Deltaedras

Deltaedras – briaunainis, kurio sienos yra lygiakraščiai trikampiai. Figūros pavadinimas kilęs iš graikų abėcėlės mažosios raidės delta (Δ), kuri primena lygiakraštį trikampį. Egzistuoja be galo daug deltaedrų, bet tik aštuoni yra iškilieji briaunainiai, turintys 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 ir 20 sienų. Šie deltaedrai aprašyti žemiau pateikiamoje lentelėje.

Didžiausias griežtai iškilas deltaedras yra ikosaedras.

Nupjautinio tetraedro šešiakampės sienos suskirstytos į trikampius. Tokia figūra nebegali būti laikoma griežtai iškilu deltaedru, kadangi pagal apibrėžimą sienos negali būti išsidėsčiusios vienoje plokštumoje.

Aštuoni iškilieji deltaedrai

Iš viso egzistuoja tik aštuoni griežtai iškilūs deltaedrai: trys taisyklingieji briaunainiai ir penki Džonsono kūnai.

Taisyklingieji deltaedrai
Vaizdas	Pavadinimas	Sienos	Briaunos	Viršūnės	Viršūnės planas	Simetrijos grupė
	tetraedras	4	6	4	4 × 33	Td, [3,3]
	oktaedras	8	12	6	6 × 34	Oh, [4,3]
	ikosaedras	20	30	12	12 × 35	Ih, [5,3]
Džonsono deltaedrai
Vaizdas	Pavadinimas	Sienos	Briaunos	Viršūnės	Viršūnės planas	Simetrijos grupė
	trikampė bipiramidė	6	9	5	2 × 33 3 × 34	D3h, [3,2]
	penkiakampė bipiramidė	10	15	7	5 × 34 2 × 35	D5h, [5,2]
	nusklembtas disfenoidas	12	18	8	4 × 34 4 × 35	D2d, [2,2]
	tetrakaidekadeltaedras	14	21	9	3 × 34 6 × 35	D3h, [3,2]
	hekkaidekadeltaedras	16	24	10	2 × 34 8 × 35	D4d, [4,2]

Kai kurios šešiasienių deltaedrų viršūnės yra trečio laipsnio, o kai kurios – ketvirto. Kai kurių 10, 12, 14 ir 16 sienų turinčių deltaedrų viršūnės yra ketvirto laipsnio, o kai kurios – penkto. Penki netaisyklingieji deltaedrai yra Džonsono kūnai: iškilūs briaunainiai, kurių sienos yra taisyklingieji daugiakampiai.

Deltaedrai išsaugo savo pavidalą net jei briaunoms leidžiama laisvai suktis apie savo viršūnę taip, kad kampai tarp briaunų gali būti neišsaugoti. Ne visi briaunainiai turi šią savybę: pavyzdžiui, jei atpalaiduotume kai kuriuos kubo kampus, jį galėtume deformuoti į nestačiąją stačiakampę prizmę.

Griežtai iškilas 18 sienų deltaedras negali būti sudarytas. Nors leidžiant sutrumpinti kai kurias ikosaedro briaunas, galima gauti tam tikrą oktadekaedrą, kurio iškilumas gali būti išsaugotas, jei visos 18 sienų bus įvairiakraščiai trikampiai, arba išsaugant lygiakraščius trikampius, bet tada dvi plokštumoje išsidėsčiusios grupės po tris trikampius.

Negriežtai iškili deltaedrai

Galima sudaryti begalinę aibę briaunainių, kurių visos ar kai kurios sienos būtų koplanariniai trikampiai (išsidėstę vienoje plokštumoje), kitaip tariant kurių sienas sudarytų trikampiai klojiniai. Koplanarinių trikampių sienos gali jungtis į rombines, trapecines, šešiakampes ir kitokias lygiakraščių daugiakampių sienas Jeigu koplanarinių ttrikampių grupes laikysime viena siena, pavyzdžiui: , , , , , , ir , ..., tokius briaunainius turėtume laikyti negriežtai iškilais deltaedrais.

