|
[[Image:Harmonic partials on strings.svg|thumb|Virpančios stygos būsena gali būti vaizduojama tašku Hilberto erdvėje. Stygos virpesių obertonai tuo atveju bus interpretuojami kaip to taško projekcijos į Hilberto erdvės koordinatines ašis]]
'''Hilberto erdvė''' [[matematika|matematikoje]], pavadinta [[David Hilbert]] garbei, apibendrina [[Euklidinė erdvė|Euklidinėseuklidinės erdvės]] sąvoką. Ji išplečia [[Tiesinė algebra|vektorių algebrą]] iš dviejų arba trijų matavimų Euklidinėjeeuklidinėje erdvėje į daugelio matmenų ar net begalybės matmenųbegalinmates erdves. Hilberto erdvė yra abstrakti [[vektorinė erdvė]], kurioje yra apibrėžta [[skaliarinė sandauga]], o tai leidžia bet kokio matavimo erdvėjejoje įvesti vektoriaus ilgio ir kampo tarp jų sąvokas.
Hilberto erdvė dažnai naudojama [[Matematika|matematikos]], [[Fizika|fizikos]] moksluose kaip begalinmatė funkcijų erdvė. Būtent nuo to savo šios abstrakčios erdvės tyrimus dvidešimto amžiaus pirmame dešimtmetyje pradėjo [[David Hilbert]], [[Erhard Schmidt]] ir [[Frigyes Riesz]]. Hilberto erdvės naudojamos [[dalinės diferencialinės lygtys|dalinių diferencialinių lygčių]], [[Kvantinė mechanika|kvantinės mechanikos]], [[Furje analizė]]s ir [[dinaminės sistemos|dinaminių sistemų]] tyrimuose. [[John von Neumann]] pirmasis įvedė apibendrinantį terminą "Hilberto erdvė" daugybei skirtingų šios erdvės teorinių taikymų.
Neskaitant Euklidinės erdvės, Hilberto erdvės pavyzdžiais gali būti [[Lebego erdvė|kvadratinių integruojamų funkcijų]] erdvė, [[sekų erdvė]], [[Sobolevo erdvė]], [[Hardy erdvė|Hardy holomorfinių funkcijų erdvė]].
==Apibrėžimai ir pavyzdžiai==
===Pavyzdžiai: EuklidoEuklidinė erdvė===
Vienas artimiausiųžinomiausių pavyzdžių yra [[Euklidinė erdvė]] susidedanti iš trijų dimensijų [[Euklido vektorius|vektoriusvektorių]], susidedantis iš '''R'''<sup>3</sup> (realiųjų skaičių trimatė erdvė), su [[Skaliarinė sandauga|skaliarine sandauga]]. Skaliarinė sandaugasandaugos '''x''' ir '''y''' rezultate gaunamas realus skaičius '''x'''·'''y'''. Jei '''x''' ir '''y''' atvaizduojama [[Dekarto koordinačių sistema|Dekarto koordinačių sistemojekoordinatės]], tada skaliarinė sandauga apibrėžtaapibrėžiama:
:<math>(x_1,x_2,x_3)\cdot (y_1,y_2,y_3) = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.</math>
Skaliarinės sandaugos savybės:
#Jei '''x''' and '''y''' taiKomutatyvumas: '''x'''·'''y''' = '''y'''·'''x'''.
#Jei y [[tiesinėTiesinė funkcija]] tai: (''a'''''x'''<sub>1</sub> + ''b'''''x'''<sub>2</sub>)·'''y''' = ''a'''''x'''<sub>1</sub>·'''y''' + ''b'''''x'''<sub>2</sub>·'''y''' visiems ''a'', ''b'', ir vektoriams '''x'''<sub>1</sub>, '''x'''<sub>2</sub>, ir '''y'''.
#JeiTeigiamai [[Aprėžtaapibrėžta funkcija|teigiamai aprėžta]]: visiems vektoriuivektoriams '''x''', '''x'''·'''x''' ≥ 0 kaiLygybė 0 [[tada ir tik tada]] kai '''x''' = 0.
IlgisJei vektoriaus ilgis arba([[norma]]) yra apibrėžtažymimas ||'''x'''||, iro kampas θ tarp '''x''' ir '''y''' apibrėžimasskaliarinė formulesandauga gali būti užrašoma <math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \|\mathbf{x}\|\,\|\mathbf{y}\|\,\cos\theta.</math>
[[Vaizdas:Completeness in Hilbert space.png|thumb|right|Pilnumas reiškia, kad taškui judant išilgai baigtinės laužtės (mėlyna spalva), pilnas poslinkis irgi bus baigtinis (oranžinė spalva).]]
