Grandininė linija: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Nėra keitimo santraukos |
Nėra keitimo santraukos |
||
Eilutė 5:
Lygtis Dekarto koordinatėse:
Taškas (0,<math>
Matematinės GL savybės pirmą kartą ištyrė [[Robert Hooke]] (1670), o jos matematinę lygtį, praktiškai vienu metu, išvedė [[Gotfridas Leibnicas]], [[Christiaan Huygens]] ir [[Johannu Bernoulli]] 1691-iais.
[[Vaizdas:Kette Kettenkurve Catenary 2008 PD.JPG|thumb|180px|right|Kabanti grandinė linija.]]
Eilutė 15:
[[Vaizdas:SpiderCatenary.jpg|thumb|180px|right|Voratinklis, tai kelios elastines grandininės linijos.]]
== Grandininės linijos savybės ==
* Lanko ilgis skaičiuojant nuo taško <math>x=0:l= \frac{1}{2}\left(e^\frac{x}{a} + e^{-\frac{x}{a}}\right)=a\sinh\left(\frac{x}{a}\right).</math>▼
*
*
* Kreivumo spindulys: <math>r = \frac{(1+y'^2)}{y''}= a \cosh^2\left(\frac{x}{a}\right)=\frac{y^2}{a}.\,</math>
* Normalės ilgis: <math>n =\sqrt{1+y'^2} =a \cosh^2\left(\frac{x}{a}\right)=\frac{y^2}{a},</math> t.y., bet kokiam GL taškui, kreivumo spindulys yra lygus normalės ilgiui.
* Plotas, apribotas GL lanko, dviem ordinatėmis <math>x_{1}</math> ir <math>x_{2}</math> ir <math>x</math> ašimi:
: <math>S = a\sqrt{y_{2}^2-a^2}-a\sqrt{y_{1}^2-a^2}-a^2\sinh\frac{x_{2}}{a}-a^2\sinh\frac{x_{1}}{a}
* Parametrinė GL lygties forma:
: <math>x(s) = a \operatorname{arcsinh}\left(\frac{s}{a}\right),\,</math>
eilutė 29 ⟶ 30:
* Naturali GL lygtis: <math>r=\left(a+\frac{l^2}{a}\right),\,</math>
* X-ašimi riedančios parabolės židinys x-y plokštumoje brėžia GL. Arba x-ašimi riedančios GL taškas x-y plokštumoje brėžia parabolę.
* Y koordinatė ir lanko ilgis <math>l</math> susieti formule: <math>y^2=l^2+a^2</math>
* GL yra [[traktrisės]] (angl. traktrix) evoliutė.
* GL evoliutės parametrinė lygtis yra
▲
* GL sukimosi paviršius yra katenoidas, kuris priklauso minimalių paviršių šeimai.
== Lygties išvedimas ==
===Energijos minimumo principas===
Begalo mažos masės <math>dm</math> GL elemento potencinė energija homogeniniame gravitaciniame lauke:
: <math>dE = g\, y\, dm,</math>(1)
čia <math>g</math>- laisvojo kritimo pagreitis <math>(g\approx 9,81 \frac{m}{s^2} )</math>, <math>y=y(x)</math> - GL element aukštis virš “žemės”(lygio, kuriame potencinė energija laikoma lygi nuliui). Jei grandinė vienalytė, tai
: <math>dm = \rho\, S\, dl,</math>(2)
čia <math>\rho</math>- GL tankis, <math>S</math>- skerspjuvio plotas, <math>dl=\sqrt{(1+y_x^2 )} dx</math> - GL element ilgis.
Visos GL potencinė energija yra
:<math>E=g\rho\, S \int\limits_{-\frac{h}{2}}^\frac{h}{2} y\sqrt{(1+y_x^2 )}\,dx </math>.(3)
Pareikalaukime, kad kabančios GL forma būtų tokia, kad ji turėtų mažiausią potencinę energiją. Tai reiškia, kad energijos funkcionalas (3) turi minimalią reikšmę tarp visų glotnių kreivių su fiksuotomis kraštinėmis sąlygomis. T.y. variacinė funkcionalo <math>E[y]</math> išvestinė <math>\frac{\delta E}{\delta y}=0 </math> (žr. pvz. [Elsgolc ir kt.]):
:<math>\frac {\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac {\partial F}{\partial y_{x}}=0,</math>(4)
čia <math>F=F(y,y_{x})</math>- energijos funkcionalo (3) tankis.
Įstačius į Oilerio-Lagranžo lygtį (4) funkcionalo tankį (3) gausime antros eilės paprastą netiesinę dif. lygtį, kurią išsprendus, gausime funkciją <math>y(x)</math>- GL formą.
Galima padaryti truputi paprasčiau, jei pastebėti, kad funkcionalas (3) nepriklauso nuo nepriklausomojo kintamojo <math>x</math> išreikštoje formoje. Tai reiškia, kad tokiam funkcionalui dydis
:<math>H=\frac {\partial F}{\partial y_{x}} y_{x}-F=\frac{yy_{x}^2}{\sqrt{(1+y_x^2 )}}-y\sqrt{(1+y_x^2 )}=\frac{a_1}{g\, \rho\, S}\equiv a= const ,</math>(5)
yra pastovus, nepriklausantis nuo <math>x</math>. Iš (5) seka:
:<math>y_x=\pm\sqrt{\left(\frac{y}{a}\right)^2-1}, </math> ir <math>y(x)=a\cosh\left(\frac{x-c}{a}\right),</math>(6)
t.y. pastovaus nario <math>c</math>, arba poslinkio tikslumu, GL forma yra hiperbolinis kosinusas <math>y= a\cosh\frac{x}{a}</math>.
===Statikos dėsniai===
[[Vaizdas:GL1.2.png|thumb|Grandininės linijos elementas ir į jį veikiančios jėgos.]]
Galimas ir kitoks GL formos išvedimas, kuris remiasi statikos dėsniais ir fizinių jėgų savybėmis.
Norėdami gauti GL lygtį, y-ašimi laikysime kreivės simetrijos ašį, o atstumą <math>OA</math> nuo GL viršūnės iki x-ašies pasitikslinsime vėliau.
Visoje GL pasirenkime jos dalį: atkarpą <math>AM</math> nuo GL viršūnės <math>A </math> iki taško <math>M(x,y)</math>. Kadangi grandinė nejuda, tai lanką <math>AM</math> galima laikyti kietu kūnu, kuris veikiamas trijų jėgų: taške <math>A </math> –
Suprojektavę jėgą <math>\overrightarrow{T}</math> x ir y-ašimi, turėsime:
eilutė 41 ⟶ 74:
Žinodami, kad grandinė yra pusiausvyros padėtyje, pritaikykime jos atkarpai <math>AM </math> I Niutono dėsnį:
<math>\sum^{n}_{i=1}
Iš kurio seka, kad:
| |||