Atverti pagrindinį meniu
Tolygusis žvaigždinis briaunainis: Nusklembtas dodekadodekaedras

Tolygusis briaunainis yra toks briaunainis, kurio sienos yra taisyklingieji daugiakampiai ir kurio viršūnės yra tranzityvios (t. y. viršūnių kampai yra lygūs ir šis briaunainis yra izogonas). Tolygaus briaunainio visos viršūnės yra tolygios (tapačios), o pats briaunainis pasižymi didelio laipsnio atspindėjimo ir sukimo simetrija.

Tolygieji briaunainiai gali būti taisyklingi (jei be viršūnių, dar yra tranzityvios sienos ir briaunos), kvazitaisyklingi (jei be viršūnių, dar yra tranzityvios briaunos, bet sienos netranzityvios) ir pustaisyklingiai (jei tranzityvios vien viršūnės, o sienos ir briaunos netranzityvios). Šių briaunainių sienos ir viršūnės gali būti ir neiškilos, tad daug tolygiųjų briaunainių yra žvaigždiniai.

Atmetus begalines prizminių briaunainių klases, suskaičiuosime 75 tolygiuosius briaunainius (arba 76, jei įskaičiuosime Skilingo figūrą).

  • Iškilieji:
  • Žvaigždiniai:
    • 4 Keplerio-Puanso kūnai – taisyklingi neiškili briaunainiai;
    • 53 tolygūs žvaigždiniai braiunainiai – 5 kvazitaisyklingieji ir 48 pustaisyklingiai;
    • 1 žvaigždinis briaunainis, turintis sutampančių briaunų poras, geometriškai vadinamas didžiuoju dinusklembtu dirombiniu dodekaedru, kurį atrado Džonas Skilingas (John Skilling), todėl neretai jis svadinamas tiesiog Skilingo figūra.

Greta šios suskaičiuojamos aibės dar yra dvi begalinės briaunainių klasės – prizmės ir antiprizmės, apimančios prizmines iškilas ir žvaigždines formas.

Tolygiųjų briaunainių dualai turi tranzityvias sienas (yra izoedrai) ir jų viršūnės planas yra taisyklingas daugiakampis. Įprastai klasifikuojant, dualūs briaunainiai gretinami su jų pirminiais tolygiaisiais briaunainiais. Taisyklingųjų briaunainių dualai taip pat yra taisyklingieji, o Archimedo kūnų – Katalano kūnai.

Tolygieji briaunainiai yra atskiras trimatis tolygiųjų politopų atvejis. Tolygiųjų politopų teorija apibendrina tolygiąsias figūras ne vien trimatei bet ir kitų matavimų erdvėms: tiek aukštesnio matavimo (keturmatei ir aukštesnei), tiek žemesnėms (dvimatei, vienmatei ir pan.). Trimačių tolygiųjų briaunainių nagrinėjimas leidžia akivaizdžiai pažvelgti į tolygiųjų politopų savybes žmogui lengvai suvokiamoje trimatėje erdvėje.

IstorijaKeisti

Taisyklingieji žvaigždiniai briaunainiai:

Kiti 53 netaisyklingieji žvaigždiniai briaunainiai:

  • Iš likusių 53, 1878 metais Edmundas Hesas (Edmund Hess) atrado du briaunainius, 1881 metais Alberas Banduro (Albert Badoureau) atrado 36, o Pičas (Pitsch), tais pačiais 1881 metais, nepriklausomai atrado dar 18, iš kurių 15 buvo dar visiškai nežinomi.
  • JAV geometras Haroldas Kokseteris (Harold Scott MacDonald Coxeter), bendradarbiaudamas su Džefriu Mileriu (Jeffrey Charles Percy Miller), 1930–1932 metais atrado likusius dvylika briaunainių, bet neskubėjo apie tai publikuoti, tad panašiai tuo pačiu metu broliai Maiklas ir Kristoferis Longet-Higinsai (Michael Selwyn Longuet-Higgins, Hugh Christopher Longuet-Higgins) nepriklausomai atrado 11 šių briaunainių.
  • 1954 metais Kokseteris, broliai Longet-Higinsai ir Mileris bendrai publikavo tolygiųjų briaunainių sąrašą.[1]
  • 1970 metais Sopovas[2] įrodė, kad jų sąrašas yra išsamus.
  • 1974 metais Magnusas Veningeris (Magnus Wenninger) publikavo veikalą Polyhedron models (Briaunainių modeliai), kuriame pavaizduoti visi 75 neprizminiai tolygieji briaunainiai ir pateikti matematiko Normano Džonsono (Norman Johnson) suteikti pavadinimai, kurie, daugelio jų, nebuvo anksčiau skelbti.
  • 1975 metais Dž. Skilingas (John Skilling) nepriklausomai dar kartą įrodė, kad Kokseterio ir kitų sąrašas yra išsamus, o jei būtų leista tolygiesiems briaunainiams priskirti figūrą, kurios kelios briaunos sutampa, tuomet reikėtų įtraukti dar vieną, ir tiktai vieną briaunainį, vėliau pavadintą Skilingo figūra.[3]
  • 1987 metais Edmondas Bonanas (Edmond Bonan) nubraižė visų tolygiųjų briaunainių trimates projekcijas kompiuterio programa (turbo paskalio kalba parašyta programa Polyca) – šie vaizdai buvo pristatyti Tarptautiniame steroskopijos kongrese (International Stereoscopic Union Congress, Eastbourne, UK).
  • 1993 metais Zvi Har Elis (Zvi Har’El) sukūrė kompiuterinę programą Kaleido, skirtą kaleidoskopiniam tolygiųjų briaunainių konstravimui ir aprašė ją straipsnyje Uniform Solution for Uniform Polyhedra (Vieningas sprendimas tolygiems briaunainiams). Jis figūras numeravo nuo 1 iki 80.
  • Tais pačiais 1993 metais, R. Mėderis (R. Mäder) Kaleido programos sprendimui pritaikė kitokį figūrų indeksavimą ir viską perkėlė į Mathematica programinę aplinką.
  • 2002 metais Peteris Meseris (Peter W. Messer) atrado minimalią aibę, apimančią uždaro pavidalo išraiškas, kuriomis galima išreikšti kombinatorinių ir metrinių bet kurio tolygiojo briaunainio (ir jo dualo) savybių kiekybinius parametrus, kai žinomas tik Vithofo simbolis.[4]