:<math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \|\mathbf{x}\|\,\|\mathbf{y}\|\,\cos\theta.</math>
Euklidinė erdvė yra pilna. Vektorių eilutė konverguoja tada kai: ▼
[[Kelių kintamųjų diferencijavimas]] Euklido erdvėje galimas nes yra aprėžta [[riba]], ir turi pagalbinį kriterijų ribos egzistavimui aprėžti. [[Eilučių teorija]]
:<math>\sum_{n=0}^\infty \mathbf{x}_n</math>
susidedanti iš vektorių '''R'''<sup>3</sup> yra [[absoliutus konvergavimas|absoliučiai konverguojanti]] kai jos suma baigtinė:
:<math>\sum_{k=0}^\infty \|\mathbf{x}_k\| < \infty.</math>
▲Vektorių eilutė konverguoja tada kai:
:<math>\left\|\mathbf{L}-\sum_{k=0}^N\mathbf{x}_k\right\|\to 0\quad\text{as }N\to\infty.</math>
===Apibrėžimai===
'''Hilberto erdvėje''' ''H'' yra aprėžtaapibrėžta [[realus skaičius| realiųjų]] arba [[kompleksinis skaičius|kompleksinių]] skaičių [[skaliarinė sandauga]], irdėl sudaroto ji yra [[metrinė erdvė|metrinę erdvę]] su sąlygomis.<ref name="General">Visą papildoma medžiaga funkcinės analizės knygose tokiose kaip {{Harvtxt|Dieudonné|1960}}, {{Harvtxt|Hewitt|Stromberg|1965}}, {{Harvtxt|Reed|Simon|1980}} ir {{Harvtxt|Rudin|1980}}.</ref> Sakydami jog ''H'' yra kompleksinės erdvės produktas sakomeBendru jogatveju ''H'' yra kompleksinių vektorių erdvė su ⟨''x'',''y''⟩ su kiekviena elementų pora ''x'',''y'' ofiš ''H'', tenkinančiastenkinančių savybes:
* ⟨''y'',''x''⟩ yra Kompleksiniskompleksiškai priešingasjungtinis skaičius ⟨''x'',''y''⟩:
::<math>\langle y,x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}.</math>
* ⟨''x'',''y''⟩ yra [[tiesinė funkcija]] su pirmuoju argumentu. visiems kompleksiniams ''a'' ir ''b'',
::<math>\langle ax_1+bx_2, y\rangle = a\langle x_1, y\rangle + b\langle x_2, y\rangle.</math>
* Skaliarinė sandauga [[Teigiamai aprėžtas|teigiamai aprėžtaapibrėžta]]:
::<math>\langle x,x\rangle \ge 0</math>
:kur lygybė galima tiktaistiktai kai ''x'' = 0.
Realioje erdvėje skaliarinė sandauga yra apibrėžtasapibrėžta taitaip pat, tik ''H'' įgyja realias vertes realiojerealiųjų skaičių erdvėje.
[[Norma]] ⟨•,•⟩ yra realiosios vertės funkcija
:<math>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle},</math>
ir atstumas tarp dviejų taškų ''x'',''y'' ''H'' yra apibrėžiamaapibrėžiamas taip:
:<math>d(x,y)=\|x-y\| = \sqrt{\langle x-y,x-y \rangle}.</math>
Atstumo funkcija turi savybes (1) ''x'' ir ''y'' atžvilgiu yra simetriška, (2) atstumas tarp ''x'' ir ''x'' yra nulis nes kitu atveju kai ''x'' ir ''y'' skirtingi turi būti teigiamateigiamas (3) [[trikampio nelygybė]] sako, jog ilgiausioji trikampio kraštinė nėra ilgesnė už likusių kraštinių ilgių sumą:
:<math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z).</math>
Ši savybė padedaseka įvestiiš dar fundamentalesnęfundamentalesnės [[Koši - Švarco nelygybė|Koši-Švarco nelygybęnelygybės]], kuri teigia , kad▼
▲Ši savybė padeda įvesti dar fundamentalesnę [[Koši - Švarco nelygybė|Koši-Švarco nelygybę]], kuri teigia
:<math>|\langle x, y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|</math>
irO lygybė lygigalioja tada ir tik tada kai ''x'' ir ''y'' yra [[Tiesinis priklausomumas|tiesiškai priklausoma]]priklausomi.
Santykinis atstumas apibrėžtas ir bet kuri skaliarinė sandauga yra [[metrinė erdvė]], tai pat žinoma kaip ''Hilberto puserdvė''.<ref>{{harvnb|Dieudonné|1960|loc=§6.2}}</ref> Hilberto puserdvė yra Hilberto erdvė jei yra galima ją papildyti. Pilnumas yra išreiškiamas naudojant [[Koši kriterijus|Koši kriterijų]] sekoms ''H'': Hilberto puserdvė ''H'' yra [[pilna erdvė]] jei kiekvienai [[Koši seka]]i [[riba|norma konverguoja]] į erdvės elementą. Pilnumą galima charakterizuoti: jei seka vektorių <math>\textstyle{\sum_{k=0}^\infty u_k}</math> [[absoliutus konvergavimas|absoliučiai konverguoja]] tai
:<math>\sum_{k=0}^\infty\|u_k\| < \infty,</math>
tada seka kanverguoja ''H'', jei dalinių sumų riba konverguoja tai pat ''H''.
Kaip pilna normuota erdvė, Hilberto erdvė yra taitaip pat [[BanahoBanacho erdvė]]. (tai Taipyra kaipvektorinė [[topologinių vektoriųmetrinė erdvė]],). kurioje [[topologija]] suprantama kaip [[atvira aibė|atviroji aibė]] ir [[uždara aibė|uždarinys]].
===Antras pavyzdys: sekų erdvė===
[[Sekų erdvė]] ''ℓ''<sup>2</sup> susideda iš [[seka|baigtinių sekų]]begalinės '''z''' = (''z''<sub>''1''</sub>,''z''<sub>2</sub>,...) iš kompleksinių skaičių [[sekos, tokios, kad eilutė]]s
:<math>\sum_{n=1}^\infty |z_n|^2</math>
[[Konvergavimas|konverguoja]]. Tuomet Skaliarinėskaliarinė sandauga ''ℓ''<sup>2</sup> apibrėžtaapibrėžiama
:<math>\langle \mathbf{z},\mathbf{w}\rangle = \sum_{n=1}^\infty z_n\overline{w_n},</math>
eilučiųkuri konvergavimuitaip taikomapat konverguoja pagal Koši-Švarco nelygybėnelygybę.
| 