Grandininė linija: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
S Atmestas 5.20.190.103 pakeitimas, grąžinta ankstesnė versija (JulianaSergejenia keitimas) |
S Atmestas Homo ergaster pakeitimas, grąžinta ankstesnė versija (5.20.190.103 keitimas) |
||
Eilutė 5:
Lygtis Dekarto koordinatėse:
<center> <math>y = \frac{a\left(e^\frac{x}{a} + e^{-\frac{x}{a}}\right)}{2}= a \, \cosh \left(\frac{x}{a}\right)</math> (1)</center>▼
▲<center> <math>y = \frac{a\left(e^\frac{x}{a} + e^{-\frac{x}{a}}\right)}{2}= a \, \cosh \left(\frac{x}{a}\right)</math>
Taškas (0,<math>A</math>) – vadinamas viršūne,<math> {O_{x}} </math> ašis - direktrisė.▼
<p align="right">(1)</p>
Matematinės GL savybės pirmą kartą ištyrė [[Robert Hooke]] (1670)<ref>{{Citation | last1=Ambrazevičius | first1=A. | title=Matematinės fizikos lygtys. D. 1. Vilnius: Aldorija}}</ref>, o jos matematinę lygtį, praktiškai vienu metu, išvedė [[Gotfridas Leibnicas]]<ref>{{Citation | last1=Ambrazevičius A., Domarkas A. | title=Matematinės fizikos lygtys. D. 2. Vilnius: Aldorija| year=1999 | pages=380}}</ref> , [[Christiaan Huygens]]<ref>{{Citation | last1=Pekarskas V. | title=Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. Kaunas| year=2008 | volume=2}}</ref> ir [[Johannu Bernoulli]] 1691-iais <ref name="Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное счисление. Москва: 1969."> Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное счисление. Москва: 1969. 424 р.</ref>.
GL ir su ja susijusios kreivės yra naudojamos architektūroje ir inžinerijoje, tiltų ir arkų dizainuose.
eilutė 35 ⟶ 37:
: <math>x(t)=a \sinh\left(\frac{t}{a}\right)\cosh\left(\frac{t}{a}\right)</math>, <math>y(t)=2 a\cosh\left(\frac{t}{a}\right)</math>
* GL sukimosi paviršius yra katenoidas, kuris priklauso minimalių paviršių šeimai.
* Bet kurio kreivės taško <math>M</math> atstumo iki direktrisės projekcija į normalę taške <math>M</math> yra lygi viršūnės atstumui iki direktrisės.
: Tikrai, jei taškas <math>P</math> yra taško <math>M</math> ortogonalioji projekcija <math>O_x</math> ašyje, tiesė <math>n</math> yra kreivės normalė taške <math>M</math>, o taškas <math>L</math> yra taško <math>P</math> ortogonalioji projekcija tiesėje <math>n</math> tai <math>ML=y\cos\alpha=y\frac{dx}{ds}</math>. Kadangi iš grandininės linijos lygties turime <math>s=a\frac{dy}{dx}=\sinh\left(\frac{x}{a}\right)</math> tai <math>ds=\frac{1}{a}\cosh\frac{x}{a}=\frac{y}{a}\, dx</math> todėl <math>ML=y\frac{dx}{\frac{y}{a} dx}</math>.
* Bet kurio kreivės taško <math>M</math> atstumo iki simetrijos ašies projekcija į liestinę taške <math>M</math> yra lygi kreivės lanko nuo taško <math>M</math> iki viršūnės ilgiui.
:Tikrai, jei taškas <math>K</math> yra įtaško <math>P</math> ortogonalioji projekcija liestinėje <math>l</math> tai iš trikampio <math>MPK</math> ir iš prieš tai esančios savybės turime, kad
:<math>MK^2=MP^2-ML^2=y^2-a^2=s^2.</math>
* Grandininė linija yra kreivė, kurios lanko ilgis nuo fiksuoto taško <math>A</math> – kreivės viršūnės iki bet kurio jos taško <math>M</math> yra proporcingas liestinės krypties koeficientui taške <math>M</math>.
* Dviejų grandininės linijos lankų nuo viršūnės <math>A</math> iki taškų, per kuriuos eina statmenos kreivės liestinės, ilgių sandauga yra pastovus skaičius.
* Bet kurio grandininės linijos taško ordinatė yra kreivumo spindulio tame taške ir grandininės linijos parametro geometrinis vidurkis.
* Grandininės linijos <math>y=a\cosh\left(\frac{x}{a}\right)=\frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)</math> taškuose, kuriems <math>y\prec a\sqrt{\frac{5}{2}}</math> antrosios eilės kreivė, turinti aukščiausios eilės lietimąsi su grandinine linija yra elipsė (tokie taškai vadinami kreivės elipsiniais taškais), kai <math>y\succ a\sqrt{\frac{5}{2}}</math> tokia kreivė yra hiperbolė (hiperboliniai kreivės taškai), o dviejuose taškuose, kuriems <math>y= a\sqrt{\frac{5}{2}}</math> glaudžiausiai su grandinine linija liečiasi parabolė (paraboliniai taškai).
== Lygties išvedimas ==
===Energijos minimumo principas===
Begalo mažos masės <math>dm</math> GL elemento potencinė energija homogeniniame gravitaciniame lauke:
: <math>dE = g\, y\, dm,</math><p align="right">(
čia <math>g</math>- laisvojo kritimo pagreitis <math>(g\approx 9,81 \frac{m}{s^2} )</math>, <math>y=y(x)</math> - GL element aukštis virš “žemės”(lygio, kuriame potencinė energija laikoma lygi nuliui). Jei grandinė vienalytė, tai
: <math>dm = \rho\, S\, dl,</math><p align="right">(
čia <math>\rho</math>- GL tankis, <math>S</math>- skerspjuvio plotas, <math>dl=\sqrt{(1+y_x^2 )} dx</math> - GL element ilgis.
Visos GL potencinė energija yra
:<math>E=g\rho\, S \int\limits_{-\frac{h}{2}}^\frac{h}{2} y\sqrt{(1+y_x^2 )}\,dx </math>.<p align="right">(
Pareikalaukime, kad kabančios GL forma būtų tokia, kad ji turėtų mažiausią potencinę energiją. Tai reiškia, kad energijos funkcionalas (
:<math>\frac {\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac {\partial F}{\partial y_{x}}=0,</math><p align="right">(
čia <math>F=F(y,y_{x})</math>- energijos funkcionalo (
Įstačius į Oilerio-Lagranžo lygtį (
Galima padaryti truputi paprasčiau, jei pastebėti, kad funkcionalas (
:<math>H=\frac {\partial F}{\partial y_{x}} y_{x}-F=\frac{yy_{x}^2}{\sqrt{(1+y_x^2 )}}-y\sqrt{(1+y_x^2 )}=\frac{a_1}{g\, \rho\, S}\equiv a= const ,</math><p align="right">(
yra pastovus, nepriklausantis nuo <math>x</math>. Iš (
:<math>y_x=\pm\sqrt{\left(\frac{y}{a}\right)^2-1}, </math> ir <math>y(x)=a\cosh\left(\frac{x-c}{a}\right),</math><p align="right">(
t.y. pastovaus nario <math>c</math>, arba poslinkio tikslumu, GL forma yra hiperbolinis kosinusas <math>y= a\cosh\frac{x}{a}</math>.
| |||