Vikipedija

Hilberto erdvė: Skirtumas tarp puslapio versijų

Naršyti istoriją interaktyviai
← Prieš tai darytas keitimasKitas pakeitimas →
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
VizualusVikitekstas
Orionus (aptarimas | indėlis)
3 835 keitimai
Pravalyta, patvarkyta terminologija.
Orionus (aptarimas | indėlis)
3 835 keitimai
dar linkai, punktuacija, stilius
Eilutė 3:
'''Hilberto erdvė''', pavadinta [[David Hilbert]] garbei, apibendrina [[Euklidinė erdvė|euklidinės erdvės]] sąvoką. Ji išplečia [[Tiesinė algebra|vektorių algebrą]] iš dviejų arba trijų matavimų euklidinėje erdvėje į daugelio matmenų ar net begalinmates erdves. Hilberto erdvė yra abstrakti [[vektorinė erdvė]], kurioje yra apibrėžta [[skaliarinė sandauga]], o tai leidžia joje įvesti vektoriaus ilgio ir kampo tarp jų sąvokas.
 
Hilberto erdvė dažnai naudojama [[Matematika|matematikos]], [[Fizika|fizikos]] moksluose kaip begalinmatė funkcijų erdvė. Būtent nuo to šios abstrakčios erdvės tyrimus dvidešimto amžiaus pirmame dešimtmetyje pradėjo [[David Hilbert]], [[Erhard Schmidt]] ir [[Frigyes Riesz]]. Hilberto erdvės naudojamos [[dalinėsdiferencialinė diferencialinėslygtis lygtys|daliniųdalinėmis išvestinėmis|diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis]], [[Kvantinė mechanika|kvantinės mechanikos]], [[FurjeFurjė analizė]]s ir [[dinaminėsdinaminė sistemossistema|dinaminių sistemų]] tyrimuose. [[John von Neumann]] pirmasis įvedė apibendrinantį terminą "Hilberto erdvė" daugybei skirtingų šios erdvės teorinių taikymų.
Neskaitant Euklidinėseuklidinės erdvės, Hilberto erdvės pavyzdžiais gali būti [[Lebego erdvė|kvadratinių integruojamų funkcijų]] erdvė, [[sekų erdvė]], [[Sobolevo erdvė]], [[Hardy erdvė|Hardy holomorfinių funkcijų erdvė]].
 
Geometrinė interpretacija yra svarbi naudojant Hilberto erdvės teorijąerdves. [[Pitagoro teorema]], [[lygiagretainio taisyklė]], projekcijos sąvokos yra ir Hilberto erdvėje. Kiekvienas Hilberto erdvės taškas, gali turėti ortogonalias, kaip ir [[Dekarto koordinačių sistema|Dekarto]], koordinates. [[Tiesinis operatorius]] Hilberto erdvėje yra pakankamai akivaizdus objektas: kai kuriais atvejais tai tiesiog paprasta transformacija kuri deformuoja erdvę išilgai ortogonalių ašių. Savo ruožtu, tai leidžia taikyti matematinės spektrinės teorijos metodus.
 
==Apibrėžimai ir pavyzdžiai==
===Pavyzdžiai: Euklidinė erdvė===
Vienas žinomiausių pavyzdžių yra [[Euklidinėeuklidinė erdvė]] susidedanti iš trijų dimensijų [[Euklido vektorius|vektorių]], iš '''R'''<sup>3</sup> (realiųjų skaičių trimatė erdvė), su [[Skaliarinė sandauga|skaliarine sandauga]]. Skaliarinė sandaugos '''x''' ir '''y''' skaliarinės sandaugos rezultate gaunamas realusrealusis skaičius '''x'''·'''y'''. Jei '''x''' ir '''y''' [[Dekarto koordinačių sistema|Dekarto koordinatės]], tada skaliarinė sandauga apibrėžiama:
:<math>(x_1,x_2,x_3)\cdot (y_1,y_2,y_3) = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.</math>
Skaliarinės sandaugos savybės:
#[[Komutatyvumas|Komutatyvi]] funkcija: '''x'''·'''y'''&nbsp;=&nbsp;'''y'''·'''x'''.
#[[Tiesinė funkcija]]: (''a'''''x'''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''b'''''x'''<sub>2</sub>)·'''y'''&nbsp;=&nbsp;''a'''''x'''<sub>1</sub>·'''y'''&nbsp;+&nbsp;''b'''''x'''<sub>2</sub>·'''y''' visiems ''a'', ''b'', ir vektoriams '''x'''<sub>1</sub>, '''x'''<sub>2</sub>, ir '''y'''.
#[[Teigiamai apibrėžta]] funkcija: visiems vektoriams '''x''', '''x'''·'''x'''&nbsp;≥&nbsp;0. Lygybė 0nuliui bus [[tada ir tik tada]] kai '''x'''&nbsp;=&nbsp;0.
Jei vektoriaus ilgis arba(arba [[norma]]) yra žymimas ||'''x'''||, o kampas &theta; tarp '''x''' ir '''y''', skaliarinė sandauga gali būti užrašoma <math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \|\mathbf{x}\|\,\|\mathbf{y}\|\,\cos\theta.</math>
 
