11:57, 21 kovo 2016 versija taisyti JulianaSergejenia (aptarimas \| indėlis) 18 keitimai Nėra keitimo santraukos ← Prieš tai darytas keitimas		19:55, 21 kovo 2016 versija taisyti anuliuoti Nestea (aptarimas \| indėlis) 50 492 keitimai Nėra keitimo santraukos Kitas pakeitimas →
Eilutė 1: [[~~Image~~Vaizdas:Catenary-pm.png\|thumb\|350px\|right\| Garandininė linija su skirtingomis <math>a</math> reikšmėmis]] {{gramatika}} '''Grandininė linija''' (GL) – plokščia, transcendentinė kreivė, kurios formą homogeniniame gravitaciniame lauke įgauna lanksti, netąsi, vienalytė sunki [[grandinė]] su įtvirtintais galais. Angl. k. GL yra ''catenary curve'', - – pavadinimas kilęs iš lotyniško žodžio „catena“ – grandinė. Lygtis Dekarto koordinatėse: : <math>y = a \, \cosh \left(\frac{x}{a}\right) = \frac{a\left(e^\frac{x}{a} + e^{-\frac{x}{a}}\right)}{2}</math> Taškas (0,<math>a</math>) – vadinamas viršūne. Matematinės GL savybės pirmą kartą ištyrė [[Robert Hooke]] (1670) , o jos matematinę lygtį, praktiškai vienu metu, išvedė [[Gotfridas Leibnicas]], [[Christiaan Huygens]] ir [[Johannu Bernoulli]] 1691-iais. Grandininė linija ir su ja susijusios kreivės yra naudojamos architektūroje ir inžinerijoje, tiltų ir arkų dizainuose. [[~~File~~Vaizdas:Kette Kettenkurve Catenary 2008 PD.JPG\|thumb\|180px\|right\|Kabanti grandinė ~~liniją~~linija.]] [[~~File~~Vaizdas:PylonsSunset-5982.jpg\|thumb\|180px\|right\|Laisvai kabantys elektros maitinimo laidai (ypač tie, kurie naudojami elektrifikuotiems geležinkeliams), taip pat sudaro GL.]] [[~~File~~Vaizdas:SpiderCatenary.jpg\|thumb\|180px\|right\|Voratinklis, tai kelios elastines grandininės linijos.]] * Diferencialinė GL lygtis: <math>y'' = \frac{1}{a}\sqrt{1+y'^2}.\,</math> Jos sprendinys yra hiperbolinio kosinuso funkcija. * Lanko ilgis skaičiuojant nuo taško <math>x=0:l= \frac{1}{2}\left(e^\frac{x}{a} + e^{-\frac{x}{a}}\right)=a\sinh\left(\frac{x}{a}\right).</math> * Kreivumo spindulys: <math>r = a \cosh^2\left(\frac{x}{a}\right).\,</math> * Normalės ilgis: <math>n = \frac{a}{cosh\left(\frac{x}{a}\right)}.\,</math> T.y., bet kokiam GL taškui, kreivumo spindulys yra lygus normalės ilgiui * Plotas, apribotas GL lanko, dviem ordinatėmis <math>x_{1}</math> ir <math>x_{2}</math> ir <math>x</math> ašimi: : <math>S = a\sqrt{y_{2}^2-a^2}-a\sqrt{y_{1}^2-a^2}-a^2\sinh\frac{x_{2}}{a}-a^2\sinh\frac{x_{1}}{a}.\,</math> * Parametrinė GL lygties forma: : <math>x(s) = a \operatorname{arcsinh}\left(\frac{s}{a}\right),\,</math> : <math>y(s) = \sqrt{a^2+s^2}.\,</math> * Polinėse koordinatėse lygtis atrodo taip: : <math>\frac{r}{a}\sin\varphi-\cosh(\frac{r}{a}\cos\varphi)= 0.