Polius (kompleksinė analizė)

Polius kompleksinėje analizėje – kompleksinio kintamojo funkcijos $f(z)$ izoliuotas ypatingas taškas (tai yra taškas, kuriame ji elgiasi kaip ir funkcija ${\frac {1}{z^{n}}}$ prie z = 0) $z_{0}$, kuriame $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)=\infty$.

Gama funkcijos $\Gamma (z)$ modulis. Kairėje, (Re z<0) funkcija turi be galo daug polių. Dešinėje (Re z>0) polių nėra, nors funkcija greitai didėja.

Poliaus kriterijai

• Taškas $z_{0}$ yra polius tik tada, kai funkcijos $f(z)$ skleidinys Lorano eilute taško $z_{0}$ aplinkoje (išskyrus patį tašką $z_{0}$) turi baigtinį skaičių narių su neigiamu laipsniu:

$f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\ldots +f_{-1}(z-z_{0})^{-1}$,

čia $P(z)$ – reguliarioji Lorano eilutės dalis (tik nariai su neneigiamais laipsniais). Jei $f_{-n}\neq \ 0$, tuomet taškas $z_{0}$ vadinamas $n$ eilės poliumi. Jei $n=1$, jį vadiname pirmos eilės poliumi.

• Taškas $z_{0}$ yra $k$ eilės polius tik tuomet, kai $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k-1}=\infty$, bet $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k}\neq \infty$
• Taškas $z_{0}$ yra $k$ eilės polius tik tada, kai jis yra funkcijos $F(z)={\frac {1}{f(z)}}$ $k$ eilės nulis.

Pavyzdžiai

• Funkcija

$f(z)={\frac {3}{z}}$

turi pirmos eilės polių taške $z=0$.

• Funkcija

$f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}$

turi antros eilės polių taške $z=5$ ir trečios eilės polių taške $z=-7$.

• Funkcija

$f(z)={\frac {z-4}{e^{z}-1}}$

turi pirmos eilės polius taškuose $z\,=\,2\pi ni{\text{ ,čia }}n\,=\,\dots ,\,-1,\,0,\,1,\,\dots .$

• Funkcija

$f(z)=z$

turi pirmos eilės polių begalybėje.