Vijeto teorema

Matematikoje, tiksliau algebroje, Vijeto teorema – formulės, siejančios polinomų koeficientus su jų šaknimis. Teorema pavadinta jos sukūrėjo prancūzų matematiko Fransua Vijeto vardu.

Fransua Vijetas

Teorema

Pagal fundamentaliąją algebros teoremą, bet koks polinomas,

$p(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

kurio laipsnis yra n ≥ 1 (o koeficientai yra realieji arba kompleksiniai skaičiai a_n ≠ 0) turi n (nebūtinai skirtingų) kompleksinių šaknų x₁, x₂, ..., x_n.

Vijeto teorema sieja polinomų koeficientus { a_k } su jų šaknimis { x_i }:

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}$

Pavyzdžiai

Vijeto formulės kvadratiniam polinomui (dar vadinamas kvadratiniu trinariu) $p(X)=aX^{2}+bX+c\,$ ir jo šaknims $x_{1},x_{2}\,$ kvadratinėje lygtyje $p(X)=0\,$ yra

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}$

Pavyzdžiui, jei turime kvadratinę lygtį

$x^{2}-x-6=0,\,$

ją išspręsti galime pasinaudoję Vijeto teorema ir sudarę lygčių sistemą

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}={\frac {1}{1}}\\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-6}{1}}\end{cases}}$

Jei šią sistemą bandytume spręsti formaliai (pvz., išsireikšdami vieną iš kintamųjų), vėl gautume tą pačią lygtį. Praktikoje, naudojant Vijeto teoremą lygčių sprendimui, sprendinius x₁ ir x₂ bandoma „atspėti“ - sugalvoti tokius x₁ ir x₂, kad jie tenkintų lygčių sistemą. Šiuo atveju sprendiniai yra -2 ir 3.

Vijeto formulės kubiniam polinomui $p(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d\,$ ir jo šaknims $x_{1},x_{2},x_{3}\,$ lygtyje $p(X)=0\,$ yra

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}$