Tolygusis briaunainis: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Sukurta verčiant puslapį „Uniform polyhedron“ |
→Tolygusis briaunainis: iš en.wikipedia |
||
Eilutė 1:
[[File:Tetrahedron.svg|150px|thumb|[[Platono kūnas]]: [[Tetraedras]]]]
[[File:Snub dodecadodecahedron.png|150px|thumb|Tolygusis žvaigždinis briaunainis: Nusklembtas dodekadodekaedras]]
'''Tolygusis briaunainis''' yra toks [[briaunainis]], kurio sienos yra taisyklingieji [[daugiakampis|daugiakampiai]] ir kurio viršūnės yra tranzityvios (t. y. viršūnių kampai yra lygūs, taigi briaunainiai yra [[izogonas|izogonai]]). Taigi šių briaunainių visos viršūnės yra tolygios (tapačios), o pats briaunainis pasižymi didelio laipsnio atspindėjimo ir sukimo [[simetrija]].
'''Tolygieji briaunainiai''' gali būti [[taisyklingasis briaunainis|taisyklingi]] (jei be viršūnių, dar yra tranzityvios sienos ir briaunos), [[kvazitaisyklingasis briaunainis|kvazitaisyklingi]] (jei be viršūnių, dar yra tranzityvios briaunos, bet sienos netranzityvios) ir [[pustaisyklingis briaunainis|pustaisyklingiai]] (jei tranzityvios vien viršūnės, o sienos ir briaunos netranzityvios). Šių briaunianių sienos ir viršūnės gali būti ir neiškilos, tad daug tolygiųjų briaunainių yra [[žvaigždinis briaunainis|žvaigždiniai]].
Atmetus begalines prizminių briaunainių klases, suskaičiuosime 75 tolygiuosius briaunainius (arba 76, jei įskaičiuosime ''Skilingo figūrą'').
* Iškilieji:
** 5 [[Platono kūnas|Platono kūnai]] – taisyklingieji iškili briaunainiai;
** 13 [[Archimedo kūnas|Archimedo kūnų]] – 2 [[kvazitaisyklingasis briaunainis|kvazitaisyklingieji]] ir 11 [[pustaisyklingis briaunainis|pustaisyklingių]] iškilių briaunainių.
* Žvaigždiniai:
** 4 [[Keplerio-Puanso kūnas|Keplerio-Puanso kūnai]] – taisyklingi neiškili briaunainiai;
** 53 tolygūs žvaigždiniai braiunainiai – 5 [[kvazitaisyklingasis briaunainis#Neiškili pavyzdžiai|kvazitaisyklingieji]] ir 48 pustaisyklingiai;
** 1 žvaigždinis briaunainis, turintis sutampančių briaunų poras, geometriškai vadinamas ''didžiuoju dinusklembtu dirombiniu dodekaedru'', kurį atrado ''Džonas Skilingas'' (John Skilling), todėl neretai jis svadinamas tiesiog ''Skilingo figūra''.
Greta šios suskaičiuojamos aibės dar yra dvi begalinės briaunainių klasės – [[Prizminis tolygusis briaunainis|prizmės ir antiprizmės]], apimančios prizmines iškilas ir žvaigždines formas.
Tolygiųjų briaunainių [[dualus briaunainis|dualai]] turi tranzityvias sienas (yra izoedrai) ir jų viršūnės planas yra taisyklingas daugiakampis. Įprastai klasifikuojant, dualūs briaunainiai gretinami su jų pirminiais tolygiaisiais briaunainiais. Taisyklingųjų briaunainių dualai taip pat yra [[Platono kūnas#Simetrijos grupės|taisyklingieji]], o Archimedo kūnų – [[Katalano kūnas#Simetrija|Katalano kūnai]].
Tolygieji briaunainiai yra atskiras trimatis tolygiųjų [[politopas|politopų]] atvejis. Tolygiųjų politopų teorija apibendrina tolygiąsias figūras ne vien trimatei bet ir kitų matavimų erdvėms: tiek aukštesnio matavimo (keturmatei ir aukštesnei), tiek žemesnėms (dvimatei, vienmatei ir pan.). Trimačių tolygiųjų briaunainių nagrinėjimas leidžia akivaizdžiai pažvelgti į tolygiųjų politopų savybes žmogui lengvai suvokiamoje trimatėje erdvėje.
==Istorija==
* [[Platono kūnas|Platono kūnai]] buvo studijuojami dar [[Senovės Graikijos istorija|Senovės Graikijoje]], kur jais domėjosi filosofas [[Platonas]], matematikai ''Teatetas'' (Theaetetus) ir [[Euklidas]].
*[[Johannes Kepler|Johanas Kepleris]] (1571–1630) pirmas paskelbė išsamų [[Archimedo kūnas|Archimedo kūnų]] sąrašą, nors pradinis Archimedo veikalas buvo jau prarastas.
'''Taisyklingieji žvaigždiniai briaunainiai:'''
* [[Johannes Kepler|Kepleris]] 1619 metais atrado du [[Keplerio-Puanso kūnas|Keplerio-Puanso briaunainius]], o prancūzų matematikas ''Lui Puanso'' (Louis Poinsot), 1809 metais, kitus du.
'''Kiti 53 netaisyklingieji žvaigždiniai briaunainiai:'''
* Iš likusių 53, 1878 metais ''Edmundas Hesas'' (Edmund Hess) atrado du briaunainius, 1881 metais ''Alberas Banduro'' (Albert Badoureau) atrado 36, o ''Pičas'' (Pitsch), tais pačiais 1881 metais, nepriklausomai atarado dar 18, iš kurių 15 buvo dar visiškai nežinomi.
* JAV geometras ''Haroldas Kokseteris'' (Harold Scott MacDonald Coxeter), bendradarbiaudamas su ''Džefriu Mileriu'' (Jeffrey Charles Percy Miller), 1930–1932 metais atrado likusius dvylika briaunainių, bet neskubėjo apie tai publikuoti, tad panašiai tuo pačiu metu broliai ''Maiklas'' ir ''Kristoferis Longet-Higinsai'' (Michael Selwyn Longuet-Higgins, Hugh Christopher Longuet-Higgins) nepriklausomai atrado 11 šių briaunainių.
* 1954 metais Kokseteris, broliai Longet-Higinsai ir Mileris bendrai publikavo tolygiųjų briaunainių sąrašą.<ref>Coxeter,Longuet-Higgins,Miller (Harvard, 1954)</ref>
* 1970 metais ''Sopovas''<ref>Sopov (Harvard, 1970)</ref> įrodė, kad jų sąrašas yra išsamus.
* 1974 metais ''Magnusas Veningeris'' (Magnus Wenninger) publikavo veikalą ''Polyhedron models'' (Briaunainių modeliai), kuriame pavaizduoti visi 75 neprizminiai tolygieji briaunainiai ir pateikti matematiko ''Normano Džonsono'' (Norman Johnson) suteikti pavadinimai, kurie, daugelio jų, nebuvo anksčiau skelbti.
* 1975 metais ''Dž. Skilingas'' (John Skilling) nepriklausomai dar kartą įrodė, kad Kokseterio ir kitų sąrašas yra išsamus, o jei būtų leista tolygiesiems briaunainiams priskirti figūrą, kurios kelios briaunos sutampa, tuomet reikėtų įtraukti dar vieną, ir tiktai vieną briaunainį, vėliau pavadintą ''Skilingo figūra''.<ref>Skilling (1975)</ref>
* 1987 metais ''Edmondas Bonanas'' (Edmond Bonan) nubraižė visų tolygiųjų briaunainių trimates projekcijas kompiuterio programa ([[pascal|turbo paskalio]] kalba parašyta programa '''Polyca''') – šie vaizdai buvo pristatyti Tarptautiniame steroskopijos kongrese (International Stereoscopic Union Congress, Eastbourne, UK).
* 1993 metais ''Zvi Har Elis'' (Zvi Har'El) sukūrė kompiuterinę programą '''Kaleido''', skirtą kaleidoskopiniam tolygiųjų briaunainių konstravimui ir aprašė ją straipsnyje ''Uniform Solution for Uniform Polyhedra'' (Vieningas sprendimas tolygiems briaunainiams). Jis figūras numeravo nuo 1 iki 80.
* Tais pačiais 1993 metais, ''R. Mėderis'' (R. Mäder) ''Kaleido'' programos sprendimui pritaikė kitokį figūrų indeksavimą ir viską perkėlė į ''Mathematica'' programinę aplinką.
* 2002 metais ''Peteris Meseris'' (Peter W. Messer) atrado minimalią aibę, apimančią uždaro pavidalo išraiškas, kuriomis galima išreikšti kombinatorinių ir metrinių bet kurio tolygiojo briaunainio (ir jo dualo) savybių kiekybinius parametrus, kai žinomas tik [[Vithofo simbolis]].<ref>[http://www.springerlink.com/content/me48wm7823jhdcpe/fulltext.pdf?page=1 Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals, Peter W. Messer, Discrete Comput Geom 27:353–375 (2002)]</ref>
== Tolygieji žvaigždiniai briaunainiai ==
Visi 57 neprizminiai neiškili briaunainiai gali būti sudaryti taikant [[Vithofo konstravimas|Vithofo konstravimo metodą]].
