|
Pavyzdžiui, vektoriaus '''a'''=(3, -2, 4) ilgis:
:<math> \left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{29}\approx 5.385.</math>
Tas pats gautus ir <math>\sqrt{(\sqrt{3^2+(-2)^2})^2+4^2}=\sqrt{13+16}=\sqrt{29}</math> pagal Pitagoro teoremą ir <math>\sqrt{(\sqrt{3^2+4^2})^2+(-2)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}</math>. Iprastai šis atsakymas reiškia [[Stačiakampis gretasienis|Stačiakampio gretasienio]] įžambinės ilgį tarp dviejų jo tolimiausių kampų.
Vektoriaus sandaugos su skaliaru duos:
Kampas tarp dviejų vektorių yra išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą:
:<math>\cos \phi= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}</math>.
:<math>\phi=\arccos\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}.</math>
Matome, jog skaliarinė sandauga yra lygi vieno vektoriaus projekcijos į kitą vektorių ilgiui.
Vektoriaus '''a''' projekcija ''x'' į vektorių '''b''' užrašoma formule:
:<math>x=||\mathbf{a||}\cdot \cosmathbf{b}=\left\phi=||a||\cdot mathbf{a}\cdot bright\over ||a||\cdot |\left\|\mathbf{b||}={a\right\|\cdot b\over ||b||}cos\phi.</math>
:Pavyzdžiui, yra vektoriai a=(2; 3; 4) ir b=(5; 6; 7). Tuomet vektorių skaliarinė sandauga lygi <math>a\cdot b =2\cdot 5+3\cdot 6+4\cdot 7=10+18+28=56</math>. Vektoriaus a ilgis (iš taško (0; 0; 0) iki taško (2; 3; 4)) yra lygus <math>||a||=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{4+9+16}=\sqrt{29}\approx 5,3851648</math>. Vektoriaus b ilgis yra lygus <math>||b||=\sqrt{5^2+6^2+7^2}=\sqrt{25+36+49}=\sqrt{110}\approx 10,488088</math>. Tuomet
:<math>\cos \phi= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}={56\over \sqrt{29} \cdot \sqrt{110}} ={56\over \sqrt{3190}}={56\over 56,48008499}=0.991499924</math>.
:<math>\phi=\arccos\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}=\arccos 0.991499924=0.13047716</math>
arba <math>\phi=7,47579</math> laipsnio.
:<math>x=||a||\cdot \cos\phi=5.385164807\cdot 0.991499924=5.339390497</math>.
:<math>x=||a||\cdot {a\cdot b\over ||a||\cdot ||b||}={a\cdot b\over ||b||}={56\over \sqrt{110}}=5.3393905.</math>
:Iš [[trikampis|kosinusų teoremos]] žinant atstumą tarp taško a=(2; 3; 4) ir taško b=(5; 6; 7) galima patikrinti ar kampas <math>\phi</math> surastas teisingai. Atstumas tarp taško a ir taško b yra lygus <math>f=\sqrt{(5-2)^2+(6-3)^2+(7-4)^2}=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=\sqrt{9+9+9}=\sqrt{27}=5.196152423</math>.
Iš kosinusų teoremos <math>f^2=a^2+b^2-2ab\cos\phi</math>, čia <math>a=\sqrt{29}</math> ir <math>b=\sqrt{110}</math> yra vektorių '''a''' ir '''b''' ilgiai. Taigi <math>2ab\cos\phi=a^2+b^2-f^2</math>, toliau <math>\cos\phi={a^2+b^2-f^2\over 2ab}={(\sqrt{29})^2+(\sqrt{110})^2-(\sqrt{27})^2\over 2\sqrt{29}\cdot\sqrt{110}}={29+110-27\over 2\sqrt{3190}}={56\over \sqrt{3190}}=0.991499924</math>.
:Pavyzdis dvimatėje erdvėje su vektoriais a=(3; 4), b=(6; 8) sprendžiamas analogiškai. Vektorių skaliarinė sandauga lygi <math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=3\cdot 6+4\cdot 8=50</math>. Vektorių ilgiai yra <math>||a||=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5</math> ir <math>||b||=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10</math>. Tuomet <math>\cos\phi=\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}={50\over 5\cdot 10}=1</math>. Gavosi, kad <math>\phi=\arccos 1 =0</math> radianų bei laipsnių.
:Sprendžiant taikant kosinusų teoremą, randamas ilgis atkarpos f tarp taškų a ir b, taigi <math>f=\sqrt{(6-3)^2+(8-4)^2}=\sqrt{25}=5</math>. Toliau <math>\cos\phi={a^2+b^2-f^2\over 2ab}={5^2+10^2-5^2\over 2\cdot 5\cdot 10}={100\over 100}=1</math>. Išvada jog vektorių linijos šįsyk sutampa ir vektorius '''b''' yra 2 kartus ilgesnis už vektorių '''a'''.
:Pavyzdis, kai duoti vektoriai a=(3; 4), b=(6; 20). Vektorių skaliarinė sandauga lygi <math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=3\cdot 6+4\cdot 20=98</math>. Vektorių ilgiai yra <math>||a||=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5</math> ir <math>||b||=\sqrt{6^2+20^2}=\sqrt{436}\approx 20,88061302</math>. Tuomet <math>\cos\phi=\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}={98\over 5\cdot \sqrt{436}}=0,938669759</math>. Gavosi, kad <math>\phi=\arccos {98\over 5\cdot \sqrt{436}} =0.352044314</math> arba 20,17065341 laipsnių.
:Sprendžiant taikant kosinusų teoremą, randamas ilgis atkarpos f tarp taškų a ir b, taigi <math>f=\sqrt{(6-3)^2+(20-4)^2}=\sqrt{265}=16,2788206</math>. Toliau <math>\cos\phi={a^2+b^2-f^2\over 2ab}={5^2+(\sqrt{436})^2-(\sqrt{265})^2\over 2\cdot 5\cdot \sqrt{436}}={25+436-265\over 10\sqrt{436}}={196\over \sqrt{43600}}=0.938669759</math>. Tada <math>\phi=\arccos {196\over \sqrt{43600}}=0.352044314</math>.
== Vektorinė vektorių sandauga ==
| 