Vektorinė erdvė: Skirtumas tarp puslapio versijų

262 pridėti baitai ,  prieš 11 metų
vektoriai
S (robotas Pridedama: id:Ruang vektor)
(vektoriai)
[[Vaizdas:Vector space illust.svg|right|thumb|Vektorių erdvė yra rinkinys objektų, vadinamų [[vektorius|vektoriais]], kurie gali būti sudedami arba galimas jų [[mastelis|mastelio]] keitimas]]
'''VektoriųVektorinė erdvė''' arba '''tiesinė erdvė''' yra [[Vektorius|vektorių]] [[aibė]] su joje apibrėžtomis [[sudėtis|sudėties]] ir [[daugyba|daugybos]] iš [[skaliaras|skaliarinio dydžio]] operacijomis, tenkinančiomis tam tikras, žemiau išvardintas aksiomas.
Vektorių erdvės yra pagrindiniai tiesinės algebros studijų objektai, naudojami [[matematika|matematikoje]], moksle ir inžinerijoje.
 
 
# Vektorių sudėtis yra [[asociatyvumas|asociatyvi]]:
#: <math>\forall \vecmathbf{u}, \vecmathbf{v}, \vecmathbf{w} \in V: \vecmathbf{u} + (\vecmathbf{v} + \vecmathbf{w}) = (\vecmathbf{u} + \vecmathbf{v}) + \vecmathbf{w}.</math>
# Vektorių sudėtis yra [[Komutatyvumas|komutatyvi]]:
#: <math>\forall \vecmathbf{v}, \vecmathbf{w} \in V: \vecmathbf{v} + \vecmathbf{w} = \vecmathbf{w} + \vecmathbf{v}.</math>
# Vektorių sudėčiai egzistuoja vienetinis elementas:
#: <math>\exists \vecmathbf{0} \in V: \vecmathbf{v} + \vecmathbf{0} = \vecmathbf{v}, \forall \vecmathbf{v} \in V.</math>
# Vektorių sudėtis turi priešingąjį elementą:
#: <math>\forall \vecmathbf{v} \in V, \exists \vecmathbf{w} \in V: \vecmathbf{v} + \vecmathbf{w} = 0.</math>
# Vektorių sumos daugyba iš skaliaro yra [[distributyvumas|distributyvi]]:
#: <math>\forall a \in F, \forall \vecmathbf{v}, \vecmathbf{w} \in V: a (\vecmathbf{v} + \vecmathbf{w}) = a \vecmathbf{v} + a \vecmathbf{w}.</math>
# Vektoriaus daugyba iš skaliarų sumos yra distributyvi:
#: <math>\forall a, b \in F, \forall \vecmathbf{v} \in V: (a + b) \vecmathbf{v} = a \vecmathbf{v} + b \vecmathbf{v}.</math>
# Daugyba iš skaliaro yra suderinama su skaliarų daugyba:
#: <math>\forall a, b \in F, \forall \vecmathbf{v} \in V: a(b \vecmathbf{v}) = (ab) \vecmathbf{v}.</math>
# Daugybai iš skaliaro egzistuoja vienetinis elementas:
#: <math>\exists 1 \in F: 1 \vecmathbf{v} = \vecmathbf{v}, \forall \vecmathbf{v} \in V.</math>
 
Galima pažymėti, kad septintoji aksioma neteigia asociatyvumo, nes daugyba iš skaliaro (''b'' '''v''') ir skaliarų daugyba (''ab'') yra skirtingos operacijos.
Kai kurie šaltiniai įtraukia dar dvi aksiomas:
# ''V'' yra uždara vektorių sudėčiai:
#: <math>\vecmathbf{u}, \vecmathbf{v} \in V \Rightarrow \vecmathbf{u} + \vecmathbf{v} \in V.</math>
# ''V'' yra uždara skaliarų daugybai:
#: <math>a \in F, \vecmathbf{v} \in V \Rightarrow a \vecmathbf{v} \in V.</math>
 
Tačiau paprastai laikoma, kad šios aksiomos yra numanomos iš operacijų apibrėžimų.
 
* Nulinis vektorius '''0''' ∈ ''V'' yra unikalus:
*: <math>\exists \vecmathbf{0_1}, \vecmathbf{0_2} \in V, \forall \vecmathbf{v} \in V: \vecmathbf{0_1} + \vecmathbf{v} = \vecmathbf{v}, \vecmathbf{0_2} + \vecmathbf{v} = \vecmathbf{v} \Rightarrow \vecmathbf{0_1} = \vecmathbf{0_2} = \vecmathbf{0}.</math>
* Nulinio vektoriaus daugybos iš bet kokio skaliaro rezultatas yra nulinis vektorius:
*: <math>\forall a \in F: a \vecmathbf{0} = \vecmathbf{0}.</math>
* Bet kokio vektoriaus daugybos iš nulio rezultatas yra nulinis vektorius:
*: <math>\forall \vecmathbf{v} \in V: 0 \vecmathbf{v} = \vecmathbf{0}.</math>
* Nenulinio vektoriaus daugybos iš nenulinio skaliaro rezultatas negali būti nulinis vektorius:
*: <math>\forall \vecmathbf{v} \in V, \forall a \in F: a \vecmathbf{v} = \vecmathbf{0} \Leftrightarrow a = 0 \or \vecmathbf{v} = \vecmathbf{0}.</math>
* Vektorius, priešingas duotajam (−'''v''') yra unikalus:
*: <math>\exists \vecmathbf{v}, \vecmathbf{w_1}, \vecmathbf{w_2} \in V: \vecmathbf{v} + \vecmathbf{w_1} = \vecmathbf{0}, \vecmathbf{v} + \vecmathbf{w_2} = \vecmathbf{0} \Rightarrow \vecmathbf{w_1} = \vecmathbf{w_2} = -\vecmathbf{v}.</math>
* Vektoriaus daugybos iš neigiamo vienetinio skaliaro rezultatas yra vektorius, priešingas pradiniam:
*: <math>\forall \vecmathbf{v} \in V: (-1) \vecmathbf{v} = - \vecmathbf{v}.</math>
* Minuso ženklas daugyboje iš skaliaro gali būti perkeliamas laisvai:
*: <math>\forall a \in F, \forall \vecmathbf{v} \in V: a (-\vecmathbf{v}) = (-a) \vecmathbf{v} = -(a \vecmathbf{v}).</math>
 
[[Kategorija:Matematika]]
487

pakeitimai