== Iškilos (nežvaigždinės) formos: Vithofo konstravimas ==
[[Vaizdas:Vythofo-konstrukciju-diagrama.png|400px|right]]
[[Vaizdas:Briaunainio-nupjovimo-pavyzdys.png|400px|right|Pavyzdys sukurtas iš [[kubas|kubo]] ir [[oktaedras|oktaedro]] tarpusavio virsmo]]
Iškili tolygieji briaunainiai yra vadinami pagal [[Vithofo konstravimas|Vithofo konstravimo veiksmo]] pavadinimą ir (arba) pagal sąsają su taisyklingąja forma. Žemiau pateikiami iškili tolygieji briaunainiai išdėstyti pagal Vithofo konstravimo veiksmą ir simetrijos grupę.
Vithofo konstravimo metu sukuriami pakartojimai, kuriuos atitinka žemesnės simetrijos atvejai. [[Kubas]] vienu metu yra ir [[taisyklingasis briaunainis]], ir kvadratinė [[prizmė]]. [[Oktaedras]] vienu metu yra ir taisyklingasis briaunainis, ir trikampė anti[[prizmė]]; be to, jis dar yra ''rektifikuotas [[tetraedras]]''. Daug briaunainių gali būti sukurti pakartotinai iš skirtingų Vithofo konstravimo taškų – tik tada jie yra kitaip nuspalvinami. (Kadangi Vithofo konstravimas vienodai tinkamas tiek tolygiems briaunainiams, tiek tolygiems klojiniams, tai lentelėje pateikiami abeji vaizdai. Sferiniai klojiniai apima ir vadinamuosius ''hosoedrus'' bei ''diedrus'', kurie yra netikrieji, „išsigimę“ briaunainiai.)
Vithofo konstravimo metu simetrijos grupės sukuriamos iš trimačio atspindžio taškų grupių, kurių kiekvieną atitinka fundamentinis trikampis (p q r), kur p>1, q>1, r>1 ir 1/p+1/q+1/r<1.
* [[Tetraedrinė simetrija]] (3 3 2) - eilė 24
* [[Oktaedrinė simetrija]] (4 3 2) - eilė 48
* [[Ikosaedrinė simetrija]] (5 3 2) - eilė 120
* [[Diedrinė simetrija]] (n 2 2), visiems n=3,4,5,... - eilė ''4n''
Likusios neatspindėjimo formos yra konstruojamos nupjaunant pakaitomis ({{en|alternation}}) sienų daugiakampius, turinčius lyginį kraštinių skaičių, kai nupjaunamas kas antras briaunanio sienos daugiakampio kampas.
Kartu su prizmėmis ir jų [[diedrinė simetrija|diedrine simetrija]], sferinio Vithofo konstravimo veiksmas prideda dvi ''taisyklingas'' klases, kurios yra „išsigimę“ briaunainiai – ''diedrai'' ir ''hosoedrai'', iš kurių pirmieji turi tik dvi sienas, o antrieji tik dvi viršūnes. Nupjaunant taisyklingąjį ''hosoedrą'' gauname prizmes.
Žemiau, iškili tolygieji briaunainiai, kurie nėra prizmės, pateikiami simetrinių formų tvarka ir indeksuojami nuo 1 iki 18. Pasikartojančios formos numeris apskliaustas laužtiniais skliaustais.
Begalinės prizminės formos indeksuojamos, paskirsčius jas į keturias šeimas:
# Hosoedrai H<sub>2...</sub> (Tik kaip sferiniai klojiniai)
# Diedrai D<sub>2...</sub> (Tik kaip sferiniai klojiniai)
# Prizmės P<sub>3...</sub> (Nupjautiniai hosoedrai)
# Antiprizmės A<sub>3...</sub> (Nusklembtos ({{en|snub}}) prizmės)
=== Apibendrinančios duomenų lentelės ===
{| class="wikitable" width=640
|- valign=top
![[Džonsono kūnas#Pavadinimai|Džonsono pavadinimai]]
!Pirminis
!Nupjautinis
!Rektifikuotas
!Binupjautinis<BR>(nupjautinis dualas)
!Birektifikuotas<BR>(dualas)
!Kanteliuotas
!Omninupjautinis<BR>(<small>Kantenupjautinis</small>)
!Nusklembtas<BR>({{en|snub}})
|-
!rowspan=3|Išplėstinis<BR>[[Šlėfli simbolis]]
!<math>\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}</math>
!<math>r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
!<math>s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
|-
!{p,q}
!t{p,q}
!r{p,q}
!2t{p,q}
!2r{p,q}
!rr{p,q}
!tr{p,q}
!sr{p,q}
|-
!t<sub>0</sub>{p,q}
!t<sub>0,1</sub>{p,q}
!t<sub>1</sub>{p,q}
!t<sub>1,2</sub>{p,q}
!t<sub>2</sub>{p,q}
!t<sub>0,2</sub>{p,q}
!t<sub>0,1,2</sub>{p,q}
!ht<sub>0,1,2</sub>{p,q}
|-
![[Vithofo simbolis]]<BR>(p q 2)
! q | p 2
! 2 q | p
! 2 | p q
! 2 p | q
! p | q 2
! p q | 2
! p q 2 |
! | p q 2
|- valign=top
![[Kokseterio diagram]]
!{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node}}<BR>{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}
!{{CDD|node|p|node|q|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}<BR>{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}<BR>{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}
!{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}<BR>{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}
|-
!Viršūnės planas
!p<sup>q</sup>
!(q.2p.2p)
!(p.q)<sup>2</sup>
!(p.2q.2q)
!q<sup>p</sup>
!(p.4.q.4)
!(4.2p.2q)
!(3.3.p.3.q)
|- align=center
|[[Tetraedrinė simetrija|Tetraedrinė]]<BR>(3 3 2)
|[[File:Uniform polyhedron-33-t0.png|64px]]<BR>[[Tetraedras|{3,3}]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-t01.png|64px]]<BR>[[Tetraedras#Nupjautinis tetraedras|(3.6.6)]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-t1.png|64px]]<BR>[[Oktaedras|(3.3.3.3)]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-t12.png|64px]]<BR>[[Tetraedras#Nupjautinis tetraedras|(3.6.6)]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-t2.png|64px]]<BR>[[Tetraedras|{3,3}]]
| [[File:Uniform polyhedron-33-t02.png|64px]]<BR>[[Kuboktaedras|(3.4.3.4)]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-t012.png|64px]]<BR>[[Oktaedras#Nupjautinis oktaedras|(4.6.6)]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-s012.svg|64px]]<BR>[[Ikosaedras|(3.3.3.3.3)]]
|- align=center
|[[Oktaedrinė simetrija|Oktaedrinė]]<BR>(4 3 2)
|[[File:Uniform polyhedron-43-t0.svg|64px]]<BR>[[Kubas|{4,3}]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t01.svg|64px]]<BR>[[Kubas#Nupjautinis kubas|(3.8.8)]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t1.svg|64px]]<BR>[[Kuboktaedras|(3.4.3.4)]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t12.svg|64px]]<BR>[[Oktaedras#Nupjautinis oktaedras|(4.6.6)]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t2.svg|64px]]<BR>[[Oktaedras|{3,4}]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t02.png|64px]]<BR>[[Kuboktaedras#Mažasis rombinis kuboktaedras|(3.4.4.4)]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t012.png|64px]]<BR>[[Kuboktaedras#Nupjautinis kuboktaedras|(4.6.8)]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-s012.png|64px]]<BR>[[Kubas#Nusklembtas kubas|(3.3.3.3.4)]]
|- align=center
|[[Ikosaedrinė simetrija|Ikosaedrinė]]<BR>(5 3 2)
|[[File:Uniform polyhedron-53-t0.png|64px]]<BR>[[Dodekaedras|{5,3}]]
|[[File:Uniform polyhedron-53-t01.png|64px]]<BR>[[Dodekaedras#Nupjautinis dodekaedras|(3.10.10)]]
|[[File:Uniform polyhedron-53-t1.png|64px]]<BR>[[Ikosidodekaedras|(3.5.3.5)]]
