Vektorius: Skirtumas tarp puslapio versijų

9 351 baitas pašalintas ,  prieš 11 metų
Pertvarkytas straipsnis apie vektorius (sumažintas pavyzdžių skaičius, enciklopedija nėra uždavinynas, esant tokiam dideliam pavyzdžių skaičiui nebesimato prasmės)
(Pertvarkytas straipsnis apie vektorius (sumažintas pavyzdžių skaičius, enciklopedija nėra uždavinynas, esant tokiam dideliam pavyzdžių skaičiui nebesimato prasmės))
Bendriausias vektoriaus pavyzdys [[fizika|fizikoje]] būtų [[jėga]].
 
Skaitinių dydžių grupė abibūdinanti pasirinktą objektą gali būti užrašyta sugrupuotų skaičių sąrašu arba kitaip -- vektoriumi:
:<math> \mathbf{v} = (v_1, v_2, ..., v_n)</math>.
:kur '''v''' yra d''n'' skaičių vektorius. Išraiškos su vektoriais yra naudojamos siekiant kompaktiškai užrašyti bei patogiai manipuliuoti ilgomis skaičių grupėmis. Kitas vektorinio užrašymo privalumas yra jo geometrinė interpretacija -- kiekvieną '''v''' galima įsivaizduoti kaip vektorių jungiantį ''n''-matės erdvės koordinačių pradžią su tašku, kurio koordinatės nustatytos nariais sudarančiais '''v'''.
== Vektoriaus daugyba iš skaliaro ==
Vienas realaus dydžio skaičius yra vadinamas ''[[Skaliaras|skaliaru]]''. Vektoriaus daugyba iš skaliaro yra kiekvieno vektoriaus nario daugyba iš skaliaro ir gauta sandauga yra vektorius:
:<math>cvc\mathbf{v} = (cv_1, cv_2, ..., cv_n)</math>.
 
== Dviejų vektorių suma ==
Du vektoriai sudedami sudedant kiekvieno iš jų atitinkamus narius:
<math>\mathbf{v}+\mathbf{w}=(v_1+w_1,v_2+w_2, ..., v_n+w_n)</math>.
Atkreipkite dėmesį, jog vektorinė sudėtis yra [[komutatyvumas|komutatyvi]], t. y., '''v'''+'''w'''='''w'''+'''v'''.
 
== Skaliarinė vektorių sandauga ==
 
Norint vektorius sudauginti skaliariškai, abu vektoriai turi '''atitikti''', t. y., abiejų vektorių narių skaičius turi būti vienodas. Skaliarinė dviejų vektorių sandauga yra suma visų kiekvieno iš vektoriaus atitinkamų narių sandaugų:
:<math>\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}=\sum_{i=1}^n v_i\cdot w_i = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3 + ... + v_n w_n . </math>
:Skaliarinės vektorių sandaugos rezultatas yra ne vektorius, o skaliaras.
 
Pavyzdžiui, yra vektoriaivektorių '''a'''=(3;, 5;, 6) ir '''b'''=(4;, 0;, 1), tai jų skaliarinė sandauga bus lygi:
:<math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=3\cdot 4+5\cdot 0+6\cdot 1=12+0+6=18.</math>
 
== Vektoriaus ilgis ==
Vektoriaus '''v''' ilgis, arba [[Vektoriaus norma|norma]], žymimas ||'''v'''||, kartais |'''v'''|.
Išnagrinėkime atvejį, kai atliekama vektoriaus skaliarinė sandauga su juo pačiu. Plokštumos (''2''-matės erdvės) bei įprastos koordinačių sistemos atveju turėsime:
:<math>v \cdot v= (v_1)^2 + (v_2)^2</math>.
 
