Vikipedija

Matrica (matematika): Skirtumas tarp puslapio versijų

Naršyti istoriją interaktyviai
← Prieš tai darytas keitimasKitas pakeitimas →
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
VizualusVikitekstas
S Atmestas 62.212.207.137 pakeitimas, grąžinta ankstesnė versija (MerlIwBot keitimas)
Papildyta informacija apie matricų daugyba, pridėtas skyrelis apie operacijų savybes, pataisyti kai kurie netikslumai
Eilutė 3:
== Apibrėžimai ir žymėjimas ==
 
Matricą sudaro '''eilutės''' ir '''stulpeliai'''. Jeigu matricą sudaro ''m'' eilučių ir ''n'' stulpelių, ji vadinama [''m×nm'' × ''n''] dydžio (arba [mxn''m'' × ''n''] formato) matrica. ''i - osios'' eilutės ir ''j - osiosotojo'' eilučiųstulpelio sankirtoje esantis elementas paprastai žymimas ''a''<sub>i, jij</sub>. arbaPavyzdžiui, jeigupirmosios turimeeilutės matricąir antrojo stulpelio sankirtoje esantis elementas žymimas ''Aa'',<sub>12</sub> –(skaitoma ''A[i"a vienas du", j]''o ne "a dvylika"). Jeigu vienas iš matricos matmenų lygus vienetui, ji vadinama ''[[Vektorius|vektoriumi]]''.
 
Dvi to paties dydžio matricos vadinamos '''lygiomis''', jei jų atitinkami elementai yra lygūs:
''A = B'', jei (''a<sub>ij</sub>) = (b<sub>ij</sub>)'' visiems ''i'' ir ''j''.
 
== Pavyzdys ==
Eilutė 14:
4 & 10 & 0 & 1\end{bmatrix}</math>
 
Matrica ''A'' yra 2×4 dydžio; ją sudaro dvi eilutės (''m'' = 2) ir keturi stulpeliai (''n'' = 4).
 
== Operacijos su matricomis ==
Eilutė 20:
=== Matricų sudėtis ir atimtis ===
 
Matricas galima tarpusavyje atimti ar sudėti, jeigu jų dydžiai sutampa, tai yra,t.y jas sudaro vienodas eilučių ir stulpelių skaičius. Rezultate gaunasi tokio pat dydžio matrica, kurios kiekvienas elementas gaunamas atliekant operaciją su atitinkamais sudedamų (atimamų) matricų elementais. Pavyzdžiui, jeigu turime dvi matricas ''A'' ir ''B'', kurių dydis m×n[''m'' × ''n''], tuomet jų suma apskaičiuojama sudedant atitinkamus kiekvienos matricos elementus (su sutampančiais indeksais):, t.y jei (''C = A + B'')[''i, jtai '']c<sub>ij</sub> = ''A''[''i, j'']a<sub>ij</sub> + b<sub>ij</sub>''B''[''i, j''].
 
Atimties pavyzdys:
Eilutė 36:
</math>
 
: <math>A - B=
\begin{bmatrix}
2 & 0 & -1 & 4\\
Eilutė 60:
=== Matricų daugyba ===
 
Matricas galima dauginti tarpusavyje, jeigu sutampamatricos jųyra vidiniai matmenyssuderintos. JeiguTai turimereiškia, kad matricą ''A'' = (''a<sub>ik</sub>''), kurios dydis – [''m'' × ''s''], tuomet ją galima dauginti iš tokios matricos ''B''=(''b<sub>kj</sub>''), jeigukurios eilučių skaičius sutampa su matricos A stulpelių skaičiumi, t.y matricos B dydis turi būti [''s'' × ''n'']. Sudauginus ''A'' ir ''B'' matricas, gaunama [''m'' × ''n''] formato matrica ''C'' = (''c<sub>ij</sub>''), kurios kiekvienas elementas apskaičiuojamas pagalt.y formulę:
: <math> A_{[m \times s]} \times B_{[s \times n]} = C_{[m \times n]}</math>.
Kiekvienas matricos ''C'' elementas ''c<sub>ij</sub>'' yra apskaičiuojamas pagal formulę:
: <math>c_{ij} = \sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{is}b_{sj}</math>,
 
čia 1 ≤ ''i'' ≤ ''m'' ir 1 ≤ ''j'' ≤ ''n''.
: <math>c_{ij} = \sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj}</math>
 
čia 1 ≤ i ≤ m ir 1 ≤ j ≤ n
 
: <math>\,\!
(AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + ... + A[i,n] B[n,j]
</math>
Galima dauginti tik tas matricas, kada ''pirmos matricos'' '''stulpelių skaičius''' lygus ''antros matricos'' '''eilučių skaičiui'''.
 