Lentelėje pateikiama keletas mažesnių pavyzdžių:

Koplanariniai deltaedrai

Vaizdas	Pavadinimas	Sienos	Briaunos	Viršūnės	Viršūnės planas	Simetrijos grupė
	Priaugintas oktaedras Priauginimas 1 tetr + 1 okta	10	15	7	1 × 33 3 × 34 3 × 35 0 × 36	C3v, [3]
		4 3	12
	Trikampis trapecoedras Priauginimas 2 tetr + 1 okta	12	18	8	2 × 33 0 × 34 6 × 35 0 × 36	C3v, [3]
		6	12
	Priauginimas 2 tetr + 1 okta	12	18	8	2 × 33 1 × 34 4 × 35 1 × 36	C2v, [2]
		2 2 2	11	7
	Trikampė nupjautinė piramidė Priauginimas 3 tetr + 1 okta	14	21	9	3 × 33 0 × 34 3 × 35 3 × 36	C3v, [3]
		1 3 1	9	6
	Ištęstas oktaedras Priauginimas 2 tetr + 2 okta	16	24	10	0 × 33 4 × 34 4 × 35 2 × 36	D2h, [2,2]
		4 4	12	6
	Tetraedras Priauginimas 4 tetr + 1 okta	16	24	10	4 × 33 0 × 34 0 × 35 6 × 36	Td, [3,3]
		4	6	4
	Priauginimas 3 tetr + 2 okta	18	27	11	1 × 33 2 × 34 5 × 35 3 × 36	D2h, [2,2]
		2 1 2 2	14	9
	Sutrumpintų briaunų ikosaedras	18	27	11	0 × 33 2 × 34 8 × 35 1 × 36	C2v, [2]
		12 2	22	10
	Trikampė nupjautinė bipiramidė Priauginimas 6 tetr + 2 okta	20	30	12	0 × 33 3 × 34 6 × 35 3 × 36	D3h, [3,2]
		2 6	15	9
	Trikampis kupolas Priauginimas 4 tetr + 3 okta	22	33	13	0 × 33 3 × 34 6 × 35 4 × 36	C3v, [3]
		3 3 1 1	15	9
	Trikampė bipiramidė Priauginimas 8 tetr + 2 okta	24	36	14	2 × 33 3 × 34 0 × 35 9 × 36	D3h, [3]
		6	9	5
	Šešiakampė antiprizmė	24	36	14	0 × 33 0 × 34 12 × 35 2 × 36	D6d, [12,2+]
		12 2	24	12
	Nupjautinis tetraedras Priauginimas 6 tetr + 4 okta	28	42	16	0 × 33 0 × 34 12 × 35 4 × 36	Td, [3,3]
		4 4	18	12
	Tetrakis kuboktaedras Oktaedras Priauginimas 8 tetr + 6 okta	32	24	18	0 × 33 12 × 34 0 × 35 6 × 36	Oh, [4,3]
		8	12	6

Neiškilosios formos

Egzistuoja begalinė daugybė neiškilųjų deltaedrų.

Keli susikertančių sienų deltaedrai:

• Didysis ikosaedras – Keplerio-Puanso kūnas, sudarytas iš 20 tarpusavyje susikertančių trikampių.

  

Kiti dažniau nagrinėjami neiškilieji deltaedrai gaunami iš visų 5 Platono kūnų, kai prie jų sienų priauginamos lygiakraštės piramidės:

triakis* tetraedras	tetrakis* heksaedras	triakis* oktaedras (stella octangula)	pentakis* dodekaedras	triakis* ikosaedras
12 trikampių	24 trikampiai		60 trikampių

* Pastaba: graikų lotynų kalbų hibridai triakis, tetrakis, pentakis reiškia, kad sienoje yra iškilusios atitinkamai 3, 4 ar 5 briaunos, arba „keteros“.

Kai kurie kitokie tetraedro priauginimai:

Pavyzdžiai: Priauginti tetraedrai

8 trikampiai	10 trikampių	12 trikampių

Deltaedrai gaunami ne tik priauginant piramides, bet ir atvirkščiu veiksmu – išduobiant sienas piramidėmis:

Išduobtas dodekaedras	A toroidinis deltaedras
60 trikampių	48 trikampiai

Tarp aukštesnų matavimų figūrų, deltaedrams yra giminingi simpleksiniai politopai, kurių kiekvienas fasetas yra simpleksas.

Nuorodos

• Freudenthal, H & van der Waerden, B. L. (1947), "Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid")" (in nl), Simon Stevin 25: 115–128  (Įrodoma, kad egzistuoja tik 8 iškilieji deltaedrai.)
• O. Rausenberger Konvexe pseudoreguläre Polyeder. Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht 46, 135-142, 1915.
• H. Martyn Cundy Deltahedra. Math. Gaz. 36, 263-266, Dec 1952. [1]
• H. Martyn Cundy and A. Rollett Deltahedra. §3.11 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 142–144, 1989.
• Charles W. Trigg An Infinite Class of Deltahedra, Mathematics Magazine, Vol. 51, No. 1 (Jan., 1978), pp. 55–57 [2]
• M. Gardner Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations, Scientific American Magazine. New York: W. H. Freeman, pp. 40, 53, and 58-60, 1992.
• Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. pp. 35–36