Rutulys: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Nėra keitimo santraukos |
|||
Eilutė 11:
:V - rutulio [[tūris]],
:r - rutulio [[spindulys]].
==Rutulio tūrio įrodymas==
Suskirstome pusė rutulio tūrio į 10 ploksčių dalių, kai spindulys r=1. Kiekvienos plokštės aukštis h=r/10=1/10. Iš formulės <math>x=\cos(A)=\sqrt{1-\sin^2(A)}=\sqrt{1-y^2}.</math> Ir ploksčių spinduliai pvz, <math>r_1=r</math>, <math>r_2=\sqrt{1-y_2^2}=\sqrt{1-0.1^2}</math>, <math>r_3=\sqrt{1-y_3^2}=\sqrt{1-0.2^2}</math>, <math>r_4=\sqrt{1-y_4^2}=\sqrt{1-0.3^2}</math> ir taip toliau.
:<math>V_1=h\pi r^2=\pi r^2 /10=\pi/10=0.1\pi</math>,
:<math>V_2={\pi\over 10}\cdot (\sqrt{1-0.1^2})^2={\pi(1-0.01)\over 10}=\pi 0.99/10=0.099\pi</math>,
:<math>V_3=h\pi(1-0.2^2)=\pi(1-0.04)/10=0.96\pi/10=0.096\pi</math>,
:<math>V_4=h\pi(1-0.3^2)=\pi(1-0.09)/10=0.91\pi/10=0.091\pi</math>,
:<math>V_5=h\pi(1-0.4^2)=\pi(1-0.16)/10=0.84\pi/10=0.084\pi</math>,
:<math>V_6=h\pi(1-0.5^2)=\pi(1-0.25)/10=0.75\pi/10=0.075\pi</math>,
:<math>V_7=h\pi(1-0.6^2)=\pi(1-0.36)/10=0.64\pi/10=0.064\pi</math>,
:<math>V_8=h\pi(1-0.7^2)=\pi(1-0.49)/10=0.51\pi/10=0.051\pi</math>,
:<math>V_9=h\pi(1-0.8^2)=\pi(1-0.64)/10=0.36\pi/10=0.036\pi</math>,
:<math>V_{10}=h\pi(1-0.9^2)=\pi(1-0.81)/10=0.19\pi/10=0.019\pi</math>.
O visas rutulio tūris apytiksliai lygus:
:<math>V=2(V_1+V_2+V_3+V_4+V_5+V_6+V_7+V_8+V_9+V_{10})=2\pi(0.1+0.099+0.096+0.091+0.084+0.075+0.064+0.051+0.036+0.019)=2 \pi 0.715=1.43\pi=4.49</math>.
Gana arti rezultatui:
:<math>V={4\over 3}\pi r^3={4\pi\over 3}\cdot 1^3=4.18879.</math>
:Padalinus į daugiau dalių atsakymas butų tikslesnis.
==Rutulio paviršiaus ploto įrodymas==
Suskirstome pusė rutulio į 10 žiedų, kai spindulys r=1. Kiekvieno žiedo aukštis h=r/10=1/10. Iš formulės <math>x=\cos(A)=\sqrt{1-\sin^2(A)}=\sqrt{1-y^2}.</math> Ir žiedų spinduliai pvz, <math>r_1=r</math>, <math>r_2=\sqrt{1-y_2^2}=\sqrt{1-0.1^2}</math>, <math>r_3=\sqrt{1-y_3^2}=\sqrt{1-0.2^2}</math>, <math>r_4=\sqrt{1-y_4^2}=\sqrt{1-0.3^2}</math>, ... <math>r_{10}=\sqrt{1-y_{10}^2}=\sqrt{1-0.1^2}</math>.
:<math>V_1=h\pi 2 r=2\pi r /10=2\pi/10=0.2\pi</math>,
:<math>V_2={2\pi\over 10}\cdot \sqrt{1-0.1^2}={\pi\over 5}\cdot \sqrt{0.99}=\pi 0.9949874/5=0.198997\pi</math>,
:<math>V_3=h2\pi(1-0.2^2)^{0.5}=2\pi(1-0.04)^{0.5}/10=0.96^{0.5}\pi/5=0.195959\pi</math>,
:<math>V_4=h2\pi(1-0.3^2)^{0.5}=2\pi(1-0.09)^{0.5}/10=0.91^{0.5}\pi/5=0.190788\pi</math>,
:<math>V_5=h2\pi(1-0.4^2)^{0.5}=2\pi(1-0.16)^{0.5}/10=0.84^{0.5}\pi/5=0.183303\pi</math>,
:<math>V_6=h2\pi(1-0.5^2)^{0.5}=2\pi(1-0.25)^{0.5}/10=0.75^{0.5}\pi/5=0.173205\pi</math>,
:<math>V_7=h2\pi(1-0.6^2)^{0.5}=2\pi(1-0.36)^{0.5}/10=0.64^{0.5}\pi/5=0.16\pi</math>,
:<math>V_8=h2\pi(1-0.7^2)^{0.5}=2\pi(1-0.49)^{0.5}/10=0.51^{0.5}\pi/5=0.142828\pi</math>,
:<math>V_9=h2\pi(1-0.8^2)^{0.5}=2\pi(1-0.64)^{0.5}/10=0.36^{0.5}\pi/5=0.12\pi</math>,
:<math>V_{10}=2h\pi(1-0.9^2)^{0.5}=2\pi(1-0.81)^{0.5}/10=0.19^{0.5}\pi/5=0.087178\pi</math>.