Vektoriaus '''v''' ilgis gali būti paskaičiuotas naudojant Euklido normą:
Prisiminus [[Pitagoro teorema|Pitagoro teoremą]], teigiančią, jog stataus trikampio įstrižainės '''ilgio''' kvadratas yra lygus trikampio kraštinių ilgių kvadratų sumai, tampa natūralus toks vektoriaus ilgio apibūdinimas:
:<math> \left\|\mathbf{v}\right\|= \sqrt{vv_1^2 + \cdotcdots v+ v_n^2}</math>.
:Atkreipkite dėmesį, jog jei nors vienas iš vektoriaus narių bus didesnis nei kiti, tai jo pakėlimas kvadratu lems viso vektoriaus ilgį.
Pavyzdžiui, vektoriaus a(3; -2; 4) ilgis:
:<math>|a|=\sqrt{a\cdot a}=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}\approx 5.385.</math>
 
Tai yra [[Pitagoro teorema|Pitagoro teoremos]] pasekmė, kadangi vienetiniai baziniai vektoriai '''e<sub>1</sub>''', '''e<sub>2</sub>''', '''e<sub>3</sub>''' yra statmeni. Tai taip pat yra lygu šakniai iš vektoriaus skaliarinės sandaugos su savimi:
Pavyzdžiui, žinomos vektoriaus pradžios A(3; 2; -4) ir galo B(6; -5; -2) koordinatės. Tada vektoriaus ilgis bus
:<math> \left\|AB\mathbf{v}\right\|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2\mathbf{v}= \sqrtcdot \mathbf{(6-3)^2+(-5-2)^2+(-4+2)^2v}}=</math>.
<math>=\sqrt{9+49+4}=\sqrt{62}\approx 7.874.</math>
:Jeigu vektoriaus pradžios koordinatės A(0; 0; 0), o galo koordinatės B(6; -5; -2), tai vektoriaus AB ilgis bus:
:<math>|AB|=\sqrt{(6-0)^2+(-5-0)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{36+25+4}=\sqrt{65}\approx 8.062.</math>
 
Pavyzdžiui, vektoriaus '''a'''=(3, -2, 4) ilgis:
:<math> \left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{29}.</math>
 
Vektoriaus sandaugos su skaliaru duos:
:||c'''v'''||=c ||'''v'''||.
 
'''[[Trikampio nelygybė]]''' naudojama apibūdinti dviejų vektorių sumos ilgį:
:||'''v'''+'''w'''|<=|≤||'''v'''||+||'''w'''||.
 
== Atstumas tarp vektorių ==
Atstumas tarp vieno vektoriaus galo ir kito vektoriaus galo (atstumas tarp dviejų taškų n-matėje [[Koordinačių sistema|koordinačių sistemoje]]) matuojamas pagal formulę:
:<math> \|v - w\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (v_i -
w_i)^2}=\sqrt{(v_1 - w_1)^2 + (v_2 - w_2)^2 +...+ (v_n - w_n)^2} .</math>
 
'''Pavyzdžiai'''
 
*Turime vektorius v=[3, 6], w=[7, 4]. Atstumas tarp jų galų:
:<math> \sqrt{(3 - 7)^2 + (6 - 4)^2} =\sqrt{20}\approx 4,47 .</math>
 
 
*Rasime trikampio, esančio trimatėje erdvėje, plotą. Trikampio viršunių koordinates (x; y; z) yra tokios: A(8; 3; -3); B(3; 2; -1); C(4; 0; -3). Dabar reikia surasti tiesių ilgius AB, AC ir BC:
:<math>a=AB=\sqrt{(8-3)^2+(3-2)^2+(-3-(-1))^2}=\sqrt{30},</math>
:<math>b=AC=\sqrt{(8-4)^2+(3-0)^2+(-3-(-3))^2}=5,</math>
:<math>c=BC=\sqrt{(3-4)^2+(2-0)^2+(-1-(-3))^2}=3.</math>
Taikydami [[trikampis|Herono formule]] apskaičiuojame trikampio pusperimetrį ''p'':
:<math>p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{\sqrt{30}+5+3}{2}\approx 13.477.</math>
Ir trikampio plotą ''S'':
: <math>S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \approx \sqrt{13.477(13.477-5.477)(13.477-5)(13.477-3)}\approx97.855</math>
 
