ikosidodekaedras

t0,1,2{5,3}=tr{5,3}

{10}

{4}

{6}
62 180 120
18 Nusklembtas ikosidodekaedras
sr{5,3}

{5}

2 {3}

{3}
92 150 60

(p 2 2) Prizminės [p,2], I2(p) šeimos (Dph diedrinė simetrija)

redaguoti

Sferos ikosaedrinė simetrija sukuria dvi begalines tolygiųjų briaunanių aibes, prizmes ir antiprizmes, ir dar dvi begalines išsigimusių briaunanių aibes, hosoedrus ir diedrus, kurie egzistuoja tik kaip sferos klojiniai.

Diedrinės simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis (p 2 2), jei skaičiuosime veidrodžius kiekvienoje viršūnėje. Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe I2(p) arba [n,2], taip pat prizmine Kokseterio-Dinkino diagrama: .

Žemiau pavaizduoti pirmi penki diedrinės simetrijos atvejai: D2 … D6. Diedrinės simetrijos Dp eilė yra 4n, atspindi bipiramidės sienas, o ant sferos – tai pusiaujo linija ir n tolygiai viena nuo kitos nutolusių dienovidinių.

(2 2 2) diedrinė simetrija

redaguoti

Yra 8 fundamentalūs trikampiai, matomi ant kvadratinės bipiramidės sienų (oktaedras) ir pakaitomis nuspalvintus trikampius ant sferos:

Nr. Pavadinimas Vaizdas Klojinys Viršūnės planas Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Poz. 2

[2]
(2)
Poz. 1

[2]
(2)
Poz. 0

[2]
(2)
Sienos Briaunos Viršūnės
D2
H2
Digoninis diedras
Digoninis hosoedras

{2,2}

{2}
2 2 2
D4 Nupjautinis digoninis diedras
(Tas pats, kaip kvadratinis diedras)

t{2,2}={4,2}

{4}
2 4 4
P4
[7]
omninupjautinis digoninis diedras
(Tas pats, kaip kubas)

t0,1,2{2,2}=tr{2,2}

{4}

{4}

{4}
6 12 8
A2
[1]
Nusklembtas digoninis diedras
(Tas pats, kaip tetraedras)

sr{2,2}

2 {3}
  4 6 4

(3 2 2) D3h diedrinė simetrija

redaguoti

Yra 12 fundamentalių trikampių, kurie matomi ant šešiakampės bipiramidės sienų ir pakaitomis nuspalvintus trikampius ant sferos:

Nr. Pavadinimas Vaizdas Klojinys Viršūnės planas Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Poz. 2

[3]
(2)
Poz. 1

[2]
(3)
Poz. 0

[2]
(3)
Sienos Briaunos Viršūnės
D3 Trigoninis diedras
{3,2}

{3}
2 3 3
H3 Trigoninis hosoedras
{2,3}

{2}
3 3 2
D6 Nupjautinis trigoninis diedras
(Tas pats, kaip šešiakampis diedras)

t{3,2}

{6}
2 6 6
P3 Nupjautinis trigoninis hosoedras
(Trikampė prizmė)

t{2,3}

{3}

{4}
5 9 6
P6 Omninupjautinis trigoninis diedras
(Šešiakampė prizmė)

t0,1,2{2,3}=tr{2,3}

{6}

{4}

{4}
8 18 12
A3
[2]
Nusklembtas trigoninis diedras
(Tas pats, kaip trikampė antiprizmė)
(Tas pats, kaip oktaedras)

sr{2,3}

{3}

2 {3}
  8 12 6
P3 Kantuotas nusklembtas trigoninis diedras
(Trikampė prizmė)

s2{2,3}=t{2,3}
5 9 6

(4 2 2) D4h diedrinė simetrija

redaguoti

Yra 16 fundamentalių trikampių, kurie matomi ant aštuoniakampės bipiramidės sienų ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos:

Nr. Pavadinimas Vaizdas Klojinys Viršūnės planas Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Poz. 2

[4]
(2)
Poz. 1

[2]
(4)
Poz. 0

[2]
(4)
Sienos Briaunos Viršūnės
D4 Kvadratinis diedras
{4,2}

{4}
2 4 4
H4 Kvadratinis hosoedras
{2,4}

{2}
4 4 2
D8 Nupjautinis kvadratinis diedras
(Tas pats, kaip aštuoniakampis diedras)

t{4,2}

{8}
2 8 8
P4
[7]
Nupjautinis kvadratinis hosoedras
(Kubas)

t{2,4}

{4}

{4}
6 12 8
D8 Omninupjautinis kvadratinis diedras
(Aštuoniakampė prizmė)

t0,1,2{2,4}=tr{2,4}

{8}

{4}

{4}
10 24 16
A4 Nusklembtas kvadratinis diedras
(Kvadratinė antiprizmė)

sr{2,4}

{4}

2 {3}
  10 16 8
P4
[7]
Kantuotas nusklembtas kvadratinis diedras
(Kubas)

s2{4,2}=t{2,4}
6 12 8
A2
[1]
Nusklembtas kvadratinis hosoedras
(Digoninė antiprizmė)
(Tetraedras)

s{2,4}=sr{2,2}
4 6 4

(5 2 2) D5h diedrinė simetrija

redaguoti

Yra 20 fundamentalių trikampių, kurie matomi ant dešimtkampės bipiramidės sienų ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos:

