Taisyklingasis briaunainis

Taisyklingasis briaunainis – labai simetriška geometrinė trimatė figūra, kurios vienarūšiai gretimi elementai yra tranzityvūs: viršūnės, briaunos ir sienos. Vadinasi, pasukus per vieną elementą (kad viršūnė atsidurtų vietoj gretimos viršūnės; arba briauna – vietoj gretimos briaunos; arba siena – vietoj gretimos sienos) gausime tokį pat briaunainį. Kitaip galima apibrėžti, kad taisyklingas briaunainis yra toks briaunainis, kurio sienos yra vienodi lygiakraščiai taisyklingieji daugiakampiai, vienodai išsidėstę aplinkui kiekvieną viršūnę. Labai formaliai (pagal šiuolaikinę politopų teoriją) taisyklingasis daugiakampis yra toks ir tik toks briaunainis, kurio simetrijos grupė yra tranzityvi jo „simetriškumo žymeniui“ (angl. flag) (tai yra, aibei, kurią sudaro viršūnė, iš jos išeinanti briauna ir šią viršūnę ir briauną liečianti siena).

Taisyklingieji briaunainiai žymimi tokiu Šlėfli simboliu: {n, m}, kur n yra sienos daugiakampio kraštinių skaičius, o m vienoje viršūnėje sueinančių sienų skaičius. Įrodyta, kad iš viso egzistuoja tik devyni taisyklingieji briaunainiai: penki iškili briaunainiai, vadinamieji Platono kūnai (tetraedras {3, 3}, kubas {4, 3}, oktaedras {3, 4}, dodekaedras {5, 3} ir ikosaedras {3, 5}; ir keturi žvaigždiniai briaunainiai, vadinamieji Keplerio-Puanso kūnai (žr. žemiau lentelėje).

Taisyklingi briaunainiai

Iš viso egzistuoja tik penki iškili taisyklingi briaunainiai – Platono kūnai ir keturi taisyklingi žvaigždiniai briaunainiai – Keplerio-Puanso kūnai:

Platono kūnai

Tetraedras {3, 3}	Kubas {4, 3}	Oktaedras {3, 4}	Dodekaedras {5, 3}	Ikosaedras {3, 5}
χ = 2	χ = 2	χ = 2	χ = 2	χ = 2

Keplerio-Puanso kūnai

Mažasis žvaigždinis dodekaedras {5/2, 5}	Didysis dodekaedras {5, 5/2}	Didysis žvaigždinis dodekaedras {5/2, 3}	Didysis ikosaedras {3, 5/2}
χ = −6	χ = −6	χ = 2	χ = 2

Savybės

Ekvivalentiškumas

Ta savybė, kad aplinkui kiekvieną taisyklingų briaunainių viršūnę sienos išsidėsčiusios visiškai vienodai, leidžia tvirtinti tokius ekvivalentiškumo teiginius:

• Visos taisyklingojo briaunainio viršūnė yra vienos sferos paviršiuje.
• Visi taisyklingojo briaunainio dvisieniai kampai yra lygūs.
• Visų taisyklingojo briaunainio viršūnių planai yra taisyklingi daugiakampiai.
• Visi taisyklingojo briaunainio erdviniai kampai yra lygūs.

Koncentrinės sferos

Taisyklingiesiems briaunainiams būdingos trys koncentrinės sferos (kitokiems briaunainiams bent vienos iš jų nubrėžti neįmanoma), kurių centras yra briaunainio viduryje:

• Įbrėžtinė sfera, liečianti visas sienas.
• Tarpinė įbrėžtinė sfera, liečianti visas briaunas.
• Apibrėžtinė sfera, liečianti visas viršūnes.

Simetrija

Taisyklingieji briaunainiai yra simetriškiausi iš visų briaunainių. Jie būna tik trijų simetrijos grupių, kurios ir vadinamos pagal būdingą Platono kūną:

• Tetraedrinė
• Oktaedrinė (arba kubinė)
• Ikosaedrinė (arba dodekaedrinė)

Be to, kiekvienas kūnas, kuriam būdinga oktaedrinė arba dodekaedrinė simetrija, dar pasižymi ir tetraedrine simetrija.