|[[File:Uniform polyhedron-53-t12.png|64px]]<BR>[[Nupjautinis ikosaedras|(5.6.6)]]
|[[File:Uniform polyhedron-53-t2.png|64px]]<BR>[[Ikosaedras|{3,5}]]
|[[File:Uniform polyhedron-53-t02.png|64px]]<BR>[[Dodekaedras#Rombinis ikosidodekaedras|(3.4.5.4)]]
|[[File:Uniform polyhedron-53-t012.png|64px]]<BR>[[Nupjautinis ikosidodekaedras|(4.6.10)]]
|[[File:Uniform polyhedron-53-s012.png|64px]]<BR>[[Dodekaedras#Nusklembtas dodekaedras|(3.3.3.3.5)]]
|}
Diedrinės simetrijos vaizdai:
{| class="wikitable"
|-
!(p 2 2)
!Pirminis
!Nupjautinis
!Rektifikuotas
!Binupjautinis<BR>(nupj. dualas)
!Birektifikuotas<BR>(dualas)
!Kanteliuotas
!Omninupjautinis<BR>(<small>Kantenupjautinis</small>)
!Nusklembtas<BR>({{en|snub}})
|-
!rowspan=3|Išplėstinis<BR>[[Šlėfli simbolis]]
!<math>\begin{Bmatrix} p , 2 \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} p , 2 \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} 2 , p \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} 2 , p \end{Bmatrix}</math>
!<math>r\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix}</math>
!<math>s\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix}</math>
|-
!{p,2}
!t{p,2}
!r{p,2}
!2t{p,2}
!2r{p,2}
!rr{p,2}
!tr{p,2}
!sr{p,2}
|-
!t<sub>0</sub>{p,2}
!t<sub>0,1</sub>{p,2}
!t<sub>1</sub>{p,2}
!t<sub>1,2</sub>{p,2}
!t<sub>2</sub>{p,2}
!t<sub>0,2</sub>{p,2}
!t<sub>0,1,2</sub>{p,2}
!ht<sub>0,1,2</sub>{p,2}
|-
![[Vithofo simbolis]]
! 2 | p 2
! 2 2 | p
! 2 | p 2
! 2 p | 2
! p | 2 2
! p 2 | 2
! p 2 2 |
! | p 2 2
|-
![[Kokseterio-Dinkino diagrama|Kokseterio-Dinkino<BR>diagrama]]
!{{CDD|node_1|p|node|2|node}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|2|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|2|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|2|node_1}}
!{{CDD|node|p|node|2|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node|2|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|2|node_1}}
!{{CDD|node_h|p|node_h|2x|node_h}}
|-
!Viršūnės planas
!p<sup>2</sup>
!(2.2p.2p)
!(p. 2.p. 2)
!(p. 4.4)
!2<sup>p</sup>
!(p. 4.2.4)
!(4.2p.4)
!(3.3.p. 3.2)
|- align=center
|[[Diedrinė simetrija|Diedrinė]]<BR>(2 2 2)
| [[File:Digonal dihedron.png|64px]]<BR>[[Diedras|{2,2}]]
| [[File:Tetragonal dihedron.png|64px]]<BR>2.4.4
| [[File:Digonal dihedron.png|64px]]<BR>2.2.2.2
| [[File:Tetragonal dihedron.png|64px]]<BR>4.4.2
| [[File:Digonal dihedron.png|64px]]<BR>[[Hosoedras|{2,2}]]
| [[File:Tetragonal dihedron.png|64px]]<BR>2.4.2.4
| [[File:Spherical square prism2.png|64px]]<BR>4.4.4
| [[File:Spherical digonal antiprism.png|64px]]<BR>3.3.3.2
|- align=center
|[[Diedrinė simetrija|Diedrinė]]<BR>(3 2 2)
| [[File:Trigonal dihedron.png|64px]]<BR>[[Diedras|{3,2}]]
| [[File:Hexagonal dihedron.png|64px]]<BR>2.6.6
| [[File:Trigonal dihedron.png|64px]]<BR>2.3.2.3
| [[File:Spherical triangular prism.png|64px]]<BR>4.4.3
| [[File:Spherical trigonal hosohedron.png|64px]]<BR>[[Hosoedras|{2,3}]]
| [[File:Spherical triangular prism.png|64px]]<BR>2.4.3.4
| [[File:Spherical hexagonal prism2.png|64px]]<BR>4.4.6
| [[File:Spherical trigonal antiprism.png|64px]]<BR>3.3.3.3
|- align=center
|[[Diedrinė simetrija|Diedrinė]]<BR>(4 2 2)
| [[File:Tetragonal dihedron.png|64px]]<BR>[[Diedras|{4,2}]]
| 2.8.8
| [[File:Tetragonal dihedron.png|64px]]<BR>2.4.2.4
| [[File:Spherical square prism.png|64px]]<BR>4.4.4
| [[File:Spherical square hosohedron.png|64px]]<BR>[[Hosoedras|{2,4}]]
| [[File:Spherical square prism.png|64px]]<BR>2.4.4.4
| [[File:Spherical octagonal prism2.png|64px]]<BR>4.4.8
| [[File:Spherical square antiprism.png|64px]]<BR>3.3.3.4
|- align=center
|[[Diedrinė simetrija|Diedrinė]]<BR>(5 2 2)
| [[File:Pentagonal dihedron.png|64px]]<BR>[[Diedras|{5,2}]]
| 2.10.10
| [[File:Pentagonal dihedron.png|64px]]<BR>2.5.2.5
| [[File:Spherical pentagonal prism.png|64px]]<BR>4.4.5
| [[File:Spherical pentagonal hosohedron.png|64px]]<BR>[[Hosoedras|{2,5}]]
| [[File:Spherical pentagonal prism.png|64px]]<BR>2.4.5.4
| [[File:Spherical decagonal prism2.png|64px]]<BR>4.4.10
| [[File:Spherical pentagonal antiprism.png|64px]]<BR>3.3.3.5
|- align=center
|[[Diedrinė simetrija|Diedrinė]]<BR>(6 2 2)
| [[File:Hexagonal dihedron.png|64px]]<BR>[[Diedras|{6,2}]]
| [[File:Dodecagonal dihedron.png|64px]]<BR>2.12.12
| [[File:Hexagonal dihedron.png|64px]]<BR>2.6.2.6
| [[File:Spherical hexagonal prism.png|64px]]<BR>4.4.6
| [[File:Spherical hexagonal hosohedron.png|64px]]<BR>[[Hosoedras|{2,6}]]
| [[File:Spherical hexagonal prism.png|64px]]<BR>2.4.6.4
| [[File:Spherical dodecagonal prism2.png|64px]]<BR>4.4.12
| [[File:Spherical hexagonal antiprism.png|64px]]<BR>3.3.3.6
|}
=== Vithofo konstravimo veiksmai ===
{| class="wikitable"
!Veiksmas
!Simbolis
![[Kokseterio diagrama|Kokseterio<BR>diagrama]]
!Aprašymas
|-
!width=150|Pirminis
!width=60|{p,q}<BR>t<sub>0</sub>{p,q}
|{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
| Bet koks taisyklingas briaunainis arba klojinys
|-
! [[Briaunainio formos virsmas#Rektifikavimas|Rektifikuotas]] (r)
!r{p,q}<BR>t<sub>1</sub>{p,q}
|{{CDD|node|p|node_1|q|node}}
|Visiškai nupjautos briaunos virsta taškais. Briaunainio sienos dabar yra kombinuotos iš priminio kūno ir jo dualo sienų.
|-
!Birektifikuotas (2r)<BR>(tas pats, kas [[Dualus briaunainis|dualas]])
!2r{p,q}<BR>t<sub>2</sub>{p,q}
|{{CDD|node|p|node|q|node_1}}
|[[File:Dual Cube-Octahedron.svg|100px|right]]Birektifikuotas kūnas (dualas) gaunamas toliau nupjaunant taip, kad pirminės sienos virsta taškais. Naujos sienos susidaro po kiekviena pirmine viršūne. Briaunų skaičius nepakinta, bet jos pasisuka 90 laipsnių. Taisyklingojo briaunainio {p, q} dualas yra taip pat taisyklingas briaunainis {q, p}.
|-
![[Briaunainio formos virsmas#Nupjovimas|Nupjautas]] (t)
!t{p,q}<BR>t<sub>0,1</sub>{p,q}
|{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
|Kiekviena pirminė viršūnė nupjaunama ir jos vietoje susidaro nauja siena. Nupjovimui būdingas tam tikras laisvės laipsnis, kurio vienas sprendimas sukuria tolygųjį nupjautinį briaunainį. Pirminių briaunainio sienos pastumiamos į šonus, o nupjautų viršūnių vietoje susidaro dualo sienos.<BR>[[File:Cube truncation sequence.svg|400px]]
|-
!Binupjovimas (2t)
!2t{p,q}<BR>t<sub>1,2</sub>{p,q}
|{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}
|Tas pats, kas nupjautinis dualas.
