Plokštuma

Plokštuma – tobulai plokščia dvimatė daugdara arba paviršius, dvimatė afinioji erdvė. Plokštumoje išsidėsčiusias geometrines figūras tirianti geometrijos šaka vadinama planimetrija.

Dvi persikertančios plokštumos

Naudojant Dekarto koordinačių sistemą trimatėje erdvėje kiekviena plokštuma nusakoma lygtimi, kurios bendra forma yra:

$ax+by+cz+d=0.\qquad$

čia koeficientai $a,b,c$ yra plokštumai statmeno vektoriaus (dar vadinamu normalės vektoriumi) koordinatės.

Plokštuma yra svarbi geometrijos sąvoka, nes ji leidžia apibrėžti daugybę kitų geometrinių objektų: Dekarto koordinačių sistemą ir plokštumos figūras – trikampius, keturkampius, apskritimus ir kt.

Plokštumos apibendrinimas daugiamatėje erdvėje vadinamas hiperplokštuma.

Plokštuma trimatėje erdvėje

Plokštuma trimatėje erdvėje.

Trimatėje euklidinėje erdvėje ℝ³ plokštuma yra apibūdinama tiesine lygtimi:

$ax+by+cz+d=0\,.$

čia x, y ir z yra plokštumos taško koordinatės, o a, b, c ir d yra realieji skaičiai ir bent vienas iš skaičių a, b, c nėra lygus nuliui.

Savybės

Trys lygiagrečios plokštumos.

• Per bet kuriuos du plokštumos taškus galima nubrėžti lygiai vieną tiesę, bet kuris šios tiesės taškas priklauso plokštumai;
• Per bet kuriuos tris erdvės taškus (kurie nėra toje pačioje tiesėje) galima nubrėžti tik vieną plokštumą;
• Dviejų nesutampančių plokštumų sankirta yra tiesi linija.
• Dvi tiesės, statmenos tai pačiai plokštumai, yra lygiagrečios.
• Dvi plokštumos, statmenos tai pačiai tiesei, yra lygiagrečios.

Dviejų plokštumų tarpusavio padėtis

Galimos tokios plokštumų tarpusavio padėtys:

1. Dvi skirtingos plokštumos trimatėje erdvėje gali neturėti bendrų taškų, t. y., būti lygiagrečios. Žymima $\alpha \|\beta$.
2. Gali turėti bendrą tiesę, t. y., būti susikertančios. Žymima $\alpha \nparallel \beta$. Tokiu atveju plokštumos sudaro dvisienį kampą, kuris yra lygus kampui tarp dviejų tų plokštumų statmenų dvisienio kampo briaunai.
3. Gali sutapti. Žymima $\alpha =\beta$.

Atstumas nuo taško iki plokštumos

Trumpiausias atstumas tarp duotos plokštumos $ax+by+cz+d=0\,$ ir taško $\mathbf {p} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$, kuris nebūtinai yra toje plokštumoje, yra lygus

$D={\frac {\left|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.$

Iš to seka, kad taškas $\mathbf {p} _{0}$ yra plokštumoje tada ir tik tada, kai $D=0$. Jeigu ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1$, vadinasi a, b ir c yra normalizuoti, tada formulė supaprastėja:

$D=|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|\,.$

Nuorodos

• Eric W. Weisstein, Plane, MathWorld. (angl.)