Topologija: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
S Šalinamas Link GA šablonas. |
→topologija: iš en.wiki |
||
Eilutė 1:
[[Image:Möbius strip.jpg|thumb|240px|[[Mėbijaus lapas]], turintis tik vieną paviršių ir tik vieną kraštinę, yra vienas iš daugybės objektų, studijuojamų topologijoje.]]
'''Topologija''' (graik. τοπος (topos) – paviršius, vieta; λογος (logos) – mokslas) yra mokslas apie tolydžius (netrūkius) paviršius, dalinai, apie erdvės savybes, kurios nepakinta, atliekant tolydžias deformacijas, pavyzdžiui, transformuojant (tempiant, lenkiant, bet ne perplėšiant ar suklijuojant) paviršius ir keičiant paviršiaus elementų susietumą ir (ar) [[orientuojamumas|orientuojamumą]]. Griežtai [[matematika|matematiškai]] tai yra atvirų aibių rinkinių tyrimas, kai tam tikra aibė vaizduojama kaip topologinė erdvė. Kai kurios svarios topologinės savybės yra susietumas ir kompaktiškumas.
Topologijos tyrimų sritis atsiskyrė jungiant tam tikrus [[geometrija|geometrijos]] dalykus ir [[aibių teorija|aibių teoriją]], siekiant išsiaiškinti tokias sąvokas kaip erdvė, jos matavimai ir transformacijos. Pirmines idėjas sutinkame jau [[Gottfried Leibniz|Gotfrydo Leibnico]] veikaluose, kuris jau XVII a. kalbėjo apie {{la|geometria situs}} (graikų ir lotynų kalbų hibridinis darinys, reiškiantis "vietos geometriją") ir {{la|analysis situs}} (vietos analizė). [[Leonhard Euler|Oilerio]] [[Septyni Karaliaučiaus tiltai|Septynių Karaliaučiaus tiltų]] problema ir [[Oilerio charakteristika|briaunainio savybė]] neginčytinai yra pirmosios teoremos, kuriomis grindžiama topologija. Patį ''topologijos'' terminą XIX a. įvedė ''Johanas Listingas'' (Johann Benedict Listing), bet pati topologinės erdvės idėja buvo suformuluota tik pirmą XX a. dešimtmetį. Nepaisant neskubrios pradžios, XX a. viduryje topologija jau tapo svarbia matematikos šaka.
Šiuolaikinę topologiją sudaro kelios specializuotos šakos:
*'''Bendroji topologija''' nustato šio mokslo pamatinius dalykus, tyrinėja topologinių erdvių savybes ir ieško naujų sampratų, atskleidžiančių topologinius objektus. Čia nagrinėjamos tokios bendrosios savybės kaip ''kompaktiškumas'' ir ''susietumas''.
*'''Algebrinė topologija''' ieško būdų išmatuoti jungumo ({eng|connectivity}) laipsnius, pasitelkiant algebrinius darinius, kaip homologinės ir homotopinės grupės.
*'''Diferencialinė topologija''' tai šaka, nagrinėjanti topologines diferencijuojamųjų funkcijų ir diferencijuojamųjų daugdarų savybes. Ji glaudžiai susijusi su [[diferencialinė geometrija|diferencialine geometrija]], abi kartu jos formuoja geometrinę diferencijuojamųjų daugdarų teoriją.
*'''Geometrinė topologija''' visų pirma tiria [[daugdara]]s ir jų įdėtis į kitas daugdaras. Ypač aktyviai čia tyrinėjama nedidelio matiškumo (keturių ir mažiau matavimų) paviršių topologija. Be to šioje srityje nagrinėjama ''mazgų teorija'' ir ''matematiniai mazgai''.
[[Image:Trefoil knot arb.png|thumb| Trimatis vaizdas: sustorintas ''trilapis mazgas'', paprasčiausias netrivialus mazgas.]]