Tolygieji žvaigždiniai briaunainiaiKeisti

Visi 57 neprizminiai neiškili briaunainiai gali būti sudaryti taikant Vithofo konstravimo metodą.

Iškilos (nežvaigždinės) formos: Vithofo konstravimasKeisti

Vythofo-konstrukciju-diagrama.png
Pavyzdys sukurtas iš kubo ir oktaedro tarpusavio virsmo

Iškili tolygieji briaunainiai yra vadinami pagal Vithofo konstravimo veiksmo pavadinimą ir (arba) pagal sąsają su taisyklingąja forma. Žemiau pateikiami iškili tolygieji briaunainiai išdėstyti pagal Vithofo konstravimo veiksmą ir simetrijos grupę.

Vithofo konstravimo metu sukuriami pakartojimai, kuriuos atitinka žemesnės simetrijos atvejai. Kubas vienu metu yra ir taisyklingasis briaunainis, ir kvadratinė prizmė. Oktaedras vienu metu yra ir taisyklingasis briaunainis, ir trikampė antiprizmė; be to, jis dar yra rektifikuotas tetraedras. Daug briaunainių gali būti sukurti pakartotinai iš skirtingų Vithofo konstravimo taškų – tik tada jie yra kitaip nuspalvinami. (Kadangi Vithofo konstravimas vienodai tinkamas tiek tolygiems briaunainiams, tiek tolygiems klojiniams, tai lentelėje pateikiami abeji vaizdai. Sferiniai klojiniai apima ir vadinamuosius hosoedrus bei diedrus, kurie yra netikrieji, „išsigimę“ briaunainiai.)

Vithofo konstravimo metu simetrijos grupės sukuriamos iš trimačio atspindžio taškų grupių, kurių kiekvieną atitinka fundamentinis trikampis (p q r), kur p>1, q>1, r>1 ir 1/p+1/q+1/r<1.

Likusios neatspindėjimo formos yra konstruojamos nupjaunant pakaitomis (angl. alternation) sienų daugiakampius, turinčius lyginį kraštinių skaičių, kai nupjaunamas kas antras briaunanio sienos daugiakampio kampas.

Kartu su prizmėmis ir jų diedrine simetrija, sferinio Vithofo konstravimo veiksmas prideda dvi taisyklingas klases, kurios yra „išsigimę“ briaunainiai – diedrai ir hosoedrai, iš kurių pirmieji turi tik dvi sienas, o antrieji tik dvi viršūnes. Nupjaunant taisyklingąjį hosoedrą gauname prizmes.

Žemiau, iškili tolygieji briaunainiai, kurie nėra prizmės, pateikiami simetrinių formų tvarka ir indeksuojami nuo 1 iki 18. Pasikartojančios formos numeris apskliaustas laužtiniais skliaustais.

Begalinės prizminės formos indeksuojamos, paskirsčius jas į keturias šeimas:

  1. Hosoedrai H2… (Tik kaip sferiniai klojiniai)
  2. Diedrai D2… (Tik kaip sferiniai klojiniai)
  3. Prizmės P3… (Nupjautiniai hosoedrai)
  4. Antiprizmės A3… (Nusklembtos (angl. snub) prizmės)

Apibendrinančios duomenų lentelėsKeisti

p – sienos kraštinių (arba kampų) skaičius;
q – į vieną viršūnę sueinančių sienų (arba briaunų) skaičius.