\,</math> * Naturali GL lygtis: <math>r=\left(a+\frac{l^2}{a}\right),\,</math> * X-ašimi riedančios parabolės židinys x-y plokštumoje brėžia GL. Arba x-ašimi riedančios GL taškas x-y plokštumoje brėžia parabolę. * GL yra [[traktrisės]] (angl. traktrix) evoliutė. * GL sukimosi paviršius yra katenoidas, kuris priklauso minimalių paviršių šeimai. == Lygties išvedimas == [[~~File~~Vaizdas:GL1.2.png\|thumb\|Grandininės linijos elementas ir į jį veikiančios jėgos.]] Norėdami gauti GL lygtį, y-ašimi laikysime kreivės simetrijos ašį, o atstumą <math>OA</math> nuo GL viršūnės iki x-ašies pasitikslinsime vėliau. Visoje GL pasirenkime jos dalį: atkarpą <math>AM</math> nuo GL viršūnės <math>A </math> iki taško <math>M(x,y)</math>. Kadangi grandinė nejuda, tai lanką <math>AM</math> galima laikyti kietu kūnu, kuris veikiamas trijų jėgų: taške <math>A </math> - – siūlo įtempimo jėgos <math>\overrightarrow{T_{0}}</math>, nukreiptos liečiamąją <math>AC </math>, taške <math>M</math> - – grandinės įtempimo jėgos <math>\overrightarrow{T}</math>, nukreiptos liečiamąją taške <math>M</math>, ir grandinės masės centre - – jėgos <math>\overrightarrow{P}</math>, kuri lygi grandinės atkarpos <math>AM</math> svoriui. Jei lanko ilgį <math>AM</math> pažymėt <math>L</math>, o jos linijinį tankį - – <math>\rho</math>, tai <math>P=\left \|\overrightarrow{P}\right\|=\rho L </math> . Suprojektavę jėgą <math>\overrightarrow{T}</math> x ir y-ašimi, turėsime: <math> \left\{ \begin{matrix} T_y = T\sin\alpha ,\\ T_x = T\cos\alpha.\end{matrix} \right. </math> Žinodami, kad grandinė yra pusiausvyros padėtyje, pritaikykime jos atkarpai <math>AM </math> I Niutono dėsnį: eilutė 54 ⟶ 53: <math>\tan\alpha=\frac{\rho L}{T_0}</math> Pakeitus <math>\tan\alpha\rightarrow\frac {\partial y}{\partial x}</math> ir žymint <math>\frac{T_0}{\rho}\rightarrow\alpha</math> , turėsime: <math>L=\alpha\frac {\partial y}{\partial x}</math> Ši lygtis leidžia apibrėžti GL, kaip geometrinę kreivę, kurios lanko ilgis, apskaičiuotas nuo viršūnės iki bet kokio taško, yra proporcingas liestinės kampiniam koeficientui, nubrėžtam lanko pabaigoje. Atkreipsime dėmesį į svarbią GL savybę: parametro <math>a</math> reikšmė tiesiogiai proporcinga GL įtempimui <math>T_{0}</math> jos viršūnėje. Diferencijuodami lygtį pagal x, gausime: eilutė 66 ⟶ 65: Pažymėkime <math>\frac {dy}{dx}\equiv\rho</math> , tada <math>\frac {d^2 y}{dx^2}=\frac {d\rho}{dx}</math> , ir vietoj šios lygties gauname <math>\frac {d\rho}{dx}=\frac{1}{a}\sqrt{1+\left (\frac {dy}{dx}\right )^2}</math> . Integruodami šią lygtį, turėsime: <math>\ln\left(\rho+\sqrt{1+\rho^2}\right)=\frac{x}{a}+C</math>. Bet koordinačių sistema parinkta taip, kad kai <math>x=0</math>, tai <math>\rho=0</math>, todėl integravimo konstanta <math>C=0</math>. Iš to gauname:<math>\rho+\sqrt{1+\rho^2}=e^\frac{x}{a}</math>, iš kur <math>\rho=\frac{1}{2}\left(e^\frac{x}{a}-e^{-\frac{x}{a}}\right)</math>. Panaudojus dydžio <math>\rho</math> žymėjimu, ir vėl suintegravus, gausime: <math>y(x)=\frac{a}{2}\left( e^\frac{x}{a}+e^{-\frac{x}{a}}\right)+C_1</math>. Pasinaudojame teise priskirti atkarpos <math>OA</math> vertę: tegu <math>OA=a</math>; tuo mes įvedame pradinę sąlygą <math>y(0)=a</math>, o tai reiškia, kad <math>C_1=0</math>. Taigi, GL lygtį galima užrašyti taip: <math>y=\frac{a}{2}\left( e^\frac{x}{a}+e^{-\frac{x}{a}}\right)=a\cosh\frac{x}{a}</math>. == Istorija == [[~~File~~Vaizdas:Actaleibniz.jpg\|thumb\|Leibnico sprendimas yra kairėje pusėje. Huygenso - – iliustracija yra dešinėje. Huntington biblioteka, San Marinas, Kalifornijoja.]] Dažnai sakoma <ref name="Lockwood124">[[#Lockwood\|Lockwood]] p. 124</ref>, kad Galilejus manė, kad kabančios grandinės kreivė buvo parabolinė. Savo darbe ~~"Du~~ „Du nauji ~~mokslai"~~mokslai“ (1638), Galilejus sako, kad kabantis laidas apytiksliai yra parabolė, ir jis teisingai pastebi, kad šios aproksimacijos mažesnis iškrypimas gaunamas ir beveik yra tikslus, kai vertikalioji projekcija yra mažesnė nei 45 °. Tai kad grandinėje linija nėra parabolė buvo įrodyta [[Joachimu Jungiusu]] (~~1587-1657~~1587–1657) ; šis rezultatas buvo paskelbtas po jo mirties 1669 metais <ref name="Lockwood124">[[#Lockwood\|Lockwood]] p. 124</ref>. Grandininės linijos naudojimas arkų statybai yra priskirtas Robertui Huko, kuris savo darbe ~~"Teisinga~~„Teisinga matematinė ir mechaninė ~~forma"~~forma“, Šv Pauliaus katedros atkūrime užsiminė grandininę liniją. Kai kurios daug vyresnės arkos aproksimuoja grandininę liniją, pavyzdžiui ][[Taq Kasra\|Taki - – Kisroje]] (angl. Taq Kasra) arka [[Ktesifonas\|Ktesifone]] (angl. Ctesiphon) (Irakas). 1671, Huko proklamavo Karališkai draugijai, kad jis išsprendė optimalios formos arkos problemą, ir 1675 paskelbė šifruotą sprendimą Lotynų Anagrama jo darbo ~~"Helioskopo~~„Helioskopo ~~aprašymas"~~aprašymas“ priedėlyje, kur jis rašė, kad rado ~~"tikrą~~„tikrą matematinę ir mechaninę formą visų arkų ~~statybai"~~statybai“. Jis nepaskelbė šios anagramos sprendimo, tačiau 1705 jo vykdytojas pareiškė, ~~"Ut~~„Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum ~~inversum"~~ inversum“, reiškiančio "Kaip kaba lankstus kabelis, taip apverstos stovi arkos. " <ref>{{cite web\|url=http://www.lindahall.org/events_exhib/exhibit/exhibits/civil/design.shtml \|title=Arch Design \|publisher=Lindahall.org \|date=2002-10-28 \|accessdate=2010-11-17}}</ref> 1691 Leibnicas, Christiaan Huygensas, Johann Bernoulli atsakydami į Jakobo Bernoulli iššūkį išvedė lygt<ref name="Lockwood124">[[#Lockwood\|Lockwood]] p. 124</ref>. 1697 metais Davidas Gregory parašė traktatą apie grandininę liniją<ref name="Lockwood124">[[#Lockwood\|Lockwood]] p. 124</ref>. 1744 metais Oileris įrodė, kad sukama apie x ašį grandininė linija, sudaro minimalaus ploto paviršių (katenoidas). 