==Istorija==
[[Image:Konigsberg bridges.png|thumb|left|240px|Oileris išsprendė [[Septyni Karaliaučiaus tiltai|Septynių Karaliaučiaus tiltų]] problemą - vieną pirmųjų topologijos uždavinių.]]
Topologiniai tyrimai prasidėjo nuo specifinių geomerijos uždavinių. 1736 metais [[Leonhard Euler|Leonardas Oileris]] paskelbė tyrimą apie [[Septyni Karaliaučiaus tiltai|Septynių Karaliaučiaus tiltų]] problemą<ref>Euler, Leonhard, [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E053.pdf Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis]</ref>, kuris laikomas viena iš pačių pirmutinių akademinių modernios topologijos publikacijų.
Pačią ''topologijos'' sąvoką 1847 m. Vokietijoje įvedė ''Johanas Listingas'' (Johann Benedict Listing), paskelbdamas ''Vorstudien zur Topologie'' (Parengtinę topologijos studiją)<ref>Listing, Johann Benedict, "Vorstudien zur Topologie", Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, p. 67, 1848</ref>. Jis jau dešimtmetį iki šios publikacijos vartojo topologijos terminą susirašinėdamas su kitais matematikais. Bet tuometinė topologijos samprata dar buvo nutolusi nuo dabartinio turinio.
Šiuolaikinė topologija griežtai remiasi idėjomis pagrįstomis [[aibių teorija|aibių teorijoje]], kurią XIX a. pabaigoje išplėtojo ''Georgas Kantoras'' (Georg Cantor). Kartu su pamatinėmis aibių teorijos idėjomis, jis, tirdamas ''Furjė eiles'', jau nagrinėjo ir [[euklidinė erdvė|euklidinės erdvės]] taškų aibes.
[[Henri Poincaré]] 1895 m. publikavo veikalą „Analysis Situs“<ref>Poincaré, Henri, "Analysis situs", Journal de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895) pp. 1–123</ref>, kuriame pirmą kartą aprašė ''homotopijos'' ir ''homologijos'' savybes, šiuo metu laikomas ''algebrinės topologijos'' objektais.
1906 metais ''Morisas Frešė'' (Maurice Fréchet), unifikuodamas darbus apie funkcijų erdves, kuriuos atliko ''Georgas Kantoras'' (Georg Cantor), ''Vito Voltera'' (Vito Volterra), ''Cezarė Arcela'' (Cesare Arzelà), ''Žakas Adamaras'' (Jacques Hadamard), ''Džiulijo Askoli'' (Giulio Ascoli) ir kiti, į apyvartą įvedė ''metrinės erdvės'' sąvoką<ref>Fréchet, Maurice, "Sur quelques points du calcul fonctionnel", PhD dissertation, 1906</ref>. Mūsų dienomis metrinė erdvė yra laikoma bendrosios topologinės erdvės atskiru atveju. 1914 metais ''Feliksas Hausdorfas'' (Felix Hausdorff) sukūrė pačią ''topologinės erdvės'' sąvoką ir apibrėžė matematinį reiškinį, kuris dabar vadinamas jo vardu – ''Hausdorfo erdvę''<ref>Hausdorff, Felix, "Grundzüge der Mengenlehre", Leipzig: Veit. In (Hausdorff Werke, II (2002), 91–576)</ref>. Pagal modernų supratimą, topologinė erdvė yra nežymus Hausdorfo erdvės apibendrinimas, kurį 1922 m. pateikė ''Kazimiežas Kuratovskis'' (Kazimierz Kuratowski).
Toliau topologija ėmė šakotis į dabar žinomas atskiras šakas, kaip taškų aibių topologija, algebrinė topologija ir kt.
==Bendras apibūdinimas==
Formaliai topologiją galima apibrėžti kaip tyrimą, nagrinėjantį tam tikrų objektų (vadinamų topologinėmis erdvėmis) kokybines savybes, kurios yra invariantiškos kai kurioms transformacijoms, ypač homeomorfinėms.
