Natūralusis skaičius: Skirtumas tarp puslapio versijų

4 241 pridėtas baitas ,  prieš 3 mėnesius
Atstatymas su gausiu turiniu
(Nulis Indijoje)
Žyma: Atmesta
(Atstatymas su gausiu turiniu)
Žyma: Manual revert
{{Šaltiniai|nuo=2016 m. balandžio|neturi_nuo=2004 m. kovo}}
[[Vaizdas:Three apples.svg|right|thumb|Natūralieji skaičiai gali būti naudojami skaičiavimui (vienas obuolys, du obuoliai…)]]
'''Natūralusis skaičius''' (ankstesnėje literatūroje galima rasti terminą '''natūrinis skaičius''') – [[Aibė|aibės]] dydis. Čia turima omeny netuščią baigtinę aibę, kuri sutinkama natūralioje gamtoje. Natūralieji skaičiai simboliškai žymimi [[Skaitmuo|skaitmenimis]], pavyzdžiui, [[Romėniški skaitmenys|romėniškais skaitmenimis]] (vienas – „I“, penki – „V“) arba [[Arabiški skaitmenys|arabiškais skaitmenimis]] (vienas – „1“, penki – „5“). Nėra visuotinio sutarimo dėl nulio įtraukimo į natūraliųjų skaičių aibę.<ref name=":1">{{en|Let P be a set of natural numbers; whenever convenient, it may be assumed that 0 in P.}} {{cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Natural Number |url=https://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html |access-date=2021-02-13 |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref> Kartais sakoma, kad šią aibę sudaro tik [[Ženklas (matematika)|teigiami]] [[sveikasis skaičius|skaičiai]] {[[1 (skaičius)|1]], [[2 (skaičius)|2]], [[3 (skaičius)|3]]…}, kartais – kad neneigiami skaičiai {[[Nulis|0]], 1, 2, 3…}. Pirmasis apibrėžimas yra tradicinis, o antrasis atsirado tik XIX a. Lietuvos mokyklose mokoma pirmojo, tradicinio apibrėžimo.
 
[[Vaizdas:Three apples.svg|right|thumb|Natūralieji skaičiai gali būti naudojami skaičiavimui (vienas obuolys, du obuoliai…)]]
'''Natūralusis skaičius''' (ankstesnėje literatūroje galima rasti terminą '''natūrinis skaičius''') – [[Aibė|aibės]] dydis. Čia turima omeny netuščią baigtinę aibę, kuri sutinkama natūralioje gamtoje. Natūralieji skaičiai simboliškai žymimi [[Skaitmuo|skaitmenimis]], pavyzdžiui, [[Romėniški skaitmenys|romėniškais skaitmenimis]] (vienas – „I“, penki – „V“) arba [[Arabiški skaitmenys|arabiškais skaitmenimis]] (vienas – „1“, penki – „5“).
Nulis galėtų būti priskirtas prie natūraliųjų skaičių, nes jis taip pat tam tikra prasme egzistuoja natūralioje gamtoje. Skaičiaus nulis užuomazgos aptinkamos jau senovės Indijos raštuose<ref>{{cite book |last=Plofker | first=Kim | date=2009 | title=Mathematics in India | url=https://books.google.lt/books?id=DHvThPNp9yMC | publisher=Princeton University Press |page= <!-- or pages= -->| isbn=9780691120676}}</ref>. [[Sanskritas|Sanskrito]] kalba ''śūnyatā'' ([[Šūnjata]]) reiškia tuštumą, o simbolis pavadinimu ''śūnya'' buvo panaudotas žymėti nulį.
 
Natūraliųjų skaičių visuma, papildyta tuščios aibės dydžiu ([[Nulis|nuliu]]), sudaro natūraliųjų skaičių aibę. Iš tiesų nėra visuotinio sutarimo dėl nulio įtraukimo į natūraliųjų skaičių aibę. Kartais sakoma, kad šią aibę sudaro tik '''[[Ženklas (matematika)|teigiami]] [[sveikasis skaičius|skaičiai]]''' {[[1 (skaičius)|1]], [[2 (skaičius)|2]], [[3 (skaičius)|3]]…}, kartais – kad '''neneigiami skaičiai''' {[[Nulis|0]], 1, 2, 3…}. Pirmasis apibrėžimas yra tradicinis, o antrasis atsirado tik XIX a. Lietuvos mokyklose mokoma pirmojo, tradicinio apibrėžimo.
Natūraliųjų skaičių [[aibė]] matematikoje žymima raide '''N''' arba <math>\mathbb{N}</math> ([[Unikodas|Unikodu]] rodoma kaip ℕ).<ref name=":2">{{cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=N|url=https://mathworld.wolfram.com/N.html |access-date=2021-02-13 |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref> Tai yra [[Skaiti aibė|skaiti]] [[begalinė aibė]]. 2009 m. sutartas ISO 80000-2 standartas siūlo rašyti: <ref>{{cite web|title=International standard 80000-2:2009. Part 2|url=https://people.engr.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf |website=NCSU COE People|accessdate=2019-08-12}}</ref>
 