|-
! [[Briaunainio formos virsmas#Kanteliacija|Kanteliacija]] (rr)<BR>(Taip pat [[Briaunainio formos virsmas#Išplėtimas|Išplėtimas]])
!rr{p,q}
|{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}
|Kartu su viršūnės nupjovimu, kiekviena pirminė briauna nuožulniai papildoma nauja stačiakampe siena, susidarančia vietoje briaunos. Tolygi kanteliacija yra pusiaukelė tarp pirminio kūno ir jo dualo.<BR>[[File:Cube cantellation sequence.svg|400px]]
|-
!Kantenupjautas (tr)<BR>(Taip pat [[Briaunainio formos virsmas#Omninupjovimas|Omninupjovimas]])
!tr{p,q}<BR>t<sub>0,1,2</sub>{p,q}
|{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}
|Nupjovimas ir kanteliacija vyksta kartu ir sukuria omninupjautą formą, kurioje pirminio kūno sienos yra pastumtos į šonus, dualo sienos yra pastumtos į šonus, o vietoje pirminių briaunų yra susidarę kvadratai
|}
{| class="wikitable"
|+ Nupjovimas pakaitomis ({{en|alternation}})
|-
!width=150|Veiksmas
!width=70|Simbolis
![[Kokseterio diagrama|Kokseterio<BR>diagrama]]
!Aprašymas
|-
!Nusklembtas rektifikuotas (sr)
!sr{p,q}
|{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}
|Kantenupjovimas pakaitomis. Visos pirminės sienos netenka pusės savo kraštinių, o kvadratai susitraukia į briaunas. Kadangi omninupjautinės formos turi trisienių viršūnių, susidaro nauji trikampiai. Įprastai šios pakaitinio sienų keitimo būdu gautos formos vėliau šiek tiek deformuojamos, kad vėl taptų tolygiais briaunainiais. Vėlesnės kaitos galimybės priklauso nuo laisvės laipsnio.<BR>[[File:Snubcubes in grCO.svg|320px]]
|-
!Nusklembtas (s)
!s{p,2q}
|{{CDD|node_h|p|node_h|2x|q|node}}
|Nupjovimas pakaitomis
|-
!Kantavimas nusklembimas (s<sub>2</sub>)
!s<sub>2</sub>{p,2q}
|{{CDD|node_h|p|node_h|2x|q|node_1}}
|
|-
!Kanteliacija pakaitomis (hrr)
!hrr{2p,2q}
|{{CDD|node_h|2x|p|node|2x|q|node_h}}
|Įmanomi tik tolygieji klojiniai (begaliniai briaunainiai), kai pakaitomis nupjaunama {{CDD|node_1|2x|p|node|2x|q|node_1}}<BR>Pavyzdžiui, {{CDD|node_h|4|node|4|node_h}}
|-
!Pusė (h)
!h{2p,q}
|{{CDD|node_h1|2x|p|node|q|node}}
|align=left|Pakaitomis nupjaunama {{CDD|node_1|2x|p|node|q|node}}, tas pats kaip {{CDD|labelp|branch_10ru|split2-qq|node}}
|-
!Kantavimas (h<sub>2</sub>)
!h<sub>2</sub>{2p,q}
|{{CDD|node_h1|2x|p|node|q|node_1}}
|Tas pats kaip {{CDD|labelp|branch_10ru|split2-qq|node_1}}
|-
!Pusiau rektifikavimas (hr)
!hr{2p,2q}
|{{CDD|node|2x|p|node_h1|2x|q|node}}
|align=left|Įmanomas tik tolygiems klojiniams (begaliniams briaunainiams), pakaitomis nupjaunama {{CDD|node|2x|p|node_1|2x|q|node}}, tas pats kaip {{CDD|labelp|branch_10ru|2a2b-cross|branch_10lu|labelq}} arba {{CDD|labelp|branch_10r|iaib|branch_01l|labelq}}<BR>Pavyzdžiui, {{CDD|node|4|node_h1|4|node}} = {{CDD|nodes_10ru|2a2b-cross|nodes_10lu}} arba {{CDD|nodes_11|iaib|nodes}}
|-
!Ketvirtis (q)
!q{2p,2q}
|{{CDD|node_h1|2x|p|node|2x|q|node_h1}}
|Įmanomas tik tolygiems klojiniams (begaliniams briaunainiams), tas pats kaip {{CDD|labelq|branch_11|papb-cross|branch_10l|labelq}}<BR>pavyzdžiui, {{CDD|node_h1|4|node|4|node_h1}} = {{CDD|nodes_11|2a2b-cross|nodes_10lu}} arba {{CDD|nodes_11|iaib|nodes_10l}}
|}
=== (3 3 2) T<sub>d</sub> Tetraedrinė simetrija ===
Sferos [[tetraedrinė simetrija]] sukuria 5 tolygiuosius briaunainius, o šeštas suformuojamas nusklembimo veiksmu.
Tetraedrinės simetrijos pagrindas yra fundamentinis trikampis, turintis vieną viršūnę su dviem veidrodžiais ir dvi viršūnes su trimis veidrodžiais, kas užrašoma simboliu (3 3 2). Taip pat šią simetriją galima užrašyti ''Kokseterio grupe'' A<sub>2</sub> arba [3,3], o taip pat [[Kokseterio-Dinkino diagrama]]: {{CDD|node|3|node|3|node}}.
'''Tetrakis heksaedras''' turi 24 regimus trikampius, o ant sferos matome pakaitomis nudažytus trikampius ant analogiško sferinio briaunainio:
:[[File:Tetrakishexahedron.jpg|100px]] [[File:Tetrahedral reflection domains.png|100px]] [[File:Sphere symmetry group td.png|100px]]
{| class="wikitable"
!rowspan=2|Nr.
!rowspan=2|Pavadinimas
!rowspan=2|Grafas<BR>A<sub>3</sub>
!rowspan=2|Grafas<BR>A<sub>2</sub>
!rowspan=2|Vaizdas
!rowspan=2|Klojinys
!rowspan=2|Viršūnės<BR>planas
!rowspan=2|[[Kokseterio-Dinkino diagrama|Kokseterio-Dinkino]]<BR>ir [[Šlėfli simbolis|Šlėfli]]<BR>simboliai
!colspan=3|Sienų kiekis pagal poziciją
!colspan=3|Elementų kiekis
|-
! Poz. 2<BR>{{CDD|node|3|node}}<BR>[3]<BR>(4)
! Poz. 1<BR>{{CDD|node|2||node}}<BR>[2]<BR>(6)
! Poz. 0<BR>{{CDD|2|node|3|node}}<BR>[3]<BR>(4)
! Sienos
! Briaunos
! Viršūnės
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!1
|align=center|[[Tetraedras]]
|[[File:3-simplex t0.svg|50px]]
|[[File:3-simplex t0 A2.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-t0.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 332-t0-1-.png|50px]]
|[[File:Tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|3|node|3|node}}<BR>{3,3}
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
|
|
| 4
| 6
| 4
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
![1]
|align=center|Birektifikuotas tetraedras<BR>(tas pats, kaip [[tetraedras]])
|[[File:3-simplex t0.svg|50px]]
|[[File:3-simplex t0 A2.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-t2.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 332-t2.png|50px]]
|[[File:Tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|3|node|3|node_1}}<BR>t<sub>2</sub>{3,3}={3,3}
|
|
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| 4
| 6
| 4
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!2
|align=center|Rektifikuotas tetraedras<BR>(tas pats, kaip [[oktaedras]])
|[[File:3-simplex t1.svg|50px]]
|[[File:3-simplex t1 A2.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-t1.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 332-t1-1-.png|50px]]
|[[File:Octahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|3|node_1|3|node}}<BR>t<sub>1</sub>{3,3}=r{3,3}
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
|
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| 8
| 12
| 6
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!3
|align=center|[[Tetraedras#Nupjautinis tetraedras|Nupjautinis tetraedras]]
|[[File:3-simplex t01.svg|50px]]
|[[File:3-simplex t01 A2.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-t01.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 332-t01-1-.png|50px]]
|[[File:Truncated tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|3|node_1|3|node}}<BR>t<sub>0,1</sub>{3,3}=t{3,3}
| [[File:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Šešiakampis|{6}]]
|
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
![3]
|align=center|Binupjautinis tetraedras<BR>(tas pats, kaip [[tetraedras#nupjautinis tetraedras|nupjautinis tetraedras]])
|[[File:3-simplex t01.svg|50px]]
|[[File:3-simplex t01 A2.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-t12.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 332-t12.png|50px]]
|[[File:Truncated tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|3|node_1|3|node_1}}<BR>t<sub>1,2</sub>{3,3}=t{3,3}
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
|
| [[File:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Šešiakampis|{6}]]
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!4
|align=center|Rombinis tetratetraedras<BR>(tas pats, kaip [[kuboktaedras]])
|[[File:3-simplex t02.svg|50px]]
|[[File:3-simplex t02 A2.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-t02.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 332-t02.png|50px]]
|[[File:Cuboctahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|3|node|3|node_1}}<BR>t<sub>0,2</sub>{3,3}=rr{3,3}
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| 14
| 24
| 12
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!5
|align=center|Nupjautinis tetratetraedras<BR>(tas pats, kaip [[oktaedras#nupjautinis oktaedras|nupjautinis oktaedras]])
|[[File:3-simplex t012.svg|50px]]
|[[File:3-simplex t012 A2.svg|50px]]
| [[File:Uniform polyhedron-33-t012.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 332-t012.png|50px]]
|[[File:Truncated octahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|3|node_1|3|node_1}}<BR>t<sub>0,1,2</sub>{3,3}=tr{3,3}
| [[File:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Šešiakampis|{6}]]
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| [[File:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Šešiakampis|{6}]]
| 14
| 36
| 24
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
!6
|align=center|Nusklembtas tetratetraedras<BR>(tas pats, kaip [[ikosaedras]])
|[[File:icosahedron graph A3.png|50px]]
|[[File:icosahedron graph A2.png|50px]]
| [[File:Uniform polyhedron-33-s012.png|50px]]
| [[File:Spherical snub tetrahedron.png|50px]]
|[[File:Icosahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_h|3|node_h|3|node_h}}<BR>sr{3,3}
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| [[File:Regular_polygon_3.svg|20px]][[File:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Trikampis|{3}]]
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| 20
| 30
| 12
|}
=== (4 3 2) O<sub>h</sub> Oktaedrinė simetrija ===
Sferos [[oktaedrinė simetrija]] sukuria 7 tolygiuosius briaunainius ir dar 7 pasitelkiant nupjovimą pakaitomis. Šeši pavidalai kartojasi iš aprašytos tetraedrinės simetrijos lentelės (aukščiau).
Oktaedrinės simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis (4 3 2), jei skaičiuosime veidrodžius kiekvienoje viršūnėje. Taip pat šią simetriją galima užrašyti ''Kokseterio grupe'' B<sub>2</sub> arba [4,3], o taip pat [[Kokseterio-Dinkino diagrama]]: {{CDD|node|4|node|3|node}}.