Topologija taip pat naudojama aptariant struktūrą, sukurtą iš aibės ''X'', kuri iš esmės apibūdina pačią aibę ''X'' kaip topolginę erdvę, kai transformacijos metu deramai išlaikomos jos savybės: aibės ribos (konvergencija), susietumas ir tolydumas.
Topologinės erdvės visai natūraliai reiškiasi kone kiekvienoje matematikos šakoje. Todėl šiuo metu topologija yra tapusi galinga apibendrinančia matematinių disciplinų priemone.
Plačiai taikyti topologiją skatina įžvalga, kad nemažai geometrinių problemų yra priklausomos ne nuo paties konkretaus objekto pavidalo, o labiau nuo būdo, kaip tas pavidalas susidaro, kitaip, nuo jo sandaros ypatybių. Pavyzdžiui, kvadratas ir apskritimas turi daug bendrumo: jie abu yra (topologiniu požiūriu) vienmačiai, abu dalija plokštumą į dvi dalis - vidinę ir išorinę.
Viename pirmųjų topologijos publikacijų [[Leonhard Euler|Leonardas Oileris]] parodė, kad neįmanoma pereiti visus septynis Karaliaučiaus tiltus vieną paskui kitą, nė karto nepereinat per kažkurį tiltą du kartus. Šis rezultatas neprilauso nei nuo tiltų ilgio, nei nuo atstumo tarp jų, o vien nuo to, kaip jie susiję tarpusavyje (nuo jų susietumo savybės): kuris tiltas ką sujungia (salas ar krantus). Ši problema, dabar žinoma kaip [[Septyni Karaliaučiaus tiltai|Septynių Karaliaučiaus tiltų]] problema, laikoma įžanginiu [[grafų teorija|grafų teorijos]] pavyzdžiu.
[[Image:Mug and Torus morph.gif|thumb|right|240px|Tolydi (homeomorfinė) puodelio transformacija į [[toras|torą]] ir atgal.]]
Panašiai, algebrinėje topologijoje teigiama, kad neįmanoma sušukuoti plaukuoto kamuolio, nesudarant verpetų. Šis faktas gana akivaizdus kiekvienam bandančiam praktiškai, nors ne matematikas gali nepastebėti apibendrinančios šio reiškinio galios: [[sfera|sferos]] paviršiuje neįmanoma nubrėžti neatitrūkstančių liestinių [[vektorius|vektorių]]. Kaip ir Karaliaučiaus tiltų atveju, rezultatas nepriklauso nuo sferos pavidalo - taisyklė galioja bet kokiam tolydžiam gniužului (burbului), jei tik šis neturi kiaurymių.
Kad būtų išspręstos tokios užduotys, kai jos nepriklauso nuo konkretaus objekto pavidalo, reikia tik aiškiai žinoti, nuo kokių savybių ''iš tiesų'' priklauso sprendimas. Toks poreikis privertė suformuluoti homeomorfizmo sąvoką. Įrodžius, kad Karaliaučiaus tiltų neįmanoma pereiti einant išimtinai tik po vieną kartą per kiekvieną tiltą, kartu įrodoma, kad bet kokios konfigūracijos, homeomorfinės šių tiltų išsidėstymui, apėjimui galioja ta pati taisyklė, o sferos sušukavimo taisyklė galioja bet kurai erdvei, kuri yra homeomorfinė sferai.
Intuityviai suvokiame, kad dvi erdvės yra viena kitai homeomorfiškos, jei iš vienos galima suformuoti kitą paprasto transformavimo būdu, nekerpant ir neklijuojant. Yra tradicinis anekdotas, kad topologas neskiria kavos puodelio nuo riestainio, nes pakankamai tąsų riestainį visai įmanoma performuoti į puodelį vien tik išduobus jį ir atitinkamai ištempus bei supaudus kilpą, kad būtų patogi rankenėlė.