== Žymėjimas ==
Natūraliųjų skaičių [[aibė]] matematikoje žymima raide '''N''' arba <math>\mathbb{N}</math> ([[Unikodas|Unikodu]] rodoma kaip ℕ). Tai yra [[Skaiti aibė|skaiti]] [[begalinė aibė]].
 
Tarp Lietuvos matematikų nėra nesutarimo dėl natūraliųjų skaičių aibės žymėjimo, nes beveik visi naudoja tokį (būtent šis žymėjimas naudojamas ir daugumoje užsienio matematikos knygų, bent jau anglų, rusų ir vokiečių kalbomis):
: <math>\mathbb{N}^* = \{ 1, 2, \ldots \} </math>
 
Tam, kad būtų išvengta nesusipratimų dėl nulio įtraukimo arba neįtraukimo į aibę, viršuje arba apačioje kartais parašomas indeksas:
: <math>\mathbb{N}^0 = \mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, \ldots \}</math>
: <math>\mathbb{N}^* = \mathbb{N}^+ = \mathbb{N}_1 = \mathbb{N}_{>0}= \{ 1, 2, \ldots \}. </math>
 
== Savybės ==
=== Aritmetinės savybės ===
Natūralieji skaičiai turi [[Sudėtis|sudėties]] ir [[Daugyba|sandaugos]] kompozicijas<ref>{{cite web | url=https://www.terminai.lt/kompozicija/ | title=Kompozicija |author=<!--Not stated-->| date = <!--Not stated--> | website= Terminai.lt - tarptautinių žodžių žodynas | access-date= 2020 gruodžio 20}}</ref>, kurios pagal tam tikras taisykles kiekvienai aibės elementų porai priskiria trečią tos pačios aibės elementą:
* sudėtis: ''a'' + ''b'' = ''c'',
* sandauga: ''a'' · ''b'' = ''c'',
kur ''a'', ''b'' ir ''c'' yra natūralieji skaičiai.
 
Sudėties (+) ir daugybos (·) veiksmai su natūraliaisiais skaičiais turi kelias aritmetinės savybes:
* Uždarumas: jei ''a'' ir ''b'' yra natūralieji skaičiai, tai ''a'' + ''b'' ir ''a'' · ''b'' taip pat yra natūralieji skaičiai.
* [[Asociatyvumas]]: jei ''a'', ''b'' ir ''c'' yra natūralieji skaičiai, tai {{nowrap|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}} ir {{nowrap|''a'' · (''b'' · ''c'') {{=}} (''a'' · ''b'') · ''c''}}.
* [[Komutatyvumas]]: jei ''a'' ir ''b'' yra natūralieji skaičiai, tai {{nowrap|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}} ir {{nowrap|''a'' · ''b'' {{=}} ''b'' · ''a''}}.
* [[Neutrausis elementas|Neutraliojo elemento]] egzistavimas: jei ''a'' yra natūralusis skaičius, tai {{nowrap|''a'' + 0 {{=}} ''a''}} ir {{nowrap|''a'' · 1 {{=}} ''a''}}.
* Daugybos skirstymas sudėties atžvilgiu: jei ''a'' ir ''b'' yra natūralieji skaičiai, tai {{nowrap|''a'' · (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' · ''b'') + (''a'' · ''c'')}}.
 
==== Dalyba su liekana ====
[[Dalyba su liekana]], dar vadinama Euklido dalyba, yra vienas iš natūraliųjų skaičių dalinimo būdų, kuris užtikrina, kad visi [[operandas|operandai]] yra natūralieji skaičiai.
 
Bet kuris natūralusis skaičius ''a'' gali būti užrašytas kaip mažesnių už jį skaičių sandauga ir sudėtimi:
 
''a=b·q+r'', ''0≤q<b'',
 
kur visi operandai yra natūralieji skaičiai: ''b'' yra daliklis, ''q'' yra dalmuo ir ''r'' yra liekana. Liekana ''r'' visada yra mažesnė už daliklį ''b''.
 