Džonsono pavadinimai Pirminis Nupjautinis Rektifikuotas Binupjautinis
(nupjautinis dualas)
Birektifikuotas
(dualas)
Kanteliuotas Omninupjautinis
(Kantenupjautinis)
Nusklembtas
(angl. snub)
Išplėstinis
Šlėfli simbolis
{p, q} t{p, q} r{p, q} 2t{p, q} 2r{p, q} rr{p, q} tr{p, q} sr{p, q}
t0{p, q} t0,1{p, q} t1{p, q} t1,2{p, q} t2{p, q} t0,2{p, q} t0,1,2{p, q} ht0,1,2{p, q}
Vithofo simbolis
(p q 2)
q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Kokseterio diagram CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes.png
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes 11.png
CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
CDel node h.pngCDel split1-pq.pngCDel nodes hh.png
Viršūnės planas pq (q.2p.2p) (p.q)2 (p.2q.2q) qp (p.4.q.4) (4.2p.2q) (3.3.p.3.q)
Tetraedrinė
(3 3 2)
Uniform polyhedron-33-t0.png
{3,3}
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
Uniform polyhedron-33-t1.png
(3.3.3.3)
Uniform polyhedron-33-t12.png
(3.6.6)
Uniform polyhedron-33-t2.png
{3,3}
Uniform polyhedron-33-t02.png
(3.4.3.4)
Uniform polyhedron-33-t012.png
(4.6.6)
Uniform polyhedron-33-s012.svg
(3.3.3.3.3)
Oktaedrinė
(4 3 2)
Uniform polyhedron-43-t0.svg
{4,3}
Uniform polyhedron-43-t01.svg
(3.8.8)
Uniform polyhedron-43-t1.svg
(3.4.3.4)
Uniform polyhedron-43-t12.svg
(4.6.6)
Uniform polyhedron-43-t2.svg
{3,4}
Uniform polyhedron-43-t02.png
(3.4.4.4)
Uniform polyhedron-43-t012.png
(4.6.8)
Uniform polyhedron-43-s012.png
(3.3.3.3.4)
Ikosaedrinė
(5 3 2)
Uniform polyhedron-53-t0.png
{5,3}
Uniform polyhedron-53-t01.png
(3.10.10)
Uniform polyhedron-53-t1.png
(3.5.3.5)
Uniform polyhedron-53-t12.png
(5.6.6)
Uniform polyhedron-53-t2.png
{3,5}
Uniform polyhedron-53-t02.png
(3.4.5.4)
Uniform polyhedron-53-t012.png
(4.6.10)
Uniform polyhedron-53-s012.png
(3.3.3.3.5)

Diedrinės simetrijos vaizdai:

(p 2 2) Pirminis Nupjautinis Rektifikuotas Binupjautinis
(nupj. dualas)
Birektifikuotas
(dualas)
Kanteliuotas Omninupjautinis
(Kantenupjautinis)
Nusklembtas
(angl. snub)
Išplėstinis
Šlėfli simbolis
{p,2} t{p,2} r{p,2} 2t{p,2} 2r{p,2} rr{p,2} tr{p,2} sr{p,2}
t0{p,2} t0,1{p,2} t1{p,2} t1,2{p,2} t2{p,2} t0,2{p,2} t0,1,2{p,2} ht0,1,2{p,2}
Vithofo simbolis 2 | p 2 2 2 | p 2 | p 2 2 p | 2 p | 2 2 p 2 | 2 p 2 2 | | p 2 2
Kokseterio-Dinkino
diagrama
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
Viršūnės planas p2 (2.2p.2p) (p. 2.p. 2) (p. 4.4) 2p (p. 4.2.4) (4.2p.4) (3.3.p. 3.2)
Diedrinė
(2 2 2)
Digonal dihedron.png
{2,2}
Tetragonal dihedron.png
2.4.4
Digonal dihedron.png
2.2.2.2
Tetragonal dihedron.png
4.4.2
Digonal dihedron.png
{2,2}
Tetragonal dihedron.png
2.4.2.4
Spherical square prism2.png
4.4.4
Spherical digonal antiprism.png
3.3.3.2
Diedrinė
(3 2 2)
Trigonal dihedron.png
{3,2}
Hexagonal dihedron.png
2.6.6
Trigonal dihedron.png
2.3.2.3
Spherical triangular prism.png
4.4.3
Spherical trigonal hosohedron.png
{2,3}
Spherical triangular prism.png
2.4.3.4
Spherical hexagonal prism2.png
4.4.6
Spherical trigonal antiprism.png
3.3.3.3
Diedrinė
(4 2 2)
Tetragonal dihedron.png
{4,2}
2.8.8 Tetragonal dihedron.png
2.4.2.4
Spherical square prism.png
4.4.4
Spherical square hosohedron.png
{2,4}
Spherical square prism.png
2.4.4.4
Spherical octagonal prism2.png
4.4.8
Spherical square antiprism.png
3.3.3.4
Diedrinė
(5 2 2)
Pentagonal dihedron.png
{5,2}
2.10.10 Pentagonal dihedron.png
2.5.2.5
Spherical pentagonal prism.png
4.4.5
Spherical pentagonal hosohedron.png
{2,5}
Spherical pentagonal prism.png
2.4.5.4
Spherical decagonal prism2.png
4.4.10
Spherical pentagonal antiprism.png
3.3.3.5
Diedrinė
(6 2 2)
Hexagonal dihedron.png
{6,2}
Dodecagonal dihedron.png
2.12.12
Hexagonal dihedron.png
2.6.2.6
Spherical hexagonal prism.png
4.4.6
Spherical hexagonal hosohedron.png
{2,6}
Spherical hexagonal prism.png
2.4.6.4
Spherical dodecagonal prism2.png
4.4.12
Spherical hexagonal antiprism.png
3.3.3.6