Homeomorfizmą dera laikyti labiausiai pamatiniu ''topologiniu ekvivalentiškumu''. Kita dažna atitiktis yra ''homotopinis ekvivalentiškumas''. Nesileidžiant į matematines išraiškas, jį apibrėžti yra sunkiau, bet esmė ta, kad du objektai yra homeotopiški, jei jie abu gaunami „minkant“ didesnį objektą.
{| class="wikitable" border=1
|-
! colspan="2" | Lotynų abėcėlės topologinio ekvivalentiškumo klasės:
|-
! Homeomorfinis ekvivalntiškumas
! Homotopinis ekvivalntiškumas
|-
| style="vertical-align: top" | [[Image:alphabet homeo.png|270px]]
| style="vertical-align: top" | [[Image:alphabet homotopy.png|300px]]
|}
Dažnai duodamas pradinis pratimas, kurio metu reikia suklasifikuoti didžiąsias [[lotynų abėcėlė]]s raides pagal jų homeomorfiškumą ir homotopiškumą. Žinoma, rezultatai neišvengiamai yra šiek tiek priklausomi nuo naudojamo šrifto. Lentelėje pateikiamas suskirstymas, kai raidės parašytos „Myriad“ [[šriftas|šriftu]]. Homotopinis ekvivalentiškumas yra mažiau detalizuotas; homotopinės klasės gali apimti kelias homeomorfines klases. Aiškiausias homotopijos pavyzdys čia yra „O“ ir „P“ raidės: O telpa į P kilpą, o P uodegėlę galima ištempti iš O šono.
==Bendros sąvokos==
===Aibių topologiškumas===
Neformaliai, topologija rodo, kaip aibės elementai yra tarpusavyje susiję erdvėje. Iš tos pačios aibės galima gauti skirtingas topologines konfigūracijas. Pavyzdžiui, koordinatinė [[realiusis skaičius|realiųjų skaičių]] ašis, [[kompleksinis skaičius|kompleksinių skaičių]] [[plokštuma]] ir ''Kantoriaus aibė'' gali būti laikoma viena ir ta pačia aibe, išreiškšta skirtingais topologiniais būdais.
Formaliai, tegul ''X'' yra aibė ir tegul ''τ'' yra ''X'' aibės poaibių šeima. Tuomet ''τ'' yra vadinama ''X aibės topologija'', tuomet:
# tuščioji ir ''X'' aibės yra ''τ'' elementai;
# bet kuris junginys iš ''τ'' aibės elementų yra ''τ'' elementas;
# bet kuri sankirta iš baigtinio skaičiaus ''τ'' aibės elementų yra ''τ'' elementas.
Kai ''τ'' yra topologija aibei ''X'', tuomet pora (''X'', ''τ'') yra vadinama ''topologine erdve''. O užrašu ''X<sub>τ</sub>'' galima žymėti aibę ''X'', kai jai yra suteikta konkreti topologija ''τ''.
Aibė, kurios topologija yra nusakyta, yra vadinama ''topologine erdve''.
===Daugdaros===
{{Main|Daugdara}}
kadangi topologinės erdvės gali būti nepaprastai įvairios ir netgi keistos, daugelyje topologijos sričių pasitelkiamos geriau išnagrinėtos erdvės, vadinamos daugdaromis ({{en|manifold}}). '''Daugdara''' yra tokia topologinė erdvė, kurios kiekvieno taško aplinka primena [[euklidinė erdvė|euklidinę erdvę]]. Jei formuluosime tiksliau, kiekvienas ''n''-matės daugdaros taško aplinka yra homeomorfiška ''n''-matei euklidinei erdvei. [[Tiesė]]s ir [[apskritimas|apskritimai]] yra vienmatės daugdaros, bet ''aštuoniukės'' kreivė tokia nėra. Dvimatės daugdaros dar yra vadinamos [[paviršius|paviršiais]]. Pavyzdžiai gali būti [[plokštuma]], [[sfera]] ir [[toras]], kuriuos visus galima realizuoti trimatėje erdvėje, bet dvimatės daugdaros yra ir [[Kleino butelis]] bei ''realioji projekcinė plokštuma'', kurių realizuoti trimatėje erdvėje neįmanoma.