Pavyzdžiai:
 
Pavyzdys:
Apskaičiuokime matricą ''C = AB'', kai
: <math>A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1\end{bmatrix},
B=\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1 \\
1 & 0\end{bmatrix}</math>
Pirmiausia turime įsitikinti, jog daugybą atlikti galima. Šiuo atvėju matricos ''A'' dydis yra [2 × 3], o matricos ''B'' - [3 × 2], taigi matricos yra suderintos, nes 3 = 3. Gausime matricą ''C'', kurios dydis yra [2 × 2]. Turime
: <math>
C = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1 \\
eilutė 101 ⟶ 105:
</math>
 
Labai svarbi matricų daugybos savybė yra ta, kad bendruoju atvėju ''AB ≠ BA'', t.y matricų daugyba yra nekomutatyvi. Tai reiškia, kad dauginant matricas būtina atsižvelgti į jų tvarką.
 
Pavyzdys:
Apskaičiuokime matricą ''D = BA'', kai
: <math>A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1\end{bmatrix},
B=\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1 \\
1 & 0\end{bmatrix}</math>
Įsitikiname, jog daugybą atlikti galima. Šiuo atvėju matricos ''B'' dydis yra [3 × 2], o matricos ''A'' - [2 × 3], taigi matricos yra suderintos, nes 2 = 2. Gausime matricą ''D'', kurios dydis yra [3 × 3]. Turime
: <math>
D = \begin{bmatrix}
5 & -1 & 3 & 1 \\
2 & 0 & -1 & 4 \\
1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
-1 & 30 & 02 \\
-21 & 13 & 1 \\
\end{bmatrix} 3 & 0 & -2 \\
4 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}
=
</math>
: <math>
=
\begin{bmatrix}
 
( 53 \times (-1) + (- 1) \times (-21)) & ( 3 \times 0 + 31 \times 3) & ( 3 \times 2 + 1 \times 41)\\
& ( 52 \times 31 + 1 \times (-1)) & ( 2 \times 10 + 1 \times 3) & ( 2 \times 02 + 1 \times 1)\\
& ( 51 \times 01 + 0 \times (-1)) & ( 1 \times 10 + 30 \times 3) & (- 1 \times 2) ) + 0 \times 1)\\
 
(2 \times (-1) + 0 \times (-2) + (-1) \times 3 + 4 \times 4)
& (2 \times 3 + 0 \times 1 + (-1) \times 0 + 4 \times 1)
& (2 \times 0 + 0 \times 1 + (-1) \times (-2) + 4 \times 2) \\
 
\end{bmatrix}
=
</math>
: <math>
=
\begin{bmatrix}
102 & 153 & -7 \\
111 & 103 & 105 \\
1 & 0 & 2 \\
\end{bmatrix}
</math>
Kaip matome ''C ≠ D''.
 
Matricos, kurioms galioja lygybė ''AB = BA'' vadinamos '''komutuojančiomis'''. Pavyzdžiui
 
: <math>
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\ 1 & 0 & -3 & 1 \\
2 & 1 & 5 \\
-4 & 0 & -2 \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
5 & 2 \\ 2 & 3 1 \\
\end{bmatrix} -2 \\
2 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 & 2 \\ 2 & 1 \\
 
\end{bmatrix}
( 0 \times 3 - 3 \times (-2) + 1 \times 2) \\
( 2 \times 3 + 1 \times (-2) + 5 \times 2) \\
 
(-4 \times 3 + 0 \times (-2) + (-2) \times 2) \\
 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
8 \\
14 \\
-16 \\
\end{bmatrix}
</math>
 
 
: <math>
\begin{bmatrix}
5 & 1 & 0 & -3 \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\ 21 & 0 \\
1 & -4 \\
3 & 1 \\
0 & -1 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
12 & 5\\
 
( 5 \times& 2 + 1 \times 1 + 0 \times 3 - 3 \times 0 )
& ( 5 \times 0 + 1 \times (-4) + 0 \times 1 - 3 \times (-1) ) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
11 & -1 \\
\end{bmatrix}
</math>
 
=== Operacijų su matricomis savybės ===
Matricų sudėčiai bei matricų daugybai galioja šios savybės:
: <math> A + B = B + A</math>, t.y matricų sudėtis yra komutatyvi;
: <math> AB \neq BA</math>, t.y matricų daugyba yra nekomutatyvi;
: <math> A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C</math>, t.y matricų sudėtis yra asociatyvi.
Kadangi matricų daugyba yra nekomutatyvi, šiam veiksmui galioja šie asociatyvumo dėsniai:
: <math> A(BC) = (AB)C = ABC</math>
: <math> (BC)A = B(CA) = BCA</math>
Taigi dauginant daugiau negu dvi matricas daugybų tvarka yra nesvarbi. Svarbi yra tik matricų tvarka.
 