1796 metais Nicolas Fuss išvedė lygtis, apibūdinančias grandinės pusiausvyrą veikiant bet kokiai jėgai <ref>Following [[#Routh\|Routh]] Art. 443 p. 316</ref>. [[~~File~~Vaizdas:Budapest Keleti teto 1.jpg\|thumb~~\|left~~\|Keleti Geležinkelio stoties (Budapeštas, Vengrija). GL Pirsono [[koreliacija\|koreliacijos]] koeficientas yra lygus <math>r_1 = 0.,999528</math>, parabolės atveju <math>r_2 = 0.,9999</math>. Parabolės Pirsono koreliacijos koeficientas yra didesnis, reiškia stotis yra parabolės formos.]]▼ [[File:Gateway Arch.jpg\|thumb\|Sent Luiso Vartai]]▼ [[File:LaPedreraParabola.jpg\|thumb\|Gaudi Casa Mila, Barselona, Ispanija]]▼ ▲[[File:Budapest Keleti teto 1.jpg\|thumb\|left\|Keleti Geležinkelio stoties (Budapeštas, Vengrija).GL Pirsono [[koreliacija\|koreliacijos]] koeficientas yra lygus <math>r_1 = 0.999528</math>, parabolės atveju <math>r_2 = 0.9999</math>. Parabolės Pirsono koreliacijos koeficientas yra didesnis, reiškia stotis yra parabolės formos.]] == Trumpa istorinė apžvalga ==▼ * Leonardo da Vinci užrašų knygelėje yra kabančių grandinių eskizai ▼ * Galilejus supainiojo kreivę su parabolė. ▼ * Simonas Stevin suformulavo problemas, susijusias su kabančių lynų.▼ * René Descartes spėliojo remdamasi Isaaco Beeckmano laiškais:▼ <center>" laidas ~~...~~… fiksuotas vinimis ~~...~~… gali apibūdinti dalį kūgio pjuvio " </center>▼ * Jungius paneigia kad kreivė yra parabolė (1669).▼ * Huygensas , Leibnicas ir Jonas Bernulis - – visi atsakė į Jacobo Bernulio iššūkį išspausdinta „Acta ~~"Acta Eruditorum"~~ Eruditorum“: rasti grandininės linijos kreivės lygtį (~~1690-1691~~1690–1691). ▼ * Davidas Gregory parašė traktatą apie grandininę liniją (1697).▼ * Huygensas įrodė Mersenne kad kabanti grandinė nėra parabolė.▼ * Vėliau, Leonhard Euler parodė, kad sukamoji grandininė linija sukuria minimalų paviršių. <ref>{{cite web\|url=http://curvebank.calstatela.edu/catenary/catenary.htm \|title=Catenary \|publisher=curvebank.org \|date=2016-02-25 \|accessdate=2016-02-25 }}</ref>▼ == Apverstos grandininės linijos ==▼ ▲==Trumpa istorinė apžvalga== ▲Leonardo da Vinci užrašų knygelėje yra kabančių grandinių eskizai ▲Galilejus supainiojo kreivę su parabolė. ▲Simonas Stevin suformulavo problemas, susijusias su kabančių lynų. ▲René Descartes spėliojo remdamasi Isaaco Beeckmano laiškais: ▲<center>" laidas ... fiksuotas vinimis ... gali apibūdinti dalį kūgio pjuvio " </center> ▲Jungius paneigia kad kreivė yra parabolė (1669). ▲Huygensas , Leibnicas ir Jonas Bernulis - visi atsakė į Jacobo Bernulio iššūkį išspausdinta "Acta Eruditorum" : rasti grandininės linijos kreivės lygtį (1690-1691). ▲Davidas Gregory parašė traktatą apie grandininę liniją (1697). ▲Huygensas įrodė Mersenne kad kabanti grandinė nėra parabolė. ▲Vėliau, Leonhard