[[Vaizdas:Completeness in Hilbert space.png|thumb|right|Pilnumas reiškia, kad taškui judant išilgai baigtinės laužtės (mėlynamėlynos spalvaspalvos), pilnas poslinkis irgi bus baigtinis (oranžinėoranžinės spalvaspalvos).]]
 
Euklidinė erdvė yra pilna. Vektorių eilutė konverguoja tada kai:
Eilutė 24:
 
===Apibrėžimai===
'''Hilberto erdvėje''' ''H'' yra apibrėžta [[realusRealusis skaičius| realiųjų]] arba [[kompleksinis skaičius|kompleksinių]] skaičių [[skaliarinė sandauga]], dėl to ji yra [[metrinė erdvė]]. Bendru atveju ''H'' yra kompleksinių vektorių erdvė su &lang;''x'',''y''&rang; su kiekviena elementų pora ''x'',''y'' iš ''H'', tenkinančių savybes:
* &lang;''y'',''x''&rang; yra kompleksiškai jungtinis skaičius &lang;''x'',''y''&rang;:
::<math>\langle y,x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}.</math>
* &lang;''x'',''y''&rang; yra [[tiesinė funkcija]] su pirmuoju argumentu. visiemsVisiems kompleksiniams ''a'' ir ''b'',
::<math>\langle ax_1+bx_2, y\rangle = a\langle x_1, y\rangle + b\langle x_2, y\rangle.</math>
* Skaliarinė sandauga [[teigiamai apibrėžta]]:
::<math>\langle x,x\rangle \ge 0</math>,
:kur lygybė galima tiktai kai ''x''&nbsp;=&nbsp;0.
 
Realioje erdvėje skaliarinė sandauga yra apibrėžta taip pat, tik ''H'' įgyja realias vertes realiųjų skaičių erdvėje.
 
[[Norma]] &lang;•,•&rang; yra realiosios vertės funkcija
Eilutė 39:
ir atstumas tarp dviejų taškų ''x'',''y'' ''H'' yra apibrėžiamas taip:
:<math>d(x,y)=\|x-y\| = \sqrt{\langle x-y,x-y \rangle}.</math>
Atstumo funkcija turi savybes:
Atstumo funkcija turi savybes (1) ''x'' ir ''y'' atžvilgiu yra simetriška, (2) atstumas tarp ''x'' ir ''x'' yra nulis nes kitu atveju kai ''x'' ir ''y'' skirtingi turi būti teigiamas (3) [[trikampio nelygybė]] sako, jog ilgiausioji trikampio kraštinė nėra ilgesnė už likusių kraštinių ilgių sumą:
* ''x'' ir ''y'' atžvilgiu yra simetriška,
* atstumas tarp ''x'' ir ''x'' yra nulis nes kitu atveju kai ''x'' ir ''y'' skirtingi turi būti teigiamas
* [[trikampio nelygybė]] sako, jog ilgiausioji trikampio kraštinė nėra ilgesnė už likusių kraštinių ilgių sumą:
:<math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z).</math>
 
Ši savybė sekaišplaukia iš dar fundamentalesnės [[Koši - Švarco nelygybė|Koši-Švarco nelygybės]], kuri teigia, kad
:<math>|\langle x, y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|</math>,
Oo lygybė galioja tada ir tik tada kai ''x'' ir ''y'' yra tiesiškai priklausomi.
 
Kaip pilna normuota erdvė, Hilberto erdvė yra taip pat [[Banacho erdvė]] (tai yra vektorinė metrinė erdvė).
Rodomas puslapis "https://lt.wikipedia.org/wiki/Hilberto_erdvė"