Vithofo konstravimo veiksmaiKeisti

Veiksmas Simbolis Kokseterio
diagrama
Aprašymas
Pirminis {p, q}
t0{p, q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png Bet koks taisyklingas briaunainis arba klojinys
Rektifikuotas (r) r{p, q}
t1{p, q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Visiškai nupjautos briaunos virsta taškais. Briaunainio sienos dabar yra kombinuotos iš priminio kūno ir jo dualo sienų.
Birektifikuotas (2r)
(tas pats, kas dualas)
2r{p, q}
t2{p, q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Dual Cube-Octahedron.svg
Birektifikuotas kūnas (dualas) gaunamas toliau nupjaunant taip, kad pirminės sienos virsta taškais. Naujos sienos susidaro po kiekviena pirmine viršūne. Briaunų skaičius nepakinta, bet jos pasisuka 90 laipsnių. Taisyklingojo briaunainio {p, q} dualas yra taip pat taisyklingas briaunainis {q, p}.
Nupjautas (t) t{p, q}
t0,1{p, q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png Kiekviena pirminė viršūnė nupjaunama ir jos vietoje susidaro nauja siena. Nupjovimui būdingas tam tikras laisvės laipsnis, kurio vienas sprendimas sukuria tolygųjį nupjautinį briaunainį. Pirminių briaunainio sienos pastumiamos į šonus, o nupjautų viršūnių vietoje susidaro dualo sienos.
Cube truncation sequence.svg
Binupjovimas (2t) 2t{p, q}
t1,2{p, q}
CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png Tas pats, kas nupjautinis dualas.
Kanteliacija (rr)
(Taip pat Išplėtimas)
rr{p, q} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png Kartu su viršūnės nupjovimu, kiekviena pirminė briauna nuožulniai papildoma nauja stačiakampe siena, susidarančia vietoje briaunos. Tolygi kanteliacija yra pusiaukelė tarp pirminio kūno ir jo dualo.
Cube cantellation sequence.svg
Kantenupjautas (tr)
(Taip pat Omninupjovimas)
tr{p, q}
t0,1,2{p, q}
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png Nupjovimas ir kanteliacija vyksta kartu ir sukuria omninupjautą formą, kurioje pirminio kūno sienos yra pastumtos į šonus, dualo sienos yra pastumtos į šonus, o vietoje pirminių briaunų yra susidarę kvadratai
Nupjovimas pakaitomis (angl. alternation)
Veiksmas Simbolis Kokseterio
diagrama
Aprašymas
Nusklembtas rektifikuotas (sr) sr{p, q} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png Kantenupjovimas pakaitomis. Visos pirminės sienos netenka pusės savo kraštinių, o kvadratai susitraukia į briaunas. Kadangi omninupjautinės formos turi trisienių viršūnių, susidaro nauji trikampiai. Įprastai šios pakaitinio sienų keitimo būdu gautos formos vėliau šiek tiek deformuojamos, kad vėl taptų tolygiais briaunainiais. Vėlesnės kaitos galimybės priklauso nuo laisvės laipsnio.
Snubcubes in grCO.svg
Nusklembtas (s) s{p,2q} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png Nupjovimas pakaitomis
Kantavimas nusklembimas (s2) s2{p,2q} CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Kanteliacija pakaitomis (hrr) hrr{2p,2q} CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h.png Įmanomi tik tolygieji klojiniai (begaliniai briaunainiai), kai pakaitomis nupjaunama CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node 1.png
Pavyzdžiui, CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.png
Pusė (h) h{2p, q} CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png Pakaitomis nupjaunama CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png, tas pats kaip CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-qq.pngCDel node.png
Kantavimas (h2) h2{2p, q} CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png Tas pats kaip CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2-qq.pngCDel node 1.png
Pusiau rektifikavimas (hr) hr{2p,2q} CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png Įmanomas tik tolygiems klojiniams (begaliniams briaunainiams), pakaitomis nupjaunama CDel node.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node.png, tas pats kaip CDel labelp.pngCDel branch 10ru.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel branch 10lu.pngCDel labelq.png arba CDel labelp.pngCDel branch 10r.pngCDel iaib.pngCDel branch 01l.pngCDel labelq.png
Pavyzdžiui, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel nodes 10ru.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes 10lu.png arba CDel nodes 11.pngCDel iaib.pngCDel nodes.png
Ketvirtis (q) q{2p,2q} CDel node h1.pngCDel 2x.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel q.pngCDel node h1.png Įmanomas tik tolygiems klojiniams (begaliniams briaunainiams), tas pats kaip CDel labelq.pngCDel branch 11.pngCDel papb-cross.pngCDel branch 10l.pngCDel labelq.png
pavyzdžiui, CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h1.png = CDel nodes 11.pngCDel 2a2b-cross.pngCDel nodes 10lu.png arba CDel nodes 11.pngCDel iaib.pngCDel nodes 10l.png

(3 3 2) Td Tetraedrinė simetrijaKeisti

Sferos tetraedrinė simetrija sukuria 5 tolygiuosius briaunainius, o šeštas suformuojamas nusklembimo veiksmu.