'''Disdyakis dodekaedras''' turi 48 regimus sienų trikampius, o ant sferos matome pakaitomis nudažytus trikampius, vaizduojančius analogišką sferinį briaunainį:
:[[File:Disdyakisdodecahedron.jpg|100px]] [[File:Octahedral reflection domains.png|100px]] [[File:Sphere symmetry group oh.png|100px]]
{| class="wikitable"
!rowspan=2|Nr.
!rowspan=2|Pavadinimas
!rowspan=2|Grafas<BR>B<sub>3</sub>
!rowspan=2|Grafas<BR>B<sub>2</sub>
!rowspan=2|Vaizdas
!rowspan=2|Klojinys
!rowspan=2|Viršūnės planas
!rowspan=2|[[Kokseterio-Dinkino diagrama|Kokseterio-Dinkino]]<BR>ir [[Šlėfli simbolis|Šlėfli]]<BR>simboliai
!colspan=3|Sienų kiekis pagal poziciją
!colspan=3|Elementų kiekis
|-
! Poz. 2<BR>{{CDD|node|4|node|2}}<BR>[4]<BR>(8)
! Poz. 1<BR>{{CDD|node|2|2|node}}<BR>[2]<BR>(12)
! Poz. 0<BR>{{CDD|2|node|3|node}}<BR>[3]<BR>(6)
! Sienos
! Briaunos
! Viršūnės
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!7
|align=center|[[Kubas]]
|[[File:3-cube t0.svg|50px]]
|[[File:3-cube t0 B2.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t0.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 432-t0.png|50px]]
|[[File:Cube vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|4|node|3|node}}<BR>{4,3}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
|
|
| 6
| 12
| 8
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
![2]
|align=center|[[Oktaedras]]
|[[File:3-cube t2.svg|50px]]
|[[File:3-cube t2 B2.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t2.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 432-t2.png|50px]]
|[[File:Octahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|4|node|3|node_1}}<BR>{3,4}
|
|
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| 8
| 12
| 6
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
![4]
|align=center|Rektifikuotas kubas<BR>Rektifikuotas oktaedras<BR>([[Kuboktaedras]])
|[[File:3-cube t1.svg|50px]]
|[[File:3-cube t1 B2.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t1.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 432-t1.png|50px]]
|[[File:Cuboctahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|4|node_1|3|node}}<BR>{4,3}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
|
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| 14
| 24
| 12
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!8
|align=center|[[Kubas#Nupjautinis kubas|Nupjautinis kubas]]
|[[File:3-cube t01.svg|50px]]
|[[File:3-cube t01 B2.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t01.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 432-t01.png|50px]]
|[[File:Truncated cube vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}<BR>t<sub>0,1</sub>{4,3}=t{4,3}
| [[File:Regular_polygon_8.svg|30px]]<BR>{8}
|
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| 14
| 36
| 24
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
![5]
|align=center|[[oktaedras#Nupjautinis oktaedras|Nupjautinis oktaedras]]
|[[File:3-cube t12.svg|50px]]
|[[File:3-cube t12 B2.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t12.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 432-t12.png|50px]]
|[[File:Truncated octahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}<BR>t<sub>0,1</sub>{3,4}=t{3,4}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
|
| [[File:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Šešiakampis|{6}]]
| 14
| 36
| 24
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!9
|align=center|Kanteliuotas kubas<BR>Kanteliuotas oktaedras<BR>[[Kuboktaedras#Rombinis kuboktaedras|Rombinis kuboktaedras]]
|[[File:3-cube t02.svg|50px]]
|[[File:3-cube t02 B2.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t02.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 432-t02.png|50px]]
|[[File:Small rhombicuboctahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}<BR>t<sub>0,2</sub>{4,3}=rr{4,3}
| [[File:Regular_polygon_8.svg|30px]]<BR>{8}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| [[File:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Šešiakampis|{6}]]
| 26
| 48
| 24
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!10
|align=center|Omninupjautinis kubas<BR>Omninupjautinis oktaedras<BR>[[Kuboktaedras#Nupjautinis kuboktaedras|Nupjautinis kuboktaedras]]
|[[File:3-cube t012.svg|50px]]
|[[File:3-cube t012 B2.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-t012.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 432-t012.png|50px]]
|[[File:Great_rhombicuboctahedron_vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}<BR>t<sub>0,1,2</sub>{4,3}=tr{4,3}
| [[File:Regular_polygon_8.svg|30px]]<BR>{8}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| [[File:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[šešiakampis|{6}]]
| 26
| 72
| 48
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![6]
|align=center|Nusklembtas oktaedras<BR>(Tas pats, kaip [[ikosaedras]])
|[[File:3-cube h01.svg|50px]]
|[[File:3-cube h01 B2.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-h01.png|50px]]
|[[File:Spherical alternated truncated octahedron.png|50px]]
|[[File:Icosahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|4|node_h|3|node_h}}<BR>= {{CDD|nodes_hh|split2|node_h}}<BR>s{3,4}=sr{3,3}
|
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| 20
| 30
| 12
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![1]
|align=center|Puskubis<BR>(Tas pats, kaip [[tetraedras]])
|[[File:3-simplex t0 A2.svg|50px]]
|[[File:3-simplex t0.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-t2.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 332-t2.png|50px]]
|[[File:Tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_h1|4|node|3|node}}<BR>= {{CDD|nodes_10ru|split2|node}}<BR>h{4,3}={3,3}
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR><sup>1</sup>/<sub>2</sub> [[Trikampis|{3}]]
|
|
| 4
| 6
| 4
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![2]
|align=center|Kantuotas kubas<BR>(Tas pats, kaip [[Tetraedras#Nupjautinis tetraedras|nupjautinis tetraedras]])
|[[File:3-simplex t01 A2.svg|50px]]
|[[File:3-simplex t01.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-t12.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 332-t12.png|50px]]
|[[File:Truncated tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_h1|4|node|3|node_1}}<BR>= {{CDD|nodes_10ru|split2|node_1}}<BR>h<sub>2</sub>{4,3}=t{3,3}
| [[File:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR> <sup>1</sup>/<sub>2</sub> [[Šešiakampis|{6}]]
|
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR><sup>1</sup>/<sub>2</sub> [[Trikampis|{3}]]
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![4]
| (Tas pats, kaip [[kuboktaedras]])
|[[File:3-simplex t02 A2.svg|50px]]
|[[File:3-simplex t02.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-t02.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 332-t02.png|50px]]
|[[File:Cuboctahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_h0|4|node_1|3|node}}<BR>= {{CDD|nodes_11|split2|node}}<BR>rr{3,3}
|
|
|
|14
|24
|12
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![5]
| (Tas pats, kaip [[oktaedras#Nupjautinis oktaedras|nupjautinis oktaedras]])
|[[File:3-simplex t012 A2.svg|50px]]
|[[File:3-simplex t012.svg|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-33-t012.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 332-t012.png|50px]]
|[[File:Truncated octahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_h0|4|node_1|3|node_1}}<BR>= {{CDD|nodes_11|split2|node_1}}<BR>tr{3,3}
|
|
|
|14
|36
|24
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![9]
| Kantuotas nusklembtas oktaedras<br>(Tas pats, kaip [[Kuboktaedras#Rombinis kuboktaedras|rombinis kuboktaedras]])
|[[File:3-cube t02.svg|50px]]
|[[File:3-cube t02 B2.svg|50px]]
|[[File:Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 432-t02.png|50px]]
|[[File:Small rhombicuboctahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|4|node_h|3|node_h}}<BR>s<sub>2</sub>{3,4}=rr{3,4}
|
|
|
| 26
| 48
| 24
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
!11
|align=center|[[Kubas#Nusklembtas kuboktaedras|Nusklembtas kuboktaedras]]
|[[File:Snub cube_A2.png|50px]]
|[[File:Snub cube_B2.png|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-43-s012.png|50px]]
|[[File:Spherical snub cube.png|50px]]
|[[File:Snub cube vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}<BR>sr{4,3}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Square|{4}]]
| [[File:Regular_polygon_3.svg|20px]][[File:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Trikampis|{3}]]
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| 38
| 60
| 24
|}
=== (5 3 2) I<sub>h</sub> Ikosaedrinė simetrija ===
Sferos [[ikosaedrinė simetrija]] sukuria 7 tolygiuosius briaunainius ir dar 1, pasitelkiant nupjovimą pakaitomis. Tik 1 pavidalas kartojasi iš aprašytų tetraedrinės ir oktaedrinės simetrijos lentelių (aukščiau).
Ikosaedrinės simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis (5 3 2), jei skaičiuosime veidrodžius kiekvienoje viršūnėje. Taip pat šią simetriją galima užrašyti ''Kokseterio grupe'' G<sub>2</sub> arba [5,3], o taip pat [[Kokseterio-Dinkino diagrama]]: {{CDD|node|5|node|3|node}}.
'''Disdyakis triakontaedras''' turi 120 regimų sienų trikampių, o ant sferos matome pakaitomis nudažytus trikampius, vaizduojančius analogišką sferinį briaunainį:
:[[File:Disdyakistriacontahedron.jpg|100px]] [[File:Icosahedral reflection domains.png|100px]] [[File:Sphere symmetry group ih.png|100px]]
{| class="wikitable"
!rowspan=2|Nr.
