02:50, 13 liepos 2012 versija žiūrėti šaltinį MastiBot (aptarimas \| indėlis) Botai 15 327 keitimai S r2.7.2) (robotas Keičiama: sn:Gonyonhatu ← Prieš tai darytas keitimas		21:23, 19 sausio 2013 versija žiūrėti šaltinį Mymis (aptarimas \| indėlis) 2 571 keitimas S vikifikuota Kitas pakeitimas →
Eilutė 1: {{otheruses\|Trikampis}} [[Vaizdas:Triangle illustration.svg\|right\|thumb\|Trikampis]] '''Trikampis''' – paprasčiausias [[daugiakampis]], turintis tris viršūnes ir tris jas jungiančias kraštines. Visų trikampio vidinių kampų suma lygi 180 laipsnių. [[Euklido geometrija\|Euklido geometrijoje]] bet kokie trys ne vienoje linijoje esantys taškai nusako unikalų trikampį ir unikalią [[Plokštuma\|plokštumą]] Eilutė 11: Pagal kraštines trikampiai skirstomi į tris rūšis: įvairiakraščius, lygiašonius ir lygiakraščius. '''Įvairiakraštis trikampis''' – trikampis, kurio visos kraštinės skirtingo ilgio. '''Lygiašonis trikampis''' – trikampis, kurio dvi kraštinės tokio pat ilgio. Jos vadinamos ''šoninėmis kraštinėmis'', o trečioji – ''pagrindu''. Lygiašonio trikampio kampai prie pagrindo lygūs. Lygiašonio trikampio aukštinė, pusiaukampinė ir pusiaukraštinė, nubrėžtos į pagrindą sutampa. '''Lygiakraštis trikampis''' – trikampis, kurio visos kraštinės lygios. Visi lygiakraščio trikampio kampai taip pat lygūs. Žinant lygiakraščio trikampio kraštinės ilgį '''a''', jo plotas randamas pagal formulę Eilutė 30: Pagal kampus trikampiai gali būti smailieji, statieji arba bukieji. === Statusis trikampis === [[Vaizdas:Right triangle2.png\|thumb\|300px\|right\|Statusis trikampis ir jo elementai]] '''Statusis trikampis''' – trikampis, kurio vienas kampas yra status. Dešinėje pavaizduoto stačiojo trikampio ABC elementai: : α, β – smailieji trikampio kampai;<br /> : a, b -statiniai;<br /> :c c – įžambinė;<br /> : <math>h_c</math> aukštinė, nuleista iš stačiojo kampo viršūnės C į įžambinę;<br /> : <math>a_c</math> statinio a projekcija įžambinėje;<br /> : <math>b_c</math> statinio b projekcija įžambinėje;<br /> : <math>\angle CAD=\angle BCD= \alpha\;</math>; <math>\angle CBD=\angle ACD= \beta\;</math><br /> Stačiojo trikampio statinis yra įžambinės ir to statinio [[Projekcija\|projekcijos]] įžambinėje [[geometrinis vidurkis]]:<br /> : <math> a^2=ca_c\;</math>; <math> b^2=cb_c\;</math><br /> Stačiojo trikampio aukštinė, nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės, yra statinių projekcijų įžambinėje geometrinis vidurkis:<br /> : <math>h_c^2=a_cb_c\;</math> Prieš statųjį kampą esanti stačiojo trikampio kraštinė vadinama ''įžambine''. Statųjį kampą sudarančios stačiojo trikampio kraštinės vadinamos ''statiniais''. Stačiojo trikampio kraštinių ilgius sieja sąryšis, vadinamas [[Pitagoro teorema]]: eilutė 54 ⟶ 55: : <math> S = \frac{c h_c}{2} \;</math>; <math> S = \frac{a b}{2} . \;</math> Jeigu trikampis yra status, tai jam galioja tokia taisyklė. Aukštinė, pakelta kvadratu, padalinusi trikampio pagrindą į dvi dalis yra lygi tų dviejų dalių sandaugai. : <math>h_c^2=a_c\cdot b_c.</math> === Smailusis ir bukasis trikampiai === eilutė 71 ⟶ 72: == Trikampio ploto apskaičiavimas == [[Vaizdas:Triangle.GeometryArea.svg\|300px\|thumb\|Trikampio plotas yra lygus pusei tokį patį aukštį ir pagrindo ilgį turinčio [[lygiagretainis\|lygiagretainio]] ploto.]] Geriausiai žinoma ir paprasčiausia trikampio ploto formulė yra : <math>S=\frac{1}{2}bh</math> Čia '''S''' yra plotas, '''b''' - – trikampio pagrindo ilgis, '''h''' - – trikampio aukštinė.{{clear}} [[Vaizdas:Triangle.TrigArea.svg\|right\|200px]] Trikampio aukštinė '''h''' gali būti randama panaudojant trigonometriją. Vartojant tokį patį žymėjimą kaip dešinėje esančiame brėžinyje, trikampio aukštinės formulė yra '''h = a sin γ'''. Formulėje '''S = ½bh''' vietoje '''h''' įrašę '''a sin γ''' gauname kitą trikampio ploto formulę: : <math>S = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}ca\sin \beta,</math> : <math>h=a\cdot \sin\gamma,</math> Čia α yra vidinis trikampio viršūnės A kampas, β - – viršūnės B kampas ir γ - – viršūnės C kampas. Be to, '''sin α = sin (''π'' - – α) = sin (β + γ)''' ir t. t., todėl: : <math>S = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).