Toks natūralusis skaičius ''b'', kuriam esant liekana ''r'' yra lygi nuliui, yra vadinamas skaičiaus ''a'' dalikliu.
Pavyzdžiui, skaičiaus 6 dalikliai yra 1, 2, 3 ir 6, nes jiems esant dalmenys atitinkamai yra 6, 3, 2 ir 1, o liekana visais šiais atvejais yra lygi nuliui.
 
=== Algebrinės savybės ===
Natūraliųjų skaičių aibė, pagal [[Algebrinė struktūra|algebrinę struktūrą]], yra komutatyvus [[monoidas]] sudėties ir sandaugos kompozicijų atžvilgiais.
 
== Poaibiai ==
 
=== Lyginiai skaičiai ===
[[Lyginis skaičius|Lyginiai skaičiai]] yra tie natūralieji skaičiai, kurie gali būti išreikšti kaip dviejų natūraliųjų skaičių sandauga, kurioje vienas dauginamasis yra skaičius du:
 
''a'' = 2 · ''b'', kur ''a'' yra lyginis skaičius, ''b'' yra natūralusis skaičius.
 
=== Nelyginiai skaičiai ===
[[Nelyginis skaičius|Nelyginiai skaičiai]] yra tie natūralieji skaičiai, kurie negali būti išreikšti kaip dviejų natūraliųjų skaičių sandauga, kurioje vienas dauginamasis yra skaičius du.
 
=== Sudėtiniai skaičiai ===
[[Sudėtinis skaičius|Sudėtiniai skaičiai]] yra tie natūralieji skaičiai, kurie gali būti išreikšti kaip natūraliųjų skaičių sandauga, kurioje visi dauginamieji yra mažesni už tą skaičių:
 
''a'' = ''b'' · ''c'' · …, kur ''a'' yra sudėtinis skaičius, ''b'' ir ''c'' yra natūralieji skaičiai, visi mažesni už ''a''.
 
=== Pirminiai skaičiai ===
[[Pirminis skaičius|Pirminiai skaičiai]] yra tie natūralieji skaičiai, kurie negali būti išreikšti kaip natūraliųjų skaičių sandauga, kurioje visi dauginamieji yra mažesni už tą skaičių. Pirminiai skaičiai gali būti išreikšti tik viena sandauga:
 
''a'' = 1 · ''a'', kur ''a'' yra pirminis skaičius.
 
=== Tobulieji skaičiai ===
[[Tobulasis skaičius|Tobulieji skaičiai]] yra tie natūralieji skaičiai, kurių daliklių (neįskaitant pačio skaičiaus) suma yra lygi tam skaičiui. Pavyzdžiui, skaičiaus 6 dalikliai, mažesni už patį skaičių, yra 1,2 ir 3, o šių daliklių suma yra lygi 6.
 
== Sekos ==
: <math>\mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, \ldots \}</math>
: <math>\mathbb{N}^* = \{ 1, 2, \ldots \} </math>
 
=== Fibonačio skaičių seka ===
Ne visur to laikomasi, literatūroje galima rasti įvairių kitokių žymėjimų.
[[Fibonačio skaičius|Fibonačio skaičiai]] yra natūraliųjų skaičių [[seka]], kurioje kiekvienas sekos narys F<sub>n+1</sub> yra dviejų prieš jį einančių narių suma: F<sub>n+1</sub> = F<sub>n</sub> + F<sub>n-1</sub>. Du pirmieji sekos nariai yra F<sub>0</sub> = 0 ir F<sub>1</sub> = 1, taigi seka yra (0,1,1,2,3,5,8,…)
 
=== Pirminių skaičių seka ===
Natūraliųjų skaičių aibė yra [[Skaiti aibė|skaiti]] [[begalinė aibė]]. Kitaip tariant, jos [[kardinalinis skaičius]] yra {{math|ℵ<sub>0</sub>}}, begalinis.
Pirminiai skaičiai, surikiuoti pagal dydį, sudaro pirminių skaičių seką (2,3,5,7,11,13,17,…).
<ref name=":3">{{cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Cardinal Number|url=https://mathworld.wolfram.com/CardinalNumber.html |access-date=2021-02-13 |website=mathworld.wolfram.com |language=en}}</ref>
 
== Taip pat skaitykite ==
110

pakeitimų