==Taikymai==
===Biologija===
Topologijos šaka ''mazgų teorija'' yra naudojama biologijoje tiriant kai kurių fermentų poveikį DNR. Šie fermentai padeda karpyti, pasukti ir kitaip sukabinti DNR fragmentus, leisdami deramai keisti molekulės susimazgymo tempą<ref>Colin Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. 2004</ref>. Be topologijos negali apsieiti ir [[evoliucinė biologija]], kurioje reikia patikimai nustatyti ryšius tarp ''fenotipo'' ir ''genotipo''<ref>[http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022519301924233#|The Topology of the Possible: Formal Spaces Underlying Patterns of Evolutionary Change]</ref>. Fenotipinės variacijos, kurios išoriškai gali atrodyti skirtingos, genotipiškai gali skirtis tik keliomis mutacijomis, priklausomai nuo to, kaip rūšies raidos metu genetiniai pokyčiai veikia fenotipą - tai padeda nustatyti topologija.
===Kompiuterija===
Topologinės duomenų analizės metu naudojami algebrinės topologijos metodai, leidžiantys nustatyti didelių struktūrų aibes (pavyzdžiui, rasti, ar taškų debesis yra sfera, ar toras). Šios analizės metu naudojami tokie metodai:
# Duomenų taškai pakeičiami [[simpleksas|simplicinių]] kompleksų šeimomis, kurias lengva indeksuoti pagal panašumą.
# Topologiniai kompleksai analizuojami naudojant algebrinę topologiją<ref name=carlsson2009>{{cite journal|url=http://www.ams.org/bull/2009-46-02/S0273-0979-09-01249-X/S0273-0979-09-01249-X.pdf|title=Topology and data|author=Gunnar Carlsson|journal=BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY|volume=46|issue=2|date=April 2009|pages=255–308|doi=10.1090/S0273-0979-09-01249-X}}</ref>.
# Tam tikrą homologiją turintys duomenų elementai koduojami ''Beti skaičiais''.
===Fizika===
Fizikoje topologija naudojama labai plačiai, ypač kvantinėje mechanikoje ir kosmologijoje. Yra net išskiriama atskira ''topologinė kvantinių laukų teorija'', kurioje tiriami topologiniai invariantai. Beje, nors pastarąją teoriją išrado fizikai, ji smarkiai sudomino ir matematikus, kadangi atvėrė naujovių mazgų teorijoje ir keturmačių daugdarų tyrimuose bei kitose srityse. Topologinės lauko teorijos srityje dirbantys mokslininkai yra sulaukę ypatingo pripažinimo pasauliniu mastu (apdovanoti Fildso premija).
Kosmologijoje topologija pasitelkiama mėginant apibrėžti visatos pavidalą ir būsenas<ref>''The Shape of Space: How to Visualize Surfaces and Three-dimensional Manifolds'' 2nd ed (Marcel Dekker, 1985, ISBN 0-8247-7437-X)</ref>. Ši sritis dar vadinama ''erdvėlaikio topologija''.
=== Robotika ===
Skirtingas robotų veikimo padėtis galima formalizuoti pasitelkiant daugdarų, vadinamų ''konfigūracijos erdve'', galimybes<ref>John J. Craig, '''Introduction to Robotics: Mechanics and Control''', 3rd Ed. Prentice-Hall, 2004</ref>. Taip projektuojami robotų lankstų (sąnarių) judesių algoritmai, leidžiantys kurti atitinkamas pozas ir padėtis.
==Išnašos==
{{reflist|2}}
[[Kategorija:Topologija| ]]
| |||