Euler parodė, kad sukamoji grandininė linija sukuria minimalų paviršių. <ref>{{cite web\|url=http://curvebank.calstatela.edu/catenary/catenary.htm \|title=Catenary \|publisher=curvebank.org \|date=2016-02-25 \|accessdate=2016-02-25 }}</ref> Grandininių linijų arkos dažnai naudojamos krosnių statyboje. ▲==Apverstos grandininės linijos== Kartais sakom <ref>{{Citation \| last1=Osserman \| first1=Robert \| title=Mathematics of the Gateway Arch \| url=http://www.ams.org/notices/201002/index.html \| year=2010 \| journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] \| issn=0002-9920 \| volume=57 \| issue=2 \| pages=220–229}}</ref>, kad Sent Luiso Vartai (Misūris, JAV) yra (apversta) grandininė linija, bet tai yra netiesa. Ji yra arčiau bendresnės kreivės vadinamos suplota GL, su lygtimi <math>y=A \cosh (B x)</math>, kuri yra GL, jei <math> A,B = 1</math>. Grandininė linija yra idealios formos, o Sent Luiso Vartų arka yra siauresnė viršuje.▼ == Grandininių linijų ~~arkos dažnai naudojamos krosnių statyboje.~~tiltai == ▲Kartais sakom <ref>{{Citation \| last1=Osserman \| first1=Robert \| title=Mathematics of the Gateway Arch \| url=http://www.ams.org/notices/201002/index.html \| year=2010 \| journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] \| issn=0002-9920 \| volume=57 \| issue=2 \| pages=220–229}}</ref>, kad Sent Luiso Vartai (Misūris, JAV) yra (apversta) grandininė linija, bet tai yra netiesa. Ji yra arčiau bendresnės kreivės vadinamos suplota GL, su lygtimi <math>y=A \cosh (B x)</math>, kuri yra GL, jei <math> A,B = 1</math>. Grandininė linija yra idealios formos,o Sent Luiso Vartų arka yra siauresnė viršuje. Laisvai kabančiuose grandinėse, veikianti formą jėga, priklauso nuo grandinės ilgio. Tą patį galima pasakyti apie laisvai kabančius tiltus arba ~~"Grandininius~~„Grandininius ~~tiltus"~~tiltus“, kur kelias atkartoja kabantį kabelį.<ref>{{cite book\| author = Leonardo Fernández Troyano\| title = Bridge Engineering: A Global Perspective\| url = http://books.google.com/?id=0u5G8E3uPUAC&pg=PA514\| year = 2003\| publisher = Thomas Telford\| isbn = 978-0-7277-3215-6\| page = 514 }}</ref><ref>{{cite book\| author = W. Trinks\|author2=M. H. Mawhinney\|author3=R. A. Shannon\|author4=R. J. Reed\|author5=J. R. Garvey\| title = Industrial Furnaces\| url = http://books.google.com/?id=EqRTAAAAMAAJ&pg=PA132\| date = 2003-12-05\| publisher = Wiley\| isbn = 978-0-471-38706-0\| page = 132 }}</ref>▼ [[Vaizdas:Inkunutiltas.jpg\|miniatiūra\|left\|250px\|Beždžionių tiltas Šventojoje ]]▼ Tačiau kabančiame tilte su pakabinamu keliu tilto svorį remia grandinės arba kabeliai, todėl tokie tiltai nėra laisvai pakabinti. Daugeliu atvejų važiuojamoji dalis yra plati, todėl, kai kabelio svoris palyginus su paramos svoriu yra nedidelis, susijusios su horizontaliu atstumu jėgos yra vienodos, o rezultatas yra parabolė. Jei kabelis yra sunkus tada atsiranda kreivė, kuri yra yra tarp grandininės linijos ir parabolės.