Tetraedrinės simetrijos pagrindas yra fundamentinis trikampis, turintis vieną viršūnę su dviem veidrodžiais ir dvi viršūnes su trimis veidrodžiais, kas užrašoma simboliu (3 3 2). Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe A2 arba [3,3], taip pat Kokseterio-Dinkino diagrama: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Tetrakis heksaedras turi 24 regimus trikampius, o ant sferos matome pakaitomis nudažytus trikampius ant analogiško sferinio briaunainio:

Tetrakishexahedron.jpg Tetrahedral reflection domains.png Sphere symmetry group td.png
Nr. Pavadinimas Grafas
A3
Grafas
A2
Vaizdas Klojinys Viršūnės
planas
Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Poz. 2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(4)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(4)
Sienos Briaunos Viršūnės
1 Tetraedras 3-simplex t0.svg 3-simplex t0 A2.svg Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform tiling 332-t0-1-.png Tetrahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
4 6 4
[1] Birektifikuotas tetraedras
(tas pats, kaip tetraedras)
3-simplex t0.svg 3-simplex t0 A2.svg Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform tiling 332-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t2{3,3}={3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
4 6 4
2 Rektifikuotas tetraedras
(tas pats, kaip oktaedras)
3-simplex t1.svg 3-simplex t1 A2.svg Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform tiling 332-t1-1-.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{3,3}=r{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 12 6
3 Nupjautinis tetraedras 3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform tiling 332-t01-1-.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{3,3}=t{3,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 18 12
[3] Binupjautinis tetraedras
(tas pats, kaip nupjautinis tetraedras)
3-simplex t01.svg 3-simplex t01 A2.svg Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform tiling 332-t12.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t1,2{3,3}=t{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 6.svg
{6}
8 18 12
4 Rombinis tetratetraedras
(tas pats, kaip kuboktaedras)
3-simplex t02.svg 3-simplex t02 A2.svg Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform tiling 332-t02.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{3,3}=rr{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 24 12
5 Nupjautinis tetratetraedras
(tas pats, kaip nupjautinis oktaedras)
3-simplex t012.svg 3-simplex t012 A2.svg Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform tiling 332-t012.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{3,3}=tr{3,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
14 36 24
6 Nusklembtas tetratetraedras
(tas pats, kaip ikosaedras)
Icosahedron graph A3.png Icosahedron graph A2.png Uniform polyhedron-33-s012.png Spherical snub tetrahedron.png Icosahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12

(4 3 2) Oh Oktaedrinė simetrijaKeisti

Sferos oktaedrinė simetrija sukuria 7 tolygiuosius briaunainius ir dar 7 pasitelkiant nupjovimą pakaitomis. Šeši pavidalai kartojasi iš aprašytos tetraedrinės simetrijos lentelės (aukščiau).

Oktaedrinės simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis (4 3 2), jei skaičiuosime veidrodžius kiekvienoje viršūnėje. Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe B2 arba [4,3], taip pat Kokseterio-Dinkino diagrama: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Disdyakis dodekaedras turi 48 regimus sienų trikampius, o ant sferos matome pakaitomis nudažytus trikampius, vaizduojančius analogišką sferinį briaunainį:

Disdyakisdodecahedron.jpg Octahedral reflection domains.png Sphere symmetry group oh.png
Nr. Pavadinimas Grafas
B3
Grafas
B2
Vaizdas Klojinys Viršūnės planas Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Poz. 2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.png
[4]
(8)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(12)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(6)
Sienos Briaunos Viršūnės
7 Kubas 3-cube t0.svg 3-cube t0 B2.svg Uniform polyhedron-43-t0.png Uniform tiling 432-t0.png Cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
[2] Oktaedras 3-cube t2.svg 3-cube t2 B2.svg Uniform polyhedron-43-t2.png Uniform tiling 432-t2.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,4}
Regular polygon 3.svg
{3}
8 12 6
[4] Rektifikuotas kubas
Rektifikuotas oktaedras
(Kuboktaedras)
3-cube t1.svg 3-cube t1 B2.svg Uniform polyhedron-43-t1.png Uniform tiling 432-t1.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 24 12
8 Nupjautinis kubas 3-cube t01.svg 3-cube t01 B2.svg Uniform polyhedron-43-t01.png Uniform tiling 432-t01.png Truncated cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{4,3}=t{4,3}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 3.svg
{3}
14 36 24
[5] Nupjautinis oktaedras 3-cube t12.svg 3-cube t12 B2.svg Uniform polyhedron-43-t12.png Uniform tiling 432-t12.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1{3,4}=t{3,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
14 36 24
9 Kanteliuotas kubas
Kanteliuotas oktaedras
Rombinis kuboktaedras
3-cube t02.svg 3-cube t02 B2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform tiling 432-t02.png Small rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{4,3}=rr{4,3}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
26 48 24
10 Omninupjautinis kubas
Omninupjautinis oktaedras
Nupjautinis kuboktaedras
3-cube t012.svg 3-cube t012 B2.svg Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform tiling 432-t012.png Great rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{4,3}=tr{4,3}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
26 72 48
[6] Nusklembtas oktaedras
(Tas pats, kaip ikosaedras)
3-cube h01.svg 3-cube h01 B2.svg Uniform polyhedron-43-h01.png Spherical alternated truncated octahedron.png Icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
= CDel nodes hh.pngCDel split2.pngCDel node h.png
s{3,4}=sr{3,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12
[1] Puskubis
(Tas pats, kaip tetraedras)
3-simplex t0 A2.svg 3-simplex t0.svg Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform tiling 332-t2.png Tetrahedron vertfig.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png
h{4,3}={3,3}
Regular polygon 3.svg
1/2 {3}
4 6 4
[2] Kantuotas kubas
(Tas pats, kaip nupjautinis tetraedras)
3-simplex t01 A2.svg 3-simplex t01.svg Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform tiling 332-t12.png Truncated tetrahedron vertfig.png CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
h2{4,3}=t{3,3}
Regular polygon 6.svg
1/2 {6}
Regular polygon 3.svg
1/2 {3}
8 18 12
[4] (Tas pats, kaip kuboktaedras) 3-simplex t02 A2.svg 3-simplex t02.svg Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform tiling 332-t02.png Cuboctahedron vertfig.png CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.png
rr{3,3}
14 24 12
[5] (Tas pats, kaip nupjautinis oktaedras) 3-simplex t012 A2.svg 3-simplex t012.svg Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform tiling 332-t012.png Truncated octahedron vertfig.png CDel node h0.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
= CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.png
tr{3,3}
14 36 24
[9] Kantuotas nusklembtas oktaedras
(Tas pats, kaip rombinis kuboktaedras)
3-cube t02.svg 3-cube t02 B2.svg Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png Uniform tiling 432-t02.png Small rhombicuboctahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
s2{3,4}=rr{3,4}
26 48 24
11 Nusklembtas kuboktaedras Snub cube A2.png Snub cube B2.png Uniform polyhedron-43-s012.png Spherical snub cube.png Snub cube vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{4,3}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
38 60 24