O visas rutulio paviršiaus plotas apytiksliai lygus:
:<math>V=2(V_1+V_2+V_3+V_4+V_5+V_6+V_7+V_8+V_9+V_{10})=2\pi(0.1+0.198997+0.195959+0.190788+0.183303+0.173205+0.16+0.142828+0.12+0.087178)=2 \pi 1.652258=3.304516\pi=10.381443</math>.
Gana arti rezultato:
:<math>V=4\pi r^2=4\pi\cdot 1^2=12,56637.</math>
:Padalinus į daugiau dalių atsakymas butų tikslesnis, tačiau atsakymas turėjo gautis didesnis, o ne mažesnis. Matyt oficialiai pripažinta formulė neteisinga, nes tai įrodo ir į aštuonis trikampius padalintas rutulys (antras įrodymas), kai kiekvieno trikampio pagrindas <math>a=\pi/2</math>, o trikampio aukštinė taip pat lygi <math>h=\pi/2</math>. Tuomet visas rutulio paviršiaus plotas lygus:
:<math>S=8\cdot {ah\over 2}=8\cdot {{\pi\over 2}\cdot{\pi\over 2}\over 2}=4\cdot{\pi^2\over 4}=\pi^2=9.8696.</math>
:Bet net šis atsakymas 9,8696 yra truputi didesnis už tikrą sferos paviršiaus plotą, nes bet kurio vieno iš aštuoniu trikampių pagrindas yra teisingas <math>a=0.5\pi</math>, nes toks yra apskritimo lanko ilgis ketvirtosios vir6utin4s dalies. Aukštinė <math>h=0.5\pi</math> taip pat teisinga, nes toks yra apskritimo lankas bet kur. O štai trikampio kraštinės dėl įlenkimų (pagrindo ir aukštinės) yra trumpesni nei turėtų būti tokio trikampio su aukštine <math>h=0.5\pi</math> ir pagrindu <math>a=0.5\pi</math>. Ir dėl to, kad kraštinės kiekvieno iš 8 trikampių yra trumpesnės ir lygios <math>\pi</math>/2, seka, kad tikrasis rutulio paviršiaus plotas yra mažesnis už 9,8696 it intuityviai svyruotu tarp 9,8 ir 7,5.
:Bet sferos paviršiaus plotas negali būti mazžesnis už . Nes jei x=r=1 ir y=r=1, tai i=ambin4 lygi pagal pitagoro teorema (<math>a=1^2+1^2)^0.5=2^{0.5}=0.141421</math>, o padalinus šią reikšmę per pusę <math>2^{0.5}/2= 0.7071</math> galime apskaičiuoti aukšinę b=(c^2-a^2)^{0.5}=(1^2 -0.7071)^{0.5}=0.541196. Toliau jau galime rasti šio vieno iš aštuonių trikampio aukštinę <math>h=(r^2+b^2)^{0.5}=(1^2+0.541196^2)^{0.5}=1.1370546</math>. Dabar galime rasti visos sferos minimalų paviršiaus plota koks dar galėtų būti:
:<math>S=8ah/2=8\cdot{1.1370546\sqrt{2}\over 2}=4\cdot 1.608038=6.432152.</math>
Taigi Tikrasis rutulio paviršiaus plotas yra ne daugiau už 10 ir ne mažiau už 6,5.
::Bet čia iš tikrųjų suveikė ižambinės efektas, nes kiekviena dalelė-linija yra pasvyra, o ne stati ''Ox'' ašiai, todėl padalinus į daugiau dalių atsakymas gausis daugiau nei 10 ir mažiau nei 12,56637. Nebent padalinus į daugiau dalių galėtų atsakymas tūkstantają dalimi buti didesnis nei :<math>V=4\pi r^2,</math> bet apskritai tai dar neaisku ar tikrai tokiu budu yra įmanoma apskaičiuoti rutulio paviršiaus plotą dėl to, kad vietoje laiptelių turėtų būti ižambinės ir dėl to atsakymas visada galėtų būti net mažesnis uz 11 ar 10, kai r=1.
{{mat-stub}}
eilutė 16 ⟶ 68:
[[Kategorija:Geometrija]]
[[ca:Bola (matemàtiques)]]
[[en:Ball (mathematics)]]
eilutė 26 ⟶ 77:
[[it:Palla (matematica)]]
[[ja:球]]
[[nl:Bal (wiskunde)]]
[[pl:Kula]]
| |||