Nr. Pavadinimas Vaizdas Klojinys Viršūnės planas Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Pos. 2

[5]
(2)
Pos. 1

[2]
(5)
Pos. 0

[2]
(5)
Sienos Briaunos Viršūnės
D5 Penkiakampis diedras
{5,2}

{5}
2 5 5
H5 Penkiakampis hosoedras
{2,5}

{2}
5 5 2
D10 Nupjautinis penkiakampis diedras
(Tas pats, kaip dešimtkampis diedras)

t{5,2}

{10}
2 10 10
P5 Nupjautinis penkiakampis hosoedras
(Tas pats, kaip penkiakampė prizmė)

t{2,5}

{5}

{4}
7 15 10
P10 Omninupjautinis penkiakampis diedras
(dešimtkampė prizmė)

t0,1,2{2,5}=tr{2,5}

{10}

{4}

{4}
12 30 20
A5 Nusklembtas penkiakampis diedras
(Penkiakampė antiprizmė)

sr{2,5}

{5}

2 {3}
  12 20 10
P5 Kantuotas nusklembtas penkiakampis diedras
(Penkiakampė prizmė)

s2{5,2}=t{2,5}
7 15 10

(6 2 2) D6h diedrinė simetrija

redaguoti

Yra 24 fundamentalūs trikampiai, kurie matomi ant dvylikakampės bipiramidės sienų ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos:

rowspan=2|Nr.
Pavadinimas Vaizdas Klojinys Viršūnės planas Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Pos. 2

[6]
(2)
Pos. 1

[2]
(6)
Pos. 0

[2]
(6)
Sienos Briaunos Viršūnės
D6 Šešiakampis diedras
{6,2}

{6}
2 6 6
H6 Šešiakampis hosoedras
{2,6}

{2}
6 6 2
D12 Nupjautinis šešiakampis diedras
(Tas pats, kaip dvylikakampis diedras)

t{6,2}

{12}
2 12 12
H6 Nupjautinis šešiakampis hosoedras
(Tas pats, kaip šešiakampė prizmė)

t{2,6}

{6}

{4}
8 18 12
P12 Omninupjautinis šešiakampis diedras
(Dvylikakampė prizmė)

t0,1,2{2,6}=tr{2,6}

{12}

{4}

{4}
14 36 24
A6 Nusklembtas šešiakampis diedras
(Šešiakampė antiprizmė)

sr{2,6}

{6}

2 {3}
  14 24 12
P3 Kantuotas šešiakampis diedras
(Trikampė prizmė)
=
h2{6,2}=t{2,3}
5 9 6
P6 Kantuotas nusklembtas šešiakampis diedras
(Šešiakampė prizmė)

s2{6,2}=t{2,6}
8 18 12
A3
[2]
Nusklembtas šešiakampis hosoedras
(Tas pats, kaip trikampė antiprizmė)
(Tas pats, kaip oktaedras)

s{2,6}=sr{2,3}
8 12 6

Nuorodos

redaguoti

Šaltiniai

redaguoti
  • Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. [1]
  • Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954). „Uniform polyhedra“. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. The Royal Society. 246 (916): 401–450. doi:10.1098/rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. [2]
  • Sopov, S. P. (1970). „A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra“. Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik (8): 139–156. MR 0326550.
  • Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
  • Skilling, J. (1975). „The complete set of uniform polyhedra“. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. 278 (1278): 111–135. doi:10.1098/rsta.1975.0022. ISSN 0080-4614. JSTOR 74475. MR 0365333.
  • Har’El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra. Archyvuota kopija 2009-07-15 iš Wayback Machine projekto., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El Archyvuota kopija 2009-07-27 iš Wayback Machine projekto., Kaleido software Archyvuota kopija 2011-05-20 iš Wayback Machine projekto., Images Archyvuota kopija 2011-05-20 iš Wayback Machine projekto., dual images Archyvuota kopija 2011-05-20 iš Wayback Machine projekto.
  • Mäder, R. E. Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [3]
  • Messer, Peter W. Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals.[neveikianti nuoroda], Discrete & Computational Geometry 27:353-375 (2002).