(5 3 2) Ih Ikosaedrinė simetrijaKeisti

Sferos ikosaedrinė simetrija sukuria 7 tolygiuosius briaunainius ir dar 1, pasitelkiant nupjovimą pakaitomis. Tik 1 pavidalas kartojasi iš aprašytų tetraedrinės ir oktaedrinės simetrijos lentelių (aukščiau).

Ikosaedrinės simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis (5 3 2), jei skaičiuosime veidrodžius kiekvienoje viršūnėje. Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe G2 arba [5,3], taip pat Kokseterio-Dinkino diagrama: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Disdyakis triakontaedras turi 120 regimų sienų trikampių, o ant sferos matome pakaitomis nudažytus trikampius, vaizduojančius analogišką sferinį briaunainį:

Disdyakistriacontahedron.jpg Icosahedral reflection domains.png Sphere symmetry group ih.png
Nr. Pavadinimas Grafas
(A2)
[6]
Grafas
(H3)
[10]
Vaizdas Klojinys Viršūnės planas Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Poz. 2
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.png
[5]
(12)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(30)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3]
(20)
Sienos Briaunos Viršūnės
12 Dodekaedras Dodecahedron t0 A2.png Dodecahedron t0 H3.png Uniform polyhedron-53-t0.png Uniform tiling 532-t0.png Dodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
12 30 20
[6] Ikosaedras Icosahedron t0 A2.png Icosahedron t0 H3.png Uniform polyhedron-53-t2.png Uniform tiling 532-t2.png Icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,5}
Regular polygon 3.svg
{3}
20 30 12
13 Rektifikuotas dodekaedras
Rektifikuotas ikosaedras
Ikosidodekaedras
Dodecahedron t1 A2.png Dodecahedron t1 H3.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform tiling 532-t1.png Icosidodecahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t1{5,3}=r{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svg
{3}
32 60 30
14 Nupjautinis dodekaedras Dodecahedron t01 A2.png Dodecahedron t01 H3.png Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform tiling 532-t01.png Truncated dodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
t0,1{5,3}=t{5,3}
Regular polygon 5.svg
{10}
Regular polygon 3.svg
{3}
32 90 60
15 Nupjautinis ikosaedras Icosahedron t01 A2.png Icosahedron t01 H3.png Uniform polyhedron-53-t12.png Uniform tiling 532-t12.png Truncated icosahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1{3,5}=t{3,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 6.svg
{6}
32 90 60
16 Kanteliuotas dodekaedras
Kanteliuotas ikosaedras
Rombinis ikosidodekaedras
Dodecahedron t02 A2.png Dodecahedron t02 H3.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform tiling 532-t02.png Small rhombicosidodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,2{5,3}=rr{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svg
{3}
62 120 60
17 Omninupjautinis dodekaedras
Omninupjautinis ikosaedras
Nupjautinis ikosidodekaedras
Dodecahedron t012 A2.png Dodecahedron t012 H3.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform tiling 532-t012.png Great rhombicosidodecahedron vertfig.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
t0,1,2{5,3}=tr{5,3}
Regular polygon 10.svg
{10}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 6.svg
{6}
62 180 120
18 Nusklembtas ikosidodekaedras Snub dodecahedron A2.png Snub dodecahedron H2.png Uniform polyhedron-53-s012.png Spherical snub dodecahedron.png Snub dodecahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
sr{5,3}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
Regular polygon 3.svg
{3}
92 150 60

(p 2 2) Prizminės [p,2], I2(p) šeimos (Dph diedrinė simetrija)Keisti

Sferos ikosaedrinė simetrija sukuria dvi begalines tolygiųjų briaunanių aibes, prizmes ir antiprizmes, ir dar dvi begalines išsigimusių briaunanių aibes, hosoedrus ir diedrus, kurie egzistuoja tik kaip sferos klojiniai.