*Rasime trikampio plotą, kurio višunės yra taškuose A(1; 3; -2), B(2; -1; 3), C(0; 2; 4).
:<math>a=AB=\sqrt{(1-2)^2+(3+1)^2+(-2-3)^2}=\sqrt{1+16+25}=\sqrt{42}\approx 6.48,</math>
:<math>b=AC=\sqrt{(1-0)^2+(3-2)^2+(-2-4)^2}=\sqrt{1+1+36}=\sqrt{38}\approx 6.16,</math>
:<math>c=BC=\sqrt{(2-0)^2+(-1-2)^2+(3-4)^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}\approx 3.74.</math>
:<math>p=\frac{\sqrt{42}+\sqrt{38}+\sqrt{14}}{2}\approx 8.19.</math>
: <math>S \approx \sqrt{8.19(8.19-\sqrt{42})(8.19-\sqrt{38})(8.19-\sqrt{14})}\approx 11.25. </math>
Šio trikampio plotą galima apskaičiuoti naudojantis vektorine sandauga. AB=(2-1; -1-3; 3+2)=(1; -4; 5), AC=(0-1; 2-3; 4+2)=(-1; -1; 6).
<math>AB\times AC=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -4 & 5 \\ -1 & -1 & 6 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -4 & 5 \\ -1& 6 \end{vmatrix}i-\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ -1& 6 \end{vmatrix}j+\begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -1& -1 \end{vmatrix}k=-19i-11j-5k=(-19; -11; -5). </math>
:<math>|AB\times AC|=\sqrt{(-19)^2+(-11)^2+(-5)^2}=\sqrt{507}.</math>
:<math>S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|AB\times AC|=\frac{1}{2}\sqrt{507}\approx 11.26.</math>
 
== Kampas tarp vektorių ==
Kampas tarp dviejų vektorių yra išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą:
:<math>\cos \phi= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}</math>.
:<math>\phi=\arccos\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot \left\|\mathbf{b}\right\|}.</math>
Matome, jog skaliarinė sandauga yra lygi vieno vektoriaus projekcijos į kitą vektorių ilgiui.
Remiantis šia formule tampa akivaizdu kodėl yra sakoma, jog skaliarinė vektorių sandauga parodo vektorių atitikimą (panašumą) vienas kitam.
:<math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\left\|\mathbf{a}\right\|\cdot\left\|\mathbf{b}\right\|\cdot \cos\phi.</math>
 
== Vektorinė vektorių sandauga ==
 
:<math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}
=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\sin(\thetaphi)\,\mathbf{\hat{n}}</math>
 
kur ''θφ'' yra kampas tarp '''a''' ir '''b''', o '''<math>\mathbf{\hat{n'''}}</math> yra [[vienetinis vektorius|vienetinio ilgio vektorius]] (<math>(\left\|\mathbf{\hat{n}}\right\|=1)</math>=1) statmenas ir '''a''' ir '''b'''. Šio apibrėžimo problema ta, kad yra du vienetiniai vektoriai, statmeni '''b''' ir '''a'''.
 
Ortogonalių vektorių bazė '''e<sub>1</sub>''', '''e<sub>2</sub>''' , '''e<sub>3</sub>''' vadinama ''dešinine'', jei trys vektoriai išsidėstę kaip trys dešinės rankos pirštai (nykštys, smilius ir didysis).'''a'''&nbsp;×&nbsp;'''b''' vektorinė sandauga yra tokios krypties, kad '''a''' ir '''b''' bei '''a'''&nbsp;×&nbsp;'''b''' tampa dešinine sistema (taip pat atkreipkite dėmesį, kad '''a''' ir '''b''' nebūtinai yra ortogonalūs). Tai dar kitaip vadinama [[Dešinės rankos taisyklė|dešinės rankos taisykle]].
 
 
o '''a'''&nbsp;×&nbsp;'''b''' vektorinė sandauga yra tokios krypties, kad '''a''' ir '''b''' bei '''a'''&nbsp;×&nbsp;'''b''' tampa dešinine sistema (taip pat atkreipkite dėmesį, kad '''a''' ir '''b''' nebūtinai yra ortogonalūs). Tai dar kitaip vadinama [[Dešinės rankos taisyklė|dešinės rankos taisykle]].
 
Kadangi vektorinė sandauga keičia ženklą esant veidrodiniam atspindžiui ([[P-simetrija]]), jos rezultatas kartais vadinamas [[Pseudo-vektorius|pseudo-vektoriumi]].
Vektorinės sandaugos '''a'''&nbsp;×&nbsp;'''b''' (vektoriaus) ilgis gali būti interpretuojamas kaip plotas [[Lygiagretainis|lygiagretainio]], sudaryto iš [[Kraštinė|kraštinių]] '''a''' ir '''b'''.
 