!rowspan=2|Pavadinimas
!rowspan=2|Grafas<BR>(A<sub>2</sub>)<BR>[6]
!rowspan=2|Grafas<BR>(H<sub>3</sub>)<BR>[10]
!rowspan=2|Vaizdas
!rowspan=2|Klojinys
!rowspan=2|Viršūnės planas
!rowspan=2|[[Kokseterio-Dinkino diagrama|Kokseterio-Dinkino]]<BR>ir [[Šlėfli simbolis|Šlėfli]]<BR>simboliai
!colspan=3|Sienų kiekis pagal poziciją
!colspan=3|Elementų kiekis
|-
! Poz. 2<BR>{{CDD|node|5|node|2}}<BR>[5]<BR>(12)
! Poz. 1<BR>{{CDD|node|2|node}}<BR>[2]<BR>(30)
! Poz. 0<BR>{{CDD|2|node|3|node}}<BR>[3]<BR>(20)
! Sienos
! Briaunos
! Viršūnės
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!12
|align=center|[[Dodekaedras]]
|[[Image:Dodecahedron t0 A2.png|50px]]
|[[Image:Dodecahedron t0 H3.png|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-53-t0.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 532-t0.png|50px]]
|[[File:Dodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|5|node|3|node}}<BR>{5,3}
| [[File:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>[[Penkiakampis|{5}]]
|
|
| 12
| 30
| 20
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
![6]
|align=center|[[Ikosaedras]]
|[[Image:Icosahedron t0 A2.png|50px]]
|[[Image:Icosahedron t0 H3.png|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-53-t2.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 532-t2.png|50px]]
|[[File:Icosahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|5|node|3|node_1}}<BR>{3,5}
|
|
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| 20
| 30
| 12
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!13
|align=center|Rektifikuotas dodekaedras<BR>Rektifikuotas ikosaedras<BR>[[Ikosidodekaedras]]
|[[Image:Dodecahedron t1 A2.png|50px]]
|[[Image:Dodecahedron t1 H3.png|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-53-t1.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 532-t1.png|50px]]
|[[File:Icosidodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|5|node_1|3|node}}<BR>t<sub>1</sub>{5,3}=r{5,3}
| [[File:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>{5}
|
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| 32
| 60
| 30
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!14
|align=center|[[Dodekaedras#Nupjautinis dodekaedras|Nupjautinis dodekaedras]]
|[[Image:Dodecahedron t01 A2.png|50px]]
|[[Image:Dodecahedron t01 H3.png|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-53-t01.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 532-t01.png|50px]]
|[[File:Truncated dodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|5|node_1|3|node}}<BR>t<sub>0,1</sub>{5,3}=t{5,3}
| [[File:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>{10}
|
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| 32
| 90
| 60
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
!15
|align=center|[[Ikosaedras#Nupjautinis ikosaedras|Nupjautinis ikosaedras]]
|[[Image:Icosahedron t01 A2.png|50px]]
|[[Image:Icosahedron t01 H3.png|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-53-t12.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 532-t12.png|50px]]
|[[File:Truncated icosahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|5|node_1|3|node_1}}<BR>t<sub>0,1</sub>{3,5}=t{3,5}
| [[File:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>{5}
|
| [[File:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Šešiakampis|{6}]]
| 32
| 90
| 60
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!16
|align=center|Kanteliuotas dodekaedras<BR>Kanteliuotas ikosaedras<BR>[[Dodekaedras#Rombinis ikosidodekaedras|Rombinis ikosidodekaedras]]
|[[Image:Dodecahedron t02 A2.png|50px]]
|[[Image:Dodecahedron t02 H3.png|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-53-t02.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 532-t02.png|50px]]
|[[File:Small rhombicosidodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|5|node|3|node_1}}<BR>t<sub>0,2</sub>{5,3}=rr{5,3}
| [[File:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>{5}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| 62
| 120
| 60
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!17
|align=center|Omninupjautinis dodekaedras<BR>Omninupjautinis ikosaedras<BR>[[Dodekaedras#Nupjautinis ikosidodekaedras|Nupjautinis ikosidodekaedras]]
|[[Image:Dodecahedron t012 A2.png|50px]]
|[[Image:Dodecahedron t012 H3.png|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-53-t012.png|50px]]
|[[File:Uniform tiling 532-t012.png|50px]]
|[[File:Great rhombicosidodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|5|node_1|3|node_1}}<BR>t<sub>0,1,2</sub>{5,3}=tr{5,3}
| [[File:Regular_polygon_10.svg|30px]]<BR>{10}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| [[File:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Šešiakampis|{6}]]
| 62
| 180
| 120
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
!18
|align=center|[[Nusklembtas dodekaedras|Nusklembtas ikosidodekaedras]]
|[[Image:Snub dodecahedron A2.png|50px]]
|[[Image:Snub dodecahedron H2.png|50px]]
|[[File:Uniform polyhedron-53-s012.png|50px]]
|[[File:Spherical snub dodecahedron.png|50px]]
|[[File:Snub dodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_h|5|node_h|3|node_h}}<BR>sr{5,3}
| [[File:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>{5}
| [[File:Regular_polygon_3.svg|20px]][[File:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Trikampis|{3}]]
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| 92
| 150
| 60
|}
=== (p 2 2) Prizminės [p,2], I<sub>2</sub>(p) šeimos (D<sub>''p''h</sub> diedrinė simetrija) ===
Sferos [[ikosaedrinė simetrija]] sukuria dvi begalines tolygiųjų briaunanių aibes, prizmes ir antiprizmes, ir dar dvi begalines išsigimusių briaunanių aibes, hosoedrus ir diedrus, kurie egzistuoja tik kaip sferos klojiniai.
Diedrinės simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis (p 2 2), jei skaičiuosime veidrodžius kiekvienoje viršūnėje. Taip pat šią simetriją galima užrašyti ''Kokseterio grupe'' I<sub>2</sub>(p) arba [n,2], o taip pat prizmine [[Kokseterio-Dinkino diagrama]]: {{CDD|node|p|node|2|node}}.
Žemiau pavaizduoti pirmi penki diedrinės simetrijos atvejai: D<sub>2</sub> ... D<sub>6</sub>. Diedrinės simetrijos D<sub>p</sub> eilė yra ''4n'', atspindi bi[[piramidė]]s sienas, o ant sferos – tai pusiaujo linija ir n tolygiai viena nuo kitos nutolusių dienovidinių.
==== (2 2 2) diedrinė simetrija ====
Yra 8 fundamentalūs trikampiai, matomi ant kvadratinės bi[[piramidė]]s sienų (oktaedras) ir pakaitomis nuspalvintus trikampius ant sferos:
:[[File:Octahedron.svg|100px]] [[File:Sphere symmetry group d2h.png|100px]]
{| class="wikitable"
!rowspan=2|Nr.
!rowspan=2|Pavadinimas
!rowspan=2|Vaizdas
!rowspan=2|Klojinys
!rowspan=2|Viršūnės planas
!rowspan=2|[[Kokseterio-Dinkino diagrama|Kokseterio-Dinkino]]<BR>ir [[Šlėfli simbolis|Šlėfli]]<BR>simboliai
!colspan=3|Sienų kiekis pagal poziciją
!colspan=3|Elementų kiekis
|-
! Poz. 2<BR>{{CDD|node|2|node|2|}}<BR>[2]<BR>(2)
! Poz. 1<BR>{{CDD|node|2|node}}<BR>[2]<BR>(2)
! Poz. 0<BR>{{CDD|2|node|2|node}}<BR>[2]<BR>(2)
! Sienos
! Briaunos
! Viršūnės
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!D<sub>2</sub><BR>H<sub>2</sub>
|align=center|Digoninis diedras<BR>Digoninis hosoedras
|
|[[File:digonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|2|node|2|node}}<BR>{2,2}
| [[File:Regular digon in spherical geometry-2.svg|30px]]<BR>{2}
|
|
| 2
| 2
| 2
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>4</sub>
|align=center|Nupjautinis digoninis diedras<BR>(Tas pats, kaip kvadratinis diedras)
|
|[[File:tetragonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|2|node_1|2|node}}<BR>t{2,2}={4,2}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
|
|
| 2
| 4
| 4
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!P<sub>4</sub><BR>[7]
|align=center|omninupjautinis digoninis diedras<BR>(Tas pats, kaip [[kubas]])
|[[File:Uniform polyhedron 222-t012.png|60px]]
|[[File:Spherical square prism2.png|60px]]
|[[File:Cube vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_1|2|node_1|2|node_1}}<BR>t<sub>0,1,2</sub>{2,2}=tr{2,2}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| 6
| 12
| 8
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>2</sub><BR>[1]
|align=center|Nusklembtas digoninis diedras<BR>(Tas pats, kaip [[tetraedras]])
|[[File:Uniform polyhedron-33-t2.png|60px]]
|[[File:Spherical digonal antiprism.png|60px]]
|[[File:Tetrahedron vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h}}<BR>sr{2,2}
|
| [[File:Regular_polygon_3.svg|20px]][[File:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Trikampis|{3}]]
|
| 4
| 6
| 4
|}
==== (3 2 2) D<sub>3h</sub> diedrinė simetrija ====
Yra 12 fundamentalių trikampių, kurie matomi ant šešiakampės bi[[piramidė]]s sienų ir pakaitomis nuspalvintus trikampius ant sferos:
:[[File:Hexagonale bipiramide.png|100px]] [[File:Sphere symmetry group d3h.png|100px]]
{| class="wikitable"
!rowspan=2|Nr.
