Vektorius: Skirtumas tarp puslapio versijų

3 915 baitų pašalinta ,  prieš 11 metų
Atstatyta rugpjūčio 20d versija, išmestas neregistruoto vartotojo pridėtas neenciklopedinis turinys (kuriame net ir rašybos klaidų yra).
(Atstatyta rugpjūčio 20d versija, išmestas neregistruoto vartotojo pridėtas neenciklopedinis turinys (kuriame net ir rašybos klaidų yra).)
 
Pavyzdžiui, vektoriaus '''a'''=(3, -2, 4) ilgis:
:<math> \left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{29}\approx 5.385.</math>
Tas pats gautus ir <math>\sqrt{(\sqrt{3^2+(-2)^2})^2+4^2}=\sqrt{13+16}=\sqrt{29}</math> pagal Pitagoro teoremą ir <math>\sqrt{(\sqrt{3^2+4^2})^2+(-2)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}</math>. Iprastai šis atsakymas reiškia [[Stačiakampis gretasienis|Stačiakampio gretasienio]] įžambinės ilgį tarp dviejų jo tolimiausių kampų.
 
Vektoriaus sandaugos su skaliaru duos:
Kampas tarp dviejų vektorių yra išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą:
:<math>\cos \phi= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}</math>.
:<math>\phi=\arccos\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}.</math>
Matome, jog skaliarinė sandauga yra lygi vieno vektoriaus projekcijos į kitą vektorių ilgiui.
Vektoriaus '''a''' projekcija ''x'' į vektorių '''b''' užrašoma formule:
:<math>x=||\mathbf{a||}\cdot \cosmathbf{b}=\left\phi=||a||\cdot mathbf{a}\cdot bright\over ||a||\cdot |\left\|\mathbf{b||}={a\right\|\cdot b\over ||b||}cos\phi.</math>
:Pavyzdžiui, yra vektoriai a=(2; 3; 4) ir b=(5; 6; 7). Tuomet vektorių skaliarinė sandauga lygi <math>a\cdot b =2\cdot 5+3\cdot 6+4\cdot 7=10+18+28=56</math>. Vektoriaus a ilgis (iš taško (0; 0; 0) iki taško (2; 3; 4)) yra lygus <math>||a||=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}\approx 5,3851648</math>. Vektoriaus b ilgis yra lygus <math>||b||=\sqrt{5^2+6^2+7^2}=\sqrt{25+36+49}=\sqrt{110}\approx 10,488088</math>. Tuomet
:<math>\cos \phi= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}={56\over \sqrt{29} \cdot \sqrt{110}} ={56\over \sqrt{3190}}={56\over 56,48008499}=0.991499924</math>.
:<math>\phi=\arccos\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}=\arccos 0.991499924=0.13047716</math>
arba <math>\phi=7,47579</math> laipsnio.
:<math>x=||a||\cdot \cos\phi=5.385164807\cdot 0.991499924=5.339390497</math>.
:<math>x=||a||\cdot {a\cdot b\over ||a||\cdot ||b||}={a\cdot b\over ||b||}={56\over \sqrt{110}}=5.3393905.</math>
:Iš [[trikampis|kosinusų teoremos]] žinant atstumą tarp taško a=(2; 3; 4) ir taško b=(5; 6; 7) galima patikrinti ar kampas <math>\phi</math> surastas teisingai. Atstumas tarp taško a ir taško b yra lygus <math>f=\sqrt{(5-2)^2+(6-3)^2+(7-4)^2}=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=\sqrt{9+9+9}=\sqrt{27}=5.196152423</math>.
Iš kosinusų teoremos <math>f^2=a^2+b^2-2ab\cos\phi</math>, čia <math>a=\sqrt{29}</math> ir <math>b=\sqrt{110}</math> yra vektorių '''a''' ir '''b''' ilgiai. Taigi <math>2ab\cos\phi=a^2+b^2-f^2</math>, toliau <math>\cos\phi={a^2+b^2-f^2\over 2ab}={(\sqrt{29})^2+(\sqrt{110})^2-(\sqrt{27})^2\over 2\sqrt{29}\cdot\sqrt{110}}={29+110-27\over 2\sqrt{3190}}={56\over \sqrt{3190}}=0.991499924</math>.
 
:Pavyzdis dvimatėje erdvėje su vektoriais a=(3; 4), b=(6; 8) sprendžiamas analogiškai. Vektorių skaliarinė sandauga lygi <math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=3\cdot 6+4\cdot 8=50</math>. Vektorių ilgiai yra <math>||a||=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5</math> ir <math>||b||=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10</math>. Tuomet <math>\cos\phi=\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}={50\over 5\cdot 10}=1</math>. Gavosi, kad <math>\phi=\arccos 1 =0</math> radianų bei laipsnių.
:Sprendžiant taikant kosinusų teoremą, randamas ilgis atkarpos f tarp taškų a ir b, taigi <math>f=\sqrt{(6-3)^2+(8-4)^2}=\sqrt{25}=5</math>. Toliau <math>\cos\phi={a^2+b^2-f^2\over 2ab}={5^2+10^2-5^2\over 2\cdot 5\cdot 10}={100\over 100}=1</math>. Išvada jog vektorių linijos šįsyk sutampa ir vektorius '''b''' yra 2 kartus ilgesnis už vektorių '''a'''.
 
:Pavyzdis, kai duoti vektoriai a=(3; 4), b=(6; 20). Vektorių skaliarinė sandauga lygi <math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=3\cdot 6+4\cdot 20=98</math>. Vektorių ilgiai yra <math>||a||=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5</math> ir <math>||b||=\sqrt{6^2+20^2}=\sqrt{436}\approx 20,88061302</math>. Tuomet <math>\cos\phi=\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}={98\over 5\cdot \sqrt{436}}=0,938669759</math>. Gavosi, kad <math>\phi=\arccos {98\over 5\cdot \sqrt{436}} =0.352044314</math> arba 20,17065341 laipsnių.
:Sprendžiant taikant kosinusų teoremą, randamas ilgis atkarpos f tarp taškų a ir b, taigi <math>f=\sqrt{(6-3)^2+(20-4)^2}=\sqrt{265}=16,2788206</math>. Toliau <math>\cos\phi={a^2+b^2-f^2\over 2ab}={5^2+(\sqrt{436})^2-(\sqrt{265})^2\over 2\cdot 5\cdot \sqrt{436}}={25+436-265\over 10\sqrt{436}}={196\over \sqrt{43600}}=0.938669759</math>. Tada <math>\phi=\arccos {196\over \sqrt{43600}}=0.352044314</math>.
 
== Vektorinė vektorių sandauga ==
487

pakeitimai