</math> === Herono formulė === eilutė 94 ⟶ 95: == Trikampio kraštinių ir kampų apskaičiavimas == === Trigonometrinės funkcijos === [[Trigonometrija#Trigonometrinės funkcijos\|Trigonometrinės funkcijos]] gali būti naudojamos stataus trikampio kraštinės ilgiui apskaičiuoti, kai yra žinomi trikampio kampai ir kuri nors viena kraštinė. Trigonometrines funkcijas galima apibrėžti taip (žymėjimai naudojami pagal dešinėje esantį trikampį): '''Sinusas''' yra kraštinės esančios prieš kampą ir įžambinės santykis:[[Vaizdas:Rtriangle.png\|240px\|right]] <math>\sin {A} = \frac{a}{c} \;</math> <math>; \ sin {B} = \frac{b}{c} \;</math> '''Kosinusas''' yra kraštinės esančios šalia kampo ir įžambinės santykis: eilutė 110 ⟶ 112: <math>tg {A} = \frac{a}{b} \;</math> <math>; \ tg {B} = \frac{b}{a} \;</math> Taigi, jeigu, pavyzdžiui, žinome, kad kampas B = 60° ir kraštinė a = 5 cm, įžambinės c ilgį galime rasti pasinaudoję formule ''cos B = a/c'', nes iš jos išplaukia, kad ''c = a/cos B = 5 cm/cos(60°) = 5 cm/0,5 = 10 cm. === Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos === eilutė 118 ⟶ 120: '''Arksinusas''' gali būti naudojamas apskaičiuoti kampui, kai yra žinomas stataus trikampio įžambinės ilgis ir kraštinės prieš ieškomą kampą ilgis. Kampas α yra lygus kraštinės prieš kampą α ir įžambinės santykio arksinusui: : <math>\alpha = \arcsin\frac{b}{c}</math> Atitinkamai, kampas β lygus kraštinės prieš kampą β ir įžambinės santykio arksinusui: : <math>\beta = \arcsin\frac{a}{c}</math> Kampas α taip pat yra lygus kraštinės šalia kampo α ir įžambinės santykio '''arkkosinusui''': : <math>\alpha = \arccos\frac{a}{c}</math> '''Arktangentas''' gali būti naudojamas apskaičiuoti kampams, kai yra žinomi abejų statinių ilgiai: : <math>\alpha = \arctan\frac{b}{a} ; \ \beta = \arctan\frac{a}{b}</math> Kartais įžangoje į trigonometriją vietoje ''arcsin, arcos ir arctan'' rašoma atitinkamai ''sin<sup>−1</sup>, cos<sup>−1</sup>'' ir ''tan<sup>−1</sup>''. Aukštojoje matematikoje toks žymėjimas paprastai nenaudojamas, nes užrašą ''sin<sup>−1</sup> (α)'' galima interpretuoti ir kaip ''1/sin (α)''. eilutė 138 ⟶ 140: ''Kosinusų teorema'' dažniausiai naudojama rasti bet kokio trikampio kraštinėms ir (arba) kampus žinant dvi kraštines ir kampą tarp jų arba visas tris kraštines: : <math>a^2\ = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)</math> : <math>b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta)</math> : <math>c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)</math> '''a''', '''b''' ir '''c''' – kraštinių ilgiai, '''α''' – kampas tarp kraštinių '''b''' ir '''c''', '''β''' – kampas tarp kraštinių '''a''' ir '''c''', '''γ''' – kampas tarp kraštinių '''a''' ir '''b'''. Jei trikampis statusis, tai vienanaris : <math>2ab \cos (\alpha) \;</math> virsta nuliu, nes 90 laipsnių kosinusas lygus nuliui. Tuomet kosinusų teorema tampa Pitagoro teorema. Dėl to ji kartais vadinama ''apibendrintąja Pitagoro teorema''. Jei yra žinomi visų trijų trikampio kraštinių ilgiai, kampai gali būti apskaičiuoti pagal formules: : <math>\alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)</math> : <math>\beta=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)</math> : <math>\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)</math> Šios formulės yra nesunkiai išvedamos iš kosinusų teoremos. [[Vaizdas:Sinilause1.jpg\|right\|240px]] === Sinusų teorema === Pagal ''sinusų teoremą'' galima rasti trikampio kraštines ir kampus žinant du kampus ir bent vieną kraštinę: : <math>\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R</math> '''a''', '''b''' ir '''c''' – kraštinių ilgiai,'''α''', '''β''' ir '''γ''' – prieš jas esančių kampų dydžiai, o '''r'''- spindulys apibrėžtinio [[Apskritimas\|apskritimo]]. == Nuorodos == * [http://jwilson.coe.uga.edu/EMT725/Heron/HeronProofAlg.html Herono formulės įrodymas taikant pitagoro teoremą] * [http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.2000/Umberger/MATH7200/HeronFormulaProject/GeometricProof/geoproof.html Herono formulės įrodymas taikant trigonometriją ir kampus] * [http://www2.warwick.ac.uk/services/elearning/mathsfit/trigonometry/3/ast3nb.pdf Kosinusų teoremos įrodymas, PDF]

Trikampis: Skirtumas tarp puslapio versijų