Dėl matricų daugybos nekomutatyvumo galioja šie distributyvumo dėsniai:
: <math>\begin{pmatrix}
: <math> A(B + C) = AB + 3 \\AC</math>
: <math> (B + C)A = BA + 5 \\CA</math>
0 \\
7 \\
\end{pmatrix}\times
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3 & 6 & 9 \\
5 &10 &15\\
0 &0&0\\
7 &14&21 \\
\end{pmatrix}
</math>
 
 
: <math>\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
4 &3 \\
1 &0 \\
\end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
2 & 4 \\
3 &2 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\cdot 2 + 5\cdot 3 & 2\cdot 4+5\cdot 2 \\
4\cdot 2+3\cdot 3 &4\cdot 4+3\cdot 2 \\
1\cdot 2+0\cdot 3 &1\cdot 4+0\cdot 2\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
19 & 18 \\
17 &22 \\
2 &4\\
\end{pmatrix}</math>
 
 
: <math>\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 &4 \\
5 &6 \\
\end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix}
7 & 8 \\
9 &0 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\cdot 7 + 2\cdot 9 & 1\cdot 8+2\cdot 0 \\
3\cdot 7+4\cdot 9 &3\cdot 8+4\cdot 0 \\
5\cdot 7+6\cdot 9 &5\cdot 8+6\cdot 0\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
25 & 8 \\
57 &24 \\
89 &40\\
\end{pmatrix}</math>
 
=== Matricų ir skaliarų daugyba ===
 
Skaliaro ''k'' ir matricos A=(a<sub>ij</sub>) sandauga vadinama matrica B=(b<sub>ij</sub>), kur b<sub>ij</sub>=ka<sub>ij</sub>:
 
: <math>
kA = B =\begin{bmatrix}
ka_{11} & ka_{12} & ... & ka_{1n}\\
ka_{21} & ka_{22} & ... & ka_{2n}\\
... & ... & ... & ...\\
ka_{m1} & ka_{m2} & ... & ka_{mn}
\end{bmatrix}
</math>
: <math>2
\begin{bmatrix}
1 & 8 & -3 \\
4 & -2 & 5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & 16 & -6 \\
8 & -4 & 10
\end{bmatrix}
</math>
 
== Matricų tipai ==
 
* '''Nulinė matrica''' – matrica, kurios visi elementai nuliai.
* '''Vienetinė matrica''' – matrica, kurios visi elementai pagrindinėje įstrižainėje lygūs 1, o likusieji elementai lygūs 0. Vienetinė matrica žymima ''E'' (kartais žymima ''I'').
* '''Išsigimusi matrica''' – matrica, kurios [[determinantas]] lygus nuliui. Be to, ji neturi sau atvirkštinės.
* '''Kvadratinė matrica''' – matrica su vienodu eilučių ir stulpelių skaičiumi. Kvadratinės matricos turi įstrižaines. Įstrižainė, kertanti kvadratinės matricos elementus nuo viršutinio kairiojo kampo iki apatinio dešiniojo, vadinama pagrindine, o nuo viršutinio dešiniojo kampo iki apatinio kairiojo – šalutine.
* '''Transponuota matrica''' – matrica, kurios eilutės ir stulpeliai sukeisti vietomis. Žymima ''A<sup>T</sup>''
* Kvadratinės matricos ''A'' '''atvirkštinė matrica''' – matrica ''A''<sup>-1</sup> , tenkinanti lygybes ''AA''<sup>-1</sup> = ''A''<sup>-1</sup>''A'' = ''E''
* '''Simetrinė matrica''' – matrica, sutampanti su savo pačios transponuota matrica.
* '''Trikampė matrica''' – matrica, kurios visi elementai virš (žemiau) pagrindinės įstrižainės lygūs 0.
Rodomas puslapis "https://lt.wikipedia.org/wiki/Matrica_(matematika)"