Diedrinės simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis (p 2 2), jei skaičiuosime veidrodžius kiekvienoje viršūnėje. Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe I2(p) arba [n,2], taip pat prizmine Kokseterio-Dinkino diagrama: CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png.

Žemiau pavaizduoti pirmi penki diedrinės simetrijos atvejai: D2 … D6. Diedrinės simetrijos Dp eilė yra 4n, atspindi bipiramidės sienas, o ant sferos – tai pusiaujo linija ir n tolygiai viena nuo kitos nutolusių dienovidinių.

(2 2 2) diedrinė simetrijaKeisti

Yra 8 fundamentalūs trikampiai, matomi ant kvadratinės bipiramidės sienų (oktaedras) ir pakaitomis nuspalvintus trikampius ant sferos:

Octahedron.svg Sphere symmetry group d2h.png
Nr. Pavadinimas Vaizdas Klojinys Viršūnės planas Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Poz. 2
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.png
[2]
(2)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(2)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(2)
Sienos Briaunos Viršūnės
D2
H2
Digoninis diedras
Digoninis hosoedras
Digonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{2,2}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
2 2 2
D4 Nupjautinis digoninis diedras
(Tas pats, kaip kvadratinis diedras)
Tetragonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{2,2}={4,2}
Regular polygon 4.svg
{4}
2 4 4
P4
[7]
omninupjautinis digoninis diedras
(Tas pats, kaip kubas)
Uniform polyhedron 222-t012.png Spherical square prism2.png Cube vertfig.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,2}=tr{2,2}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
A2
[1]
Nusklembtas digoninis diedras
(Tas pats, kaip tetraedras)
Uniform polyhedron-33-t2.png Spherical digonal antiprism.png Tetrahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,2}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  4 6 4

(3 2 2) D3h diedrinė simetrijaKeisti

Yra 12 fundamentalių trikampių, kurie matomi ant šešiakampės bipiramidės sienų ir pakaitomis nuspalvintus trikampius ant sferos:

Hexagonale bipiramide.png Sphere symmetry group d3h.png
Nr. Pavadinimas Vaizdas Klojinys Viršūnės planas Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Poz. 2
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.png
[3]
(2)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(3)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(3)
Sienos Briaunos Viršūnės
D3 Trigoninis diedras Trigonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{3,2}
Regular polygon 3.svg
{3}
2 3 3
H3 Trigoninis hosoedras Trigonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,3}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
3 3 2
D6 Nupjautinis trigoninis diedras
(Tas pats, kaip šešiakampis diedras)
Hexagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{3,2}
Regular polygon 6.svg
{6}
2 6 6
P3 Nupjautinis trigoninis hosoedras
(Trikampė prizmė)
Triangular prism.png Spherical triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 4.svg
{4}
5 9 6
P6 Omninupjautinis trigoninis diedras
(Šešiakampė prizmė)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism2.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,3}=tr{2,3}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
8 18 12
A3
[2]
Nusklembtas trigoninis diedras
(Tas pats, kaip trikampė antiprizmė)
(Tas pats, kaip oktaedras)
Trigonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Octahedron vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,3}
Regular polygon 3.svg
{3}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  8 12 6
P3 Kantuotas nusklembtas trigoninis diedras
(Trikampė prizmė)
Triangular prism.png Spherical triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{2,3}=t{2,3}
5 9 6

(4 2 2) D4h diedrinė simetrijaKeisti

Yra 16 fundamentalių trikampių, kurie matomi ant aštuoniakampės bipiramidės sienų ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos:

Octagonal bipyramid.png
Nr. Pavadinimas Vaizdas Klojinys Viršūnės planas Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Poz. 2
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.png
[4]
(2)
Poz. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(4)
Poz. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(4)
Sienos Briaunos Viršūnės
D4 Kvadratinis diedras Tetragonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{4,2}
Regular polygon 4.svg
{4}
2 4 4
H4 Kvadratinis hosoedras Spherical square hosohedron.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,4}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
4 4 2
D8 Nupjautinis kvadratinis diedras
(Tas pats, kaip aštuoniakampis diedras)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{4,2}
Regular polygon 8.svg
{8}
2 8 8
P4
[7]
Nupjautinis kvadratinis hosoedras
(Kubas)
Tetragonal prism.png Spherical square prism.png Cube vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
6 12 8
D8 Omninupjautinis kvadratinis diedras
(Aštuoniakampė prizmė)
Octagonal prism.png Spherical octagonal prism2.png Octagonal prism vertfig.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,4}=tr{2,4}
Regular polygon 8.svg
{8}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
10 24 16
A4 Nusklembtas kvadratinis diedras
(Kvadratinė antiprizmė)
Square antiprism.png Spherical square antiprism.png Square antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,4}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  10 16 8
P4
[7]
Kantuotas nusklembtas kvadratinis diedras
(Kubas)
Tetragonal prism.png Spherical square prism.png Cube vertfig.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{4,2}=t{2,4}
6 12 8
A2
[1]
Nusklembtas kvadratinis hosoedras
(Digoninė antiprizmė)
(Tetraedras)
Uniform polyhedron-33-t2.png Spherical digonal antiprism.png Tetrahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
s{2,4}=sr{2,2}
4 6 4