Oilerio charakteristika

Visų penkių Platono kūnų Oilerio charakteristika χ (graikų k. mažoji chi) yra lygi 2. Dviejų Keplerio-Puanso kūnų – taip pat 2, o kitų dviejų – minus šeši (χ=-6).

Vidaus taškai

Taisyklingojo daugiakampio bet kuris vidaus taškas yra išsidėstęs taip, kad jo atstumų iki sienų suma yra vienodas skaičius; arba kitaip, bet kurio vidaus taško atstumų iki sienų suma yra nepriklausoma nuo taško padėties. (Šį teiginį nesunkiai galima patvirtinti remiantis Vivianio teorema lygiakraščiams trikampiams.) Bet priešingas teiginys nėra teisingas; tai yra, jei briaunainio bet kurio vidaus taško atstumo iki sienų suma yra nepriklausoma nuo taško padėties, nereiškia, kad briaunainis yra taisyklingasis (tai negalioja net tetraedrui).

Taisyklingųjų daugiakampių dualumas

Dualios briaunainių poros vieno briaunainio viršūnės atitinka kito briaunainio sienas ir atvirkščiai.

Taisyklingųjų briaunainių dualai (dualios poros) yra tokie:

• Tetraedras yra dualus pats sau; t. y. duali pora yra du tetraedrai.

Tarpusavyje dualūs yra:

• Kubas ir oktaedras
• Ikosaedras ir dodekaedras
• Mažasis žvaigždinis dodekaedras ir Didysis dodekaedras
• Didysis žvaigždinis dodekaedras ir Didysis ikosaedras

Dualaus briaunainio Šlėfli simbolis sužinomas labai paprastai, nes tereikia pirminio briaunainio simbolį užrašyti atvirkščia tvarka: pavyzdžiui, briaunainio {5, 3} (dodekaedro) dualas yra {3, 5} (ikosaedras). Tai visai suprantama, nes Šlėfli simbolyje {n, m}, n yra sienos daugiakampio kraštinių skaičius, o m vienoje viršūnėje sueinančių sienų skaičius; kadangi dualo sienos atitinka pradinio briaunainio viršūnes, vadinasi, jei į viršūnę sueina m daugiakampių, dualo sienos bus m-kampiai, o kadangi pirminio briaunainio siena buvo n-kampis, tai dualo viršūnėje sueis n m-kampių.

Istorija

Ikiistorinis periodas

Briaunainiai sutinkami jau ankstyviausiuose statiniuose, dažniausiai, stačiakampiai gretasieniai ir kubai, taip pat keturkampės Egipto piramidės ir kitokie statiniai, išlikę net iš akmens amžiaus.

Kai kuriuos taisyklinguosius briaunainius žinojo jau etruskai, kurių civilizacija senesnė nei graikų, ką rodo XIX a. pabaigos kasinėjimai prie Padujos (šiaurės Italijoje ), kur buvo rastas iš talko mineralo uolienos steatito, dar vadinamo muilo akmeniu, maždaug prieš 2500 metų padarytas dodekaedras.

Graikų civilizacija

Seniausi žinomi raštiški briaunainių paminėjimai sutinkami klasikinės Graikijos autorių darbuose, kur kartu buvo pateikti ir pirmieji šių figūrų matematiniai apibūdinimai. Senovės graikai pirmiausia domėjosi taisyklingais iškilais briaunainiais, kuriuos vėliau imta vadinti Platono kūnais. Pitagorui buvo žinomi ne mažiau kaip trys šie kūnai, o Teatetas (Theaetetus) apie 417 p.m.e. aprašė jau visus penkis. Galiausiai Euklidas „Elementuose“ aprašė jų sandarą. Vėliau Archimedas išplėtojo briaunainių studiją ir aprašė tolygius iškiliuosius briaunainius, kurie gavo jo vardą ir dabar vadinami Archimedo kūnais. Pirminė Archimedo studija iki mūsų laikų neišliko, bet apie ją žinoma iš Paposo Aleksandriškio darbų.