▼ [[File:Vingio parko tiltas1.JPG\|thumb\|left\|Pėsčiųjų tiltas Vingio parke Vilniuje]]▼ == Nuotraukų galerija == ~~==Grandininių linijų tiltai==~~ <gallery> ▲~~[[File:~~Gateway Arch.jpg~~\|thumb~~\|Sent Luiso Vartai]] [[File:Soderskar-bridge.jpg\|thumb\|Paprastas kabantis tiltas,pastorintas kabelis ir grandininės linijos kreivė.]]▼ ▲~~[[File:~~LaPedreraParabola.jpg~~\|thumb~~\|Gaudi Casa Mila, Barselona, Ispanija]] ▲~~[[Vaizdas:~~Inkunutiltas.jpg~~\|miniatiūra\|left\|250px~~\|Beždžionių tiltas Šventojoje ]] ▲Laisvai kabančiuose grandinėse, veikianti formą jėga, priklauso nuo grandinės ilgio. Tą patį galima pasakyti apie laisvai kabančius tiltus arba "Grandininius tiltus", kur kelias atkartoja kabantį kabelį.<ref>{{cite book\| author = Leonardo Fernández Troyano\| title = Bridge Engineering: A Global Perspective\| url = http://books.google.com/?id=0u5G8E3uPUAC&pg=PA514\| year = 2003\| publisher = Thomas Telford\| isbn = 978-0-7277-3215-6\| page = 514 }}</ref><ref>{{cite book\| author = W. Trinks\|author2=M. H. Mawhinney\|author3=R. A. Shannon\|author4=R. J. Reed\|author5=J. R. Garvey\| title = Industrial Furnaces\| url = http://books.google.com/?id=EqRTAAAAMAAJ&pg=PA132\| date = 2003-12-05\| publisher = Wiley\| isbn = 978-0-471-38706-0\| page = 132 }}</ref> ▲~~[[File:~~Vingio parko tiltas1.JPG~~\|thumb\|left~~\|Pėsčiųjų tiltas Vingio parke Vilniuje]] ▲Tačiau kabančiame tilte su pakabinamu keliu tilto svorį remia grandinės arba kabeliai, todėl tokie tiltai nėra laisvai pakabinti. Daugeliu atvejų važiuojamoji dalis yra plati, todėl, kai kabelio svoris palyginus su paramos svoriu yra nedidelis, susijusios su horizontaliu atstumu jėgos yra vienodos, o rezultatas yra parabolė. Jei kabelis yra sunkus tada atsiranda kreivė, kuri yra yra tarp grandininės linijos ir parabolės. ▲~~[[File:~~Soderskar-bridge.jpg~~\|thumb~~\|Paprastas kabantis tiltas, pastorintas kabelis ir grandininės linijos kreivė~~.]]~~ </gallery> == Išnašos == {{Išnašos}} ==~~Nuorodos~~ Šaltiniai == {{cite book \|title=A Book of Curves\|first=E.H.\|last=Lockwood\|publisher=Cambridge\|year=1961 \|chapter=Chapter 13: The Tractrix and Catenary\|url=http://www.archive.org/details/bookofcurves006299mbp}} eilutė 123 ⟶ 125: }} * {{cite book\| last = Routh\| first = Edward John\| authorlink = Edward Routh\| title = A Treatise on Analytical Statics\| url = http://books.google.com/?id=3N5JAAAAMAAJ&pg=PA315\| year = 1891\| publisher = University Press\| chapter = Chapter X: On Strings }} * Weisstein, Eric W., ~~"Catenary"~~„Catenary“, MathWorld [[Kategorija:Kreivės]]

Grandininė linija: Skirtumas tarp puslapio versijų