(5 2 2) D5h diedrinė simetrijaKeisti

Yra 20 fundamentalių trikampių, kurie matomi ant dešimtkampės bipiramidės sienų ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos:

Decagonal bipyramid.png
Nr. Pavadinimas Vaizdas Klojinys Viršūnės planas Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Pos. 2
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.png
[5]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(5)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(5)
Sienos Briaunos Viršūnės
D5 Penkiakampis diedras Pentagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{5,2}
Regular polygon 5.svg
{5}
2 5 5
H5 Penkiakampis hosoedras Spherical pentagonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,5}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
5 5 2
D10 Nupjautinis penkiakampis diedras
(Tas pats, kaip dešimtkampis diedras)
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{5,2}
Regular polygon 10.svg
{10}
2 10 10
P5 Nupjautinis penkiakampis hosoedras
(Tas pats, kaip penkiakampė prizmė)
Pentagonal prism.png Spherical pentagonal prism.png Pentagonal prism vertfig.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 4.svg
{4}
7 15 10
P10 Omninupjautinis penkiakampis diedras
(dešimtkampė prizmė)
Decagonal prism.png Spherical decagonal prism2.png Decagonal prism vf.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,5}=tr{2,5}
Regular polygon 10.svg
{10}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
12 30 20
A5 Nusklembtas penkiakampis diedras
(Penkiakampė antiprizmė)
Pentagonal antiprism.png Spherical pentagonal antiprism.png Pentagonal antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,5}
Regular polygon 5.svg
{5}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  12 20 10
P5 Kantuotas nusklembtas penkiakampis diedras
(Penkiakampė prizmė)
Pentagonal prism.png Spherical pentagonal prism.png Pentagonal prism vertfig.png CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{5,2}=t{2,5}
7 15 10

(6 2 2) D6h diedrinė simetrijaKeisti

Yra 24 fundamentalūs trikampiai, kurie matomi ant dvylikakampės bipiramidės sienų ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos:

rowspan=2|Nr.
Pavadinimas Vaizdas Klojinys Viršūnės planas Kokseterio-Dinkino
ir Šlėfli
simboliai
Sienų kiekis pagal poziciją Elementų kiekis
Pos. 2
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.png
[6]
(2)
Pos. 1
CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
Pos. 0
CDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
[2]
(6)
Sienos Briaunos Viršūnės
D6 Šešiakampis diedras Hexagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{6,2}
Regular polygon 6.svg
{6}
2 6 6
H6 Šešiakampis hosoedras Hexagonal hosohedron.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
{2,6}
Regular digon in spherical geometry-2.svg
{2}
6 6 2
D12 Nupjautinis šešiakampis diedras
(Tas pats, kaip dvylikakampis diedras)
Dodecagonal dihedron.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png
t{6,2}
Regular polygon 10.svg
{12}
2 12 12
H6 Nupjautinis šešiakampis hosoedras
(Tas pats, kaip šešiakampė prizmė)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t{2,6}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 4.svg
{4}
8 18 12
P12 Omninupjautinis šešiakampis diedras
(Dvylikakampė prizmė)
Dodecagonal prism.png Spherical truncated hexagonal prism.png Dodecagonal prism vf.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
t0,1,2{2,6}=tr{2,6}
Regular polygon 10.svg
{12}
Regular polygon 4.svg
{4}
Regular polygon 4.svg
{4}
14 36 24
A6 Nusklembtas šešiakampis diedras
(Šešiakampė antiprizmė)
Hexagonal antiprism.png Spherical hexagonal antiprism.png Hexagonal antiprism vertfig.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
sr{2,6}
Regular polygon 6.svg
{6}
Regular polygon 3.svgRegular polygon 3.svg
2 {3}
  14 24 12
P3 Kantuotas šešiakampis diedras
(Trikampė prizmė)
Triangular prism.png Spherical triangular prism.png Triangular prism vertfig.png CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png = CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
h2{6,2}=t{2,3}
5 9 6
P6 Kantuotas nusklembtas šešiakampis diedras
(Šešiakampė prizmė)
Hexagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Hexagonal prism vertfig.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node 1.png
s2{6,2}=t{2,6}
8 18 12
A3
[2]
Nusklembtas šešiakampis hosoedras
(Tas pats, kaip trikampė antiprizmė)
(Tas pats, kaip oktaedras)
Trigonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Octahedron vertfig.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
s{2,6}=sr{2,3}
8 12 6

NuorodosKeisti

  1. Coxeter,Longuet-Higgins,Miller (Harvard, 1954)
  2. Sopov (Harvard, 1970)
  3. Skilling (1975)
  4. Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals, Peter W. Messer, Discrete Comput Geom 27:353–375 (2002)

ŠaltiniaiKeisti

  • Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. [1]

„Uniform polyhedra“. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 246 (916), 401–450 (1954). DOI:10.1098/rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614.  [2]

„A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra“. Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik (8), 139–156 (1970). 

„The complete set of uniform polyhedra“. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 278 (1278), 111–135 (1975). DOI:10.1098/rsta.1975.0022. ISSN 0080-4614.