!rowspan=2|Pavadinimas
!rowspan=2|Vaizdas
!rowspan=2|Klojinys
!rowspan=2|Viršūnės planas
!rowspan=2|[[Kokseterio-Dinkino diagrama|Kokseterio-Dinkino]]<BR>ir [[Šlėfli simbolis|Šlėfli]]<BR>simboliai
!colspan=3|Sienų kiekis pagal poziciją
!colspan=3|Elementų kiekis
|-
! Poz. 2<BR>{{CDD|node|3|node|2}}<BR>[3]<BR>(2)
! Poz. 1<BR>{{CDD|node|2|node}}<BR>[2]<BR>(3)
! Poz. 0<BR>{{CDD|2|node|2|node}}<BR>[2]<BR>(3)
! Sienos
! Briaunos
! Viršūnės
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!D<sub>3</sub>
|align=center|Trigoninis diedras
|
|[[File:Trigonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|3|node|2|node}}<BR>{3,2}
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
|
|
| 2
| 3
| 3
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!H<sub>3</sub>
|align=center|Trigoninis hosoedras
|
|[[File:Trigonal hosohedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node|3|node|2|node_1}}<BR>{2,3}
|
|
| [[File:Regular digon in spherical geometry-2.svg|30px]]<BR>{2}
| 3
| 3
| 2
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>6</sub>
|align=center|Nupjautinis trigoninis diedras<BR>(Tas pats, kaip šešiakampis diedras)
|
|[[File:Hexagonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|3|node_1|2|node}}<BR>t{3,2}
| [[File:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Šešiakampis|{6}]]
|
|
| 2
| 6
| 6
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!P<sub>3</sub>
|align=center|Nupjautinis trigoninis hosoedras<BR>(Trikampė [[prizmė]])
|[[File:Triangular prism.png|60px]]
|[[File:Spherical triangular prism.png|60px]]
|[[File:Triangular prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node|3|node_1|2|node_1}}<BR>t{2,3}
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
|
| 5
| 9
| 6
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!P<sub>6</sub>
|align=center|Omninupjautinis trigoninis diedras<BR>(Šešiakampė [[prizmė]])
|[[File:Hexagonal prism.png|60px]]
|[[File:Spherical hexagonal prism2.png|60px]]
|[[File:Hexagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_1|3|node_1|2|node_1}}<BR>t<sub>0,1,2</sub>{2,3}=tr{2,3}
| [[File:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Šešiakampis|{6}]]
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>3</sub><BR>[2]
|align=center|Nusklembtas trigoninis diedras<BR>(Tas pats, kaip trikampė anti[[prizmė]])<BR>(Tas pats, kaip [[oktaedras]])
|[[File:Trigonal antiprism.png|60px]]
|[[File:Spherical trigonal antiprism.png|60px]]
|[[File:Octahedron vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|3|node_h|2x|node_h}}<BR>sr{2,3}
| [[File:Regular_polygon_3.svg|30px]]<BR>[[Trikampis|{3}]]
| [[File:Regular_polygon_3.svg|20px]][[File:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Trikampis|{3}]]
|
| 8
| 12
| 6
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!P<sub>3</sub>
|align=center|Kantuotas nusklembtas trigoninis diedras<BR>(Trikampė [[prizmė]])
|[[File:Triangular prism.png|60px]]
|[[File:Spherical triangular prism.png|60px]]
|[[File:Triangular prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|3|node_h|2x|node_1}}<br>s<sub>2</sub>{2,3}=t{2,3}
|
|
|
| 5
| 9
| 6
|}
==== (4 2 2) D<sub>4h</sub> diedrinė simetrija ====
Yra 16 fundamentalių trikampių, kurie matomi ant aštuoniakampės bi[[piramidė]]s sienų ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos:
:[[File:Octagonal bipyramid.png|80px]]
{| class="wikitable"
!rowspan=2|Nr.
!rowspan=2|Pavadinimas
!rowspan=2|Vaizdas
!rowspan=2|Klojinys
!rowspan=2|Viršūnės planas
!rowspan=2|[[Kokseterio-Dinkino diagrama|Kokseterio-Dinkino]]<BR>ir [[Šlėfli simbolis|Šlėfli]]<BR>simboliai
!colspan=3|Sienų kiekis pagal poziciją
!colspan=3|Elementų kiekis
|-
! Poz. 2<BR>{{CDD|node|4|node|2}}<BR>[4]<BR>(2)
! Poz. 1<BR>{{CDD|node|2|node}}<BR>[2]<BR>(4)
! Poz. 0<BR>{{CDD|2|node|2|node}}<BR>[2]<BR>(4)
! Sienos
! Briaunos
! Viršūnės
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!D<sub>4</sub>
|align=center|Kvadratinis diedras
|
|[[File:Tetragonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|4|node|2|node}}<BR>{4,2}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
|
|
| 2
| 4
| 4
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!H<sub>4</sub>
|align=center|Kvadratinis hosoedras
|
|[[File:Spherical square hosohedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node|4|node|2|node_1}}<BR>{2,4}
|
|
| [[File:Regular digon in spherical geometry-2.svg|30px]]<BR>{2}
| 4
| 4
| 2
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>8</sub>
|align=center|Nupjautinis kvadratinis diedras<BR>(Tas pats, kaip aštuoniakampis diedras)
|
|
|
|align=center|{{CDD|node_1|4|node_1|2|node}}<BR>t{4,2}
| [[File:Regular_polygon_8.svg|30px]]<BR>{8}
|
|
| 2
| 8
| 8
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!P<sub>4</sub><BR>[7]
|align=center|Nupjautinis kvadratinis hosoedras<BR>([[Kubas]])
|[[File:Tetragonal prism.png|60px]]
|[[File:Spherical square prism.png|60px]]
|[[File:Cube vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node|4|node_1|2|node_1}}<BR>t{2,4}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
|
| 6
| 12
| 8
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>8</sub>
|align=center|Omninupjautinis kvadratinis diedras<BR>(Aštuoniakampė [[prizmė]])
|[[File:Octagonal prism.png|60px]]
|[[File:Spherical octagonal prism2.png|60px]]
|[[File:Octagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_1|4|node_1|2|node_1}}<BR>t<sub>0,1,2</sub>{2,4}=tr{2,4}
| [[File:Regular_polygon_8.svg|30px]]<BR>{8}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| 10
| 24
| 16
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>4</sub>
|align=center|Nusklembtas kvadratinis diedras<BR>(Kvadratinė anti[[prizmė]])
|[[File:Square antiprism.png|60px]]
|[[File:Spherical square antiprism.png|60px]]
|[[File:Square antiprism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|4|node_h|2x|node_h}}<BR>sr{2,4}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| [[File:Regular_polygon_3.svg|20px]][[File:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Trikampis|{3}]]
|
| 10
| 16
| 8
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!P<sub>4</sub><br>[7]
|align=center|Kantuotas nusklembtas kvadratinis diedras<BR>([[Kubas]])
|[[File:Tetragonal prism.png|60px]]
|[[File:Spherical square prism.png|60px]]
|[[File:Cube vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|4|node_h|2x|node_1}}<br>s<sub>2</sub>{4,2}=t{2,4}
|
|
|
| 6
| 12
| 8
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>2</sub><br>[1]
|align=center|Nusklembtas kvadratinis hosoedras<BR>(Digoninė anti[[prizmė]])<BR>([[Tetraedras]])
|[[File:Uniform polyhedron-33-t2.png|60px]]
|[[File:Spherical digonal antiprism.png|60px]]
|[[File:Tetrahedron vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node|4|node_h|2x|node_h}}<br>s{2,4}=sr{2,2}
|
|
|
| 4
| 6
| 4
|}
==== (5 2 2) D<sub>5h</sub> diedrinė simetrija ====
Yra 20 fundamentalių trikampių, kurie matomi ant dešimtkampės bi[[piramidė]]s sienų ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos:
:[[File:Decagonal bipyramid.png|60px]]
{| class="wikitable"
!rowspan=2|Nr.
