Hilberto erdvė: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Nėra keitimo santraukos |
Nėra keitimo santraukos |
||
Eilutė 28:
===Apibrėžimai===
'''Hilberto
* ⟨''y'',''x''⟩ yra Kompleksinis priešingas skaičius ⟨''x'',''y''⟩:
::<math>\langle y,x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}.</math>
* ⟨''x'',''y''⟩ yra [[tiesinė funkcija]] su pirmuoju argumentu. visiems kompleksiniams ''a'' ir ''b'',
::<math>\langle ax_1+bx_2, y\rangle = a\langle x_1, y\rangle + b\langle x_2, y\rangle.</math>
*
::<math>\langle x,x\rangle \ge 0</math>
:kur lygybė galima tiktais ''x'' = 0.
Realioje erdvėje skaliarinė sandauga yra apibrėžtas tai pat, tik ''H'' įgyja realias vertes realioje erdvėje.
[[Norma]] ⟨•,•⟩ yra realiosios vertės funkcija
:<math>\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle},</math>
ir atstumas tarp dviejų taškų ''x'',''y'' ''H'' yra apibrėžiama taip:
:<math>d(x,y)=\|x-y\| = \sqrt{\langle x-y,x-y \rangle}.</math>
Atstumo funkcija turi savybes (1) ''x'' ir ''y'' atžvilgiu yra simetriška, (2) atstumas tarp ''x'' yra nulis nes kitu atveju kai ''x'' ir ''y'' skirtingi turi būti teigiama (3) [[trikampio nelygybė]] sako, jog ilgiausioji trikampio kraštinė nėra ilgesnė už likusių ilgių sumą:
:<math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z).</math>
Ši savybė padeda įvesti dar fundamentalesnę [[Koši-Švarco nelygybė|Koši-Švarco nelygybę]], kuri teigia
:<math>|\langle x, y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|</math>
ir lygi tada ir tik tada kai ''x'' ir ''y'' yra [[Tiesinis priklausomumas|tiesiškai priklausoma]].
Santykinis atstumas apibrėžtas ir bet kuri skaliarinė sandauga yra [[metrinė erdvė]], tai pat žinoma kaip ''Hilberto puserdvė''.<ref>{{harvnb|Dieudonné|1960|loc=§6.2}}</ref> Hilberto puserdvė yra Hilberto erdvė jei yra galima ją papildyti. Pilnumas yra išreiškiamas naudojant [[Koši kriterijus|Koši kriterijų]] sekoms ''H'': Hilberto puserdvė ''H'' yra [[pilna erdvė]] jei kiekvienai [[Koši seka|Koši sekai]] [[riba|norma konverguoja]] į erdvės elementą. Pilnumą galima charakterizuoti: jei seka vektorių <math>\textstyle{\sum_{k=0}^\infty u_k}</math> [[absoliutus konvergavimas|absoliučiai konverguoja]] tai
:<math>\sum_{k=0}^\infty\|u_k\| < \infty,</math>
tada seka kanverguoja ''H'', jei dalinių sumų riba konverguoja tai pat ''H''.
Kaip pilna normuota erdvė, Hilberto erdvė yra tai pat [[Banaho erdvė]]. Taip kaip [[topologinių vektorių erdvė]], kurioje [[topologija]] suprantama kaip [[atvira aibė|atviroji aibė]] ir [[uždara aibė|uždarinys]].
===Antras pavyzdys: sekų erdvė===
[[Sekų erdvė]] ''ℓ''<sup>2</sup> susideda iš [[seka|baigtinių sekų]] '''z''' = (''z''<sub>''1''</sub>,''z''<sub>2</sub>,...) iš kompleksinių skaičių [[eilutė|eilutės]]
:<math>\sum_{n=1}^\infty |z_n|^2</math>
[[Konvergavimas|konverguoja]]. Skaliarinė sandauga ''ℓ''<sup>2</sup> apibrėžta
:<math>\langle \mathbf{z},\mathbf{w}\rangle = \sum_{n=1}^\infty z_n\overline{w_n},</math>
eilučių konvergavimui taikoma Koši-Švarco nelygybė.
==Šaltiniai==
| |||