XVII a. Keplerio tyrimai

Senovėje pitagoriečiai laikėsi minties, kad egzistuoja tam tikra dermė tarp taisyklingųjų briaunainių ir Saulės sistemos planetų judėjimo. XVII amžiuje Johanas Kepleris ėmėsi studijuoti planetų judėjimo duomenis, kuriuos dar XVI amžiuje buvo sukaupęs danų mokslininkas Tiuchas Brahė (Tycho Brahe), ir mėgino patvirtinti pitagoriečių skelbtą idealą, tikėdamasis atrasti atitikimą tarp briaunainių savybių ir planetų orbitų savybių. Nors jo dešimtmetį trukęs tyrimas taip ir neatskleidė ieškoto idealo, vis dėlto, taisyklingųjų briaunainių studijos leido Kepleriui ne tik atrasti naują taisyklingų briaunainių šeimą (Keplerio-Puanso kūnus), bet pasitarnavo ir kosmologijai: buvo nustatyta, kad planetų orbitos yra elipsiškos, o be to, buvo suformuluoti trys Keplerio dėsniai, kurie yra aktualūs iki šiol. Keplerio laikais buvo žinoma tik apie penkias planetas (neskaitant Žemės), tad nieko nuostabaus, kad buvo mėginta ieškoti teorinių sąsajų tarp dangaus kūnų mechanikos ir tobulai atrodančių Platono kūnų. Bet paties Keplerio atradimai, taip pat vėliau atrasti Uranas (planeta) ir Plutonas (planeta), galiausiai privertė atsisakyti pitagoriečių idealo paieškų.

Žvaiždiniai briaunainiai

Kone 2000 metų briaunainiai, kaip iškilosios figūros, buvo suvokiami, remiantis graikų matematiniais pasiekimais. Bet renesanso periodu buvo atrasti žvaigždiniai briaunainiai. Venecijos šv. Marko bazilikos grindyse buvo padaryta marmuro inkrustacija, kurioje vaizduojamas žvaigždinis dodekaedras. O kai kurie dailininkai, pavyzdžiui, Jamniceris (Wenzel Jamnitzer) piešė vis sudėtingesnes žvaigždines figūras.

Johanas Kepleris (1571–1630) naudodamas žvaigždinius daugiakampius, daugiausia pentagramas, kūrė žvaigždinius briaunainius. Kai kurios figūros turbūt buvo jau atrastos iki Keplerio, bet jis buvo pirmasis, kuris nustatė, kad šias figūras dera laikyti taisyklingomis, jei nesilaikysime reikalavimo, kad taisyklingos figūros turi būti iškilos. Vėliau Lui Puanso nagrinėjo žvaigždinius viršūnės planus ir atrado dar du taisyklingus žvaigždinius briaunainius. Augustinas Lui Koši įrodė, kad Puanso sąrašas yra išsamus, o Arturas Keilis (Arthur Cayley) suformulavo jų pavadinimus: du Keplerio kūnai buvo pavadinti mažuoju žvaigždiniu dodekaedru ir didžiuoju žvaigždiniu dodekaedru; kiti du (Puanso kūnai) – didžiuoju ikosaedru ir didžiuoju dodekaedru. Dabar priimtas kuopinis šių kūnų pavadinimas yra Keplerio-Puanso briaunainiai.

Keplerio-Puanso briaunainius galima sukonstruoti iš Platono kūnų stelacijos būdu. Daugelis figūrų, gaunamų stelacijos metu, yra netaisyklingos. 1938 metais Platono kūnų stelacijos tyrimus smarkiai pastūmėjo Kokseteris ir kiti geometrai, išleisdami veikalą „Penkiasdešimt devyni ikosaedrai“ (The Fifty-Nine Icosahedra).