Pavyzdžiui, duoti vektoriai '''a'''=(1;, -2;, 2), '''b'''=(3;, 0;, -4). Jų vektorinė sandauga lygi
:<math>\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & 0 & -4 \end{vmatrix}=8\beginmathbf{vmatrix} -2 & 2 \\ 0& -4 \end{vmatrix}i-\begin{vmatrix} 1 & 2 +10\\ 3& -4 \endmathbf{vmatrixj}j+6\beginmathbf{vmatrixk} 1 & -2 \\ 3& 0 \end{vmatrix}k=8i+10j+6k=(8;, 10;, 6). </math>
Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą formaliai panaudojome [[determinantas|determinantądeterminanto]] skaičiavimo taisykles.
Vektorinės sandaugos modulis yra [[Lygiagretainis|lygiagretainio]] plotas, kurį sudaro du vektoriai:
:<math>S=\left\|\mathbf{a}\times \mathbf{b}\right\|=\sqrt{8^2+10^2+6^2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}.</math>
Trikampio plotas yra
:<math>S=\frac{1}{2}|a\times b|=5\sqrt{2}.</math>
Kampo tarp vektorių sinusas yra
:<math>\sin\phi=\frac{|a\times b|}{|a|\cdot |b|}=\frac{10\sqrt{2}}{3\cdot 5}=\frac{2\sqrt{2}}{3},</math> kur
:<math>|a|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9}=3,</math>
:<math>|b|=\sqrt{3^2+0^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5.</math>
 
 
Dedamųjų daugyba:
:<math>\mathbf{i}\times \mathbf{j}=-(\mathbf{j}\times \mathbf{i})=\mathbf{k};</math>
:<math>\mathbf{j}\times \mathbf{k}=-(\mathbf{k}\times \mathbf{j})=\mathbf{i};</math>
:<math>\mathbf{k}\times \mathbf{i}=-(\mathbf{i}\times \mathbf{k})=\mathbf{j}.</math>
:<math>\mathbf{i}\times \mathbf{i}=\mathbf{j}\times \mathbf{j}=\mathbf{k}\times \mathbf{k}=\mathbf{0}.</math>
 
 
Rasime <math>a\times b,</math> jei a=2i-3j+5k=(2; -3; 5), b=4i+2j-6k=(4; 2; -6).
:<math>a\times b=(2i-3j+5k)\times (4i+2j-6k)=8ii+4ij-12ik-12jk-6jj+18jk+20ki+10kj-30kk=</math>
:<math>=4k+12j+12k+18i+20j-10i=8i+32j+16k=(8; 32; 16).</math>
:<math>a\times b=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -3 & 5 \\ 4 & 2 & -6 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3 & 5 \\ 2& -6 \end{vmatrix}i-\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 4& -6 \end{vmatrix}j+\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 4& 2 \end{vmatrix}k=8i+32j+16k=(8; 32; 16). </math>
 
 
Apskaičiuosime trikampio su viršūnėmis taškuose A(-1; 0; 2), B(1; -2; 5), C(3; 0; -4) plotą.
a=AB=(1-(-1); -2-0; 5-2)=(2; -2; 3); b=AC=(3-(-1); 0-0; -4-2)=(4; 0; -6); <math>a\times b=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & -6 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 0& -6 \end{vmatrix}i-\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4& -6 \end{vmatrix}j+\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 4& 0 \end{vmatrix}k=12i+24j+8k=(12; 24; 8).</math> <math>|a\times b|=\sqrt{12^2+24^2+8^2}=\sqrt{784}=28.\; S_{\Delta}=\frac{1}{2}|a\times b|=\frac{1}{2}\cdot 28=14.</math>
 
 
Trikampio ABC viršunės yra taškai A(1; -1; 2), B(5; -6; 2) ir C(1; 3; -1). Apskaičiuosime šio trikampio plotą ir aukštinės, nuleistos iš viršunės B į kraštinę AC, ilgį.
Žinome, kad <math>S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|AB\times AC|.</math> Randame vektorių AB ir AC koordinates bei vektorinę sandaugą: AB=(4; 5; 0), AC=(0; 4; -3),
 