!rowspan=2|Pavadinimas
!rowspan=2|Vaizdas
!rowspan=2|Klojinys
!rowspan=2|Viršūnės planas
!rowspan=2|[[Kokseterio-Dinkino diagrama|Kokseterio-Dinkino]]<BR>ir [[Šlėfli simbolis|Šlėfli]]<BR>simboliai
!colspan=3|Sienų kiekis pagal poziciją
!colspan=3|Elementų kiekis
|-
! Pos. 2<BR>{{CDD|node|5|node|2}}<BR>[5]<BR>(2)
! Pos. 1<BR>{{CDD|node|2|node}}<BR>[2]<BR>(5)
! Pos. 0<BR>{{CDD|2|node|2|node}}<BR>[2]<BR>(5)
! Sienos
! Briaunos
! Viršūnės
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!D<sub>5</sub>
|align=center|Penkiakampis diedras
|
|[[File:Pentagonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|5|node|2|node}}<BR>{5,2}
| [[File:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>{5}
|
|
| 2
| 5
| 5
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!H<sub>5</sub>
|align=center|Penkiakampis hosoedras
|
|[[File:Spherical pentagonal hosohedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node|5|node|2|node_1}}<BR>{2,5}
|
|
| [[File:Regular digon in spherical geometry-2.svg|30px]]<BR>{2}
| 5
| 5
| 2
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>10</sub>
|align=center|Nupjautinis penkiakampis diedras<BR>(Tas pats, kaip dešimtkampis diedras)
|
|
|
|align=center|{{CDD|node_1|5|node_1|2|node}}<BR>t{5,2}
| [[File:Regular_polygon_10.svg|30px]]<BR>{10}
|
|
| 2
| 10
| 10
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!P<sub>5</sub>
|align=center|Nupjautinis penkiakampis hosoedras<BR>(Tas pats, kaip penkiakampė [[prizmė]])
|[[File:Pentagonal prism.png|60px]]
|[[File:Spherical pentagonal prism.png|60px]]
|[[File:Pentagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node|5|node_1|2|node_1}}<BR>t{2,5}
| [[File:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>{5}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
|
| 7
| 15
| 10
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!P<sub>10</sub>
|align=center|Omninupjautinis penkiakampis diedras<BR>(dešimtkampė [[prizmė]])
|[[File:Decagonal prism.png|60px]]
|[[File:Spherical decagonal prism2.png|60px]]
|[[File:Decagonal prism vf.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_1|5|node_1|2|node_1}}<BR>t<sub>0,1,2</sub>{2,5}=tr{2,5}
| [[File:Regular_polygon_10.svg|30px]]<BR>{10}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| 12
| 30
| 20
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>5</sub>
|align=center|Nusklembtas penkiakampis diedras<BR>(Penkiakampė anti[[prizmė]])
|[[File:Pentagonal antiprism.png|60px]]
|[[File:Spherical pentagonal antiprism.png|60px]]
|[[File:Pentagonal antiprism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|5|node_h|2x|node_h}}<BR>sr{2,5}
| [[File:Regular_polygon_5.svg|30px]]<BR>{5}
| [[File:Regular_polygon_3.svg|20px]][[File:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Trikampis|{3}]]
|
| 12
| 20
| 10
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!P<sub>5</sub>
|align=center|Kantuotas nusklembtas penkiakampis diedras<BR>(Penkiakampė [[prizmė]])
|[[File:Pentagonal prism.png|60px]]
|[[File:Spherical pentagonal prism.png|60px]]
|[[File:Pentagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|5|node_h|2x|node_1}}<br>s<sub>2</sub>{5,2}=t{2,5}
|
|
|
| 7
| 15
| 10
|}
==== (6 2 2) D<sub>6h</sub> diedrinė simetrija ====
Yra 24 fundamentalūs trikampiai, kurie matomi ant dvylikakampės bi[[piramidė]]s sienų ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos:
{| class="wikitable"
rowspan=2|Nr.
!rowspan=2|Pavadinimas
!rowspan=2|Vaizdas
!rowspan=2|Klojinys
!rowspan=2|Viršūnės planas
!rowspan=2|[[Kokseterio-Dinkino diagrama|Kokseterio-Dinkino]]<BR>ir [[Šlėfli simbolis|Šlėfli]]<BR>simboliai
!colspan=3|Sienų kiekis pagal poziciją
!colspan=3|Elementų kiekis
|-
! Pos. 2<BR>{{CDD|node|6|node|2}}<BR>[6]<BR>(2)
! Pos. 1<BR>{{CDD|node|2|node}}<BR>[2]<BR>(6)
! Pos. 0<BR>{{CDD|2|node|2|node}}<BR>[2]<BR>(6)
! Sienos
! Briaunos
! Viršūnės
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!D<sub>6</sub>
|align=center|Šešiakampis diedras
|
|[[File:Hexagonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|6|node|2|node}}<BR>{6,2}
| [[File:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Šešiakampis|{6}]]
|
|
| 2
| 6
| 6
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!H<sub>6</sub>
|align=center|Šešiakampis hosoedras
|
|[[File:Hexagonal hosohedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node|6|node|2|node_1}}<BR>{2,6}
|
|
| [[File:Regular digon in spherical geometry-2.svg|30px]]<BR>{2}
| 6
| 6
| 2
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>12</sub>
|align=center|Nupjautinis šešiakampis diedras<BR>(Tas pats, kaip dvylikakampis diedras)
|
|[[File:Dodecagonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|6|node_1|2|node}}<BR>t{6,2}
| [[File:Regular_polygon_10.svg|30px]]<BR>{12}
|
|
| 2
| 12
| 12
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!H<sub>6</sub>
|align=center|Nupjautinis šešiakampis hosoedras<BR>(Tas pats, kaip šešiakampė [[prizmė]])
|[[File:Hexagonal prism.png|60px]]
|[[File:Spherical hexagonal prism.png|60px]]
|[[File:Hexagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node|6|node_1|2|node_1}}<BR>t{2,6}
| [[File:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[Šešiakampis|{6}]]
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
|
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!P<sub>12</sub>
|align=center|Omninupjautinis šešiakampis diedras<BR>(Dvylikakampė [[prizmė]])
|[[File:Dodecagonal prism.png|60px]]
|[[File:Spherical truncated hexagonal prism.png|60px]]
|[[File:Dodecagonal prism vf.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_1|6|node_1|2|node_1}}<BR>t<sub>0,1,2</sub>{2,6}=tr{2,6}
| [[File:Regular_polygon_10.svg|30px]]<BR>{12}
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| [[File:Regular_polygon_4.svg|30px]]<BR>[[Kvadratas|{4}]]
| 14
| 36
| 24
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>6</sub>
|align=center|Nusklembtas šešiakampis diedras<BR>(Šešiakampė anti[[prizmė]])
|[[File:Hexagonal antiprism.png|60px]]
|[[File:Spherical hexagonal antiprism.png|60px]]
|[[File:Hexagonal antiprism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|6|node_h|2x|node_h}}<BR>sr{2,6}
| [[File:Regular_polygon_6.svg|30px]]<BR>[[šešiakampis|{6}]]
| [[File:Regular_polygon_3.svg|20px]][[File:Regular_polygon_3.svg|20px]]<BR>2 [[Trikampis|{3}]]
|
| 14
| 24
| 12
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!P<sub>3</sub>
|align=center|Kantuotas šešiakampis diedras<br>(Trikampė [[prizmė]])
|[[File:Triangular prism.png|60px]]
|[[File:Spherical triangular prism.png|60px]]
|[[File:Triangular prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h1|6|node|2|node_1}} = {{CDD|node_1|3|node|2|node_1}}<BR>h<sub>2</sub>{6,2}=t{2,3}
|
|
|
|5
|9
|6
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!P<sub>6</sub>
|align=center|Kantuotas nusklembtas šešiakampis diedras<BR>(Šešiakampė [[prizmė]])
|[[File:Hexagonal prism.png|60px]]
|[[File:Spherical hexagonal prism.png|60px]]
|[[File:Hexagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|6|node_h|2x|node_1}}<br>s<sub>2</sub>{6,2}=t{2,6}
|
|
|
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>3</sub><BR>[2]
|align=center|Nusklembtas šešiakampis hosoedras<BR>(Tas pats, kaip trikampė anti[[prizmė]])<BR>(Tas pats, kaip [[oktaedras]])
|[[File:Trigonal antiprism.png|60px]]
|[[File:Spherical trigonal antiprism.png|60px]]
|[[File:Octahedron vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node|6|node_h|2x|node_h}}<BR>s{2,6}=sr{2,3}
|
|
|
| 8
| 12
| 6
|}
== Nuorodos ==
{{reflist}}
== Šaltiniai ==
*Brückner, M. ''Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.''. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. [http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=ABN8316.0001.001]
*{{Cite journal | last1=Coxeter | first1=Harold Scott MacDonald | author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | last2=Longuet-Higgins | first2=M. S. | last3=Miller | first3=J. C. P. | title=Uniform polyhedra | jstor=91532 | mr=0062446 | year=1954 | journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences | issn=0080-4614 | volume=246 |issue=916 | pages=401–450 | publisher=The Royal Society | doi=10.1098/rsta.1954.0003 | ref=harv}} [http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/roypta/246/916/401.full.pdf]
*{{Cite journal | last1=Sopov | first1=S. P. | title=A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra | mr=0326550 | year=1970 | journal=Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik | issue=8 | pages=139–156 | ref=harv | postscript=<!--None-->}}
* {{cite book | first=Magnus | last=Wenninger | authorlink=Magnus Wenninger | title=Polyhedron Models | publisher=Cambridge University Press | year=1974 | isbn=0-521-09859-9 }}
*{{Cite journal | last1=Skilling | first1=J. | title=The complete set of uniform polyhedra | jstor=74475 | mr=0365333 | year=1975 | journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences | issn=0080-4614 | volume=278 | pages=111–135 | doi=10.1098/rsta.1975.0022 | ref=harv | postscript=<!--None--> | issue=1278}}
* Har'El, Z. [http://www.math.technion.ac.il/~rl/docs/uniform.pdf ''Uniform Solution for Uniform Polyhedra.''], Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. [http://www.math.technion.ac.il/~rl Zvi Har’El], [http://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido Kaleido software], [http://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido/poly.html Images], [http://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido/dual.html dual images]
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly Mäder, R. E.] ''Uniform Polyhedra.'' Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [http://library.wolfram.com/infocenter/Articles/2254]
*Messer, Peter W. [http://www.springerlink.com/content/me48wm7823jhdcpe/?p=baeede46029e489f9df9a31526cd8f6&pi=2 ''Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals.''], Discrete & Computational Geometry 27:353-375 (2002).
| |||