Stelacijai atvirkštinis procesas yra vadinamas išduobimu. Jei paimsime bet kokį politopą ir jo dualą, tai taikydami pirminiam politopui stelaciją, o dualui – išduobimą, gauname žvaigždinus briaunainius, kurie taip pat yra dualūs. Taisyklingus žvaigždinius briaunainius dar galima gauti išduobiant Platono kūnus. Nuo knygos Penkiasdešimt devyni ikosaedrai pasirodymo yra atrasta daugiau šių figūrų ir paieškos dar tęsiasi.

Taisyklingieji briaunainiai gamtoje

Circogonia icosahedra – viena radiolarijų, skeletą turinčių planktono pirmuonių.

Visi penki Platono kūnai vienaip ar kitaip pasireiškia gamtoje.

Tetraedras, kubas ir oktaedras yra neretai gamtoje pasitaikančios kristalų formos. Žinoma, kristalų formų yra daug daugiau, net 47, bet taisyklingųjų briaunainių formos yra lengviausiai atpažįstamos. Taisyklingų ikosaedrų ar dodekaedrų tarp kristalų nesutinkama, bet tarp vadinamųjų kvazikristalų (kurie neatitinka griežtų kristalografinės simetrijos reikalavimų) sutinkami piritoedrai (pagal mineralo pirito pavadinimą) turi dvylika netaisyklingų penkiakampių sienų, kurios išdėstytos panašiai, kaip taisyklingo dodekaedro.

XX amžiaus pabaigos technologiniai atradimai leido tyrinėti sudėtingas anglies molekules, tarp kurių yra Bakminsterio Fulerio teoriškai nuspėtas ir vėliau, atradus, pavadintas jo vardu, fulerenas. Nors ši anglies forma laikytina kone sferiniu briaunainiu, labiausiai daugiamolekulinės jos formos (kaip C₂₄₀, C₄₈₀ ir C₉₆₀), spėjama, turės kiek užapvalinto ikosaedro pavidalą, o pati molekulė bus kelių nanometrų skersmens.

Gyvojoje gamtoje taip pat sutinkame taisyklingų briaunainių. XX a. pradžioje Ernstas Hekelis (Ernst Haeckel) aprašė visą eilę radioliarijų, kurių skeletai neretai yra taisyklingų briaunainių pavidalo. Paminėtinos rūšys: Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus ir Circorrhegma dodecahedra; mokslininkas, sudarydamas rūšies pavadinimus, atspindėjo sąsają su atitinkamais briaunainiais. Daugelio virusų išorinis baltymų apvalkalas susiformuoja kaip taisyklingieji briaunainiai. Pavyzdžiui, ŽIV yra įvilktas į taisyklingą ikosaedrą.

Kaip jau minėta, Kepleris atrado kosmologinius planetų judėjimo dėsnius tyrinėdamas taisyklingųjų briaunainių savybes.

Naujausiųjų laikų apibendrinimai

XX amžiaus matematikai būdinga apibendrinimo ir abstraktumo tendencija neaplenkė ir taisyklingųjų briaunainių tyrimų. Buvo išvestos naujos šių briaunainių klasės: tasyklingieji šlyties apeiroedrai, taisyklingieji šlyties briaunainiai, taisyklingieji neeuklidinių erdvių briaunainiai, abstraktūs taisyklingieji briaunainiai, taisyklingieji sferiniai briaunainiai bei kai kurie kiti.

Šaltiniai

• Bertrand, J. (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences, 46, pp. 79–82.
• Cromwell, Peter R. (1997). Polyhedra. Cambridge University Press. p. 77. ISBN 0-521-66405-5.
• Haeckel, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. Art forms in nature, Prestel USA (1998), ISBN 3-7913-1990-6, or online at http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html Archyvuota kopija 2009-06-27 iš Wayback Machine projekto.
• Smith, J. V. (1982). Geometrical And Structural Crystallography. John Wiley and Sons.
• Sommerville, D. M. Y. (1930). An Introduction to the Geometry of n Dimensions. E. P. Dutton, New York. (Dover Publications edition, 1958). Chapter X: The Regular Polytopes.
• Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. ISBN 0-486-61480-8