<math>AB\times AC=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -5 & 0 \\ 0 & 4 & -3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -5 & 0 \\ 4& -3 \end{vmatrix}i-\begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 0& -3 \end{vmatrix}j+\begin{vmatrix} 4 & -5 \\ 0& 4 \end{vmatrix}k=15i-(-12)j+16k=(15; 12; 16).</math> Apskaičiuosime vektoriaus AB\times AC ilgį: <math>|AB\times AC|=\sqrt{15^2+12^2+16^2}=\sqrt{625}=25.</math> Tada trikampio ABC plotas bus lygus <math>S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot 25=12.5.</math> Norėdami rasti trikampio aukšinę ''h'', pritaikykime kitą trikampio ploto formulę: <math>S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|AC|\cdot h.</math> Sulyginę formules, gauname: <math>\frac{1}{2}|AB\times AC|=\frac{1}{2}|AC|\cdot h.</math> Iš čia trikampio ABC aukšinė <math>h=\frac{|AB\times AC|}{|AC|}=\frac{25}{5}=5,</math> kadangi <math>|AC|=\sqrt{0+16+9}=5.</math>
 
== Mišri vektorių sandauga ==
 
:<math>(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})
=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_z & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{vmatrix}.</math>
 
Duoti vektoriai a=(1; 2; -2), b=(1; -2; 1), c=(1; -2; 3), kurių pradžios koordinatės yra (0; 0; 0). Rasime gretasienio [[tūris|tūrį]]:
:<math>V=(a\times b)\cdot c=\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_z & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{vmatrix}=c_x\cdot(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix}+c_y\cdot(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix}+c_z\cdot(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix}=</math>
:<math>=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}=2\cdot (-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2& 1 \end{vmatrix}=-8.</math>
Gretasienio tūris yra |-8|=8. Rasime piramidės su 4 viršunėmis, kurios pagrindas yra trikampis, tūrį:
:<math>V=\frac{1}{6}|(a\times b)\cdot c|=\frac{8}{6}.</math>
Piramidės tūris yra <math>\frac{1}{6}|(a\times b)\cdot c|</math> todėl, kad piramidės pagrindo plotas yra puse (S=0.5ah) lygiagretainio ploto, o kadangi gretasienio tūris yra V=abh=Sh ir piramidės (kurios pagrindas trikampis) tūris yra V=0.5abh/3=Sh/3, tai dėl to piramidės tūris yra V=abh/6 arba 1/6 gretasienio tūrio. Piramidės, kurios pagrindas yra keturkampis, tūris yra <math>V=\frac{1}{3}|(a\times b)\cdot c|.</math>
 
Apskaičiuosime trikampės piramidės tūrį, kai žinomi jos viršunių taškai A(3; -1; 5), B(5; 2; 6), C(-1; 3; 4) ir D(7; 3; -1). Reikia surasti tris vektorių ilgius (koordinates) išeinančius iš kurios nors vienos viršunės (tada galėsime manyti, kad ta viršunė yra vektorių pradžios taškas (0; 0; 0)): AB=(5-3; 2-(-1); 6-5)=(2; 3; 1), AC=(-4; 4; -1), AD=(4; 4; -6). Apskaičiuosime mišriąją gautų vektorių sandaugą:
<math>(AB\times AC)\cdot AD =\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \\ 4 & 4 & -6 \end{vmatrix}=84.</math>
Tada trikampės piramidės tūris <math>V=\frac{1}{6}\cdot|84|=12.</math> Gretasienio (nebūtinai stačiakampio gretasienio) tūris gautas iš šių (AB, AC, AD) vektorių lygus V=84.
Norėdami rasti piramidės aukštinę ''h'', pritaikykime kitą piramidės tūrio formulę: <math>V_{pir.}=\frac{1}{3}S_{\Delta ABC}\cdot h.</math> Bet <math>S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|AB\times AC|</math>, todėl <math>V_{pir.}=\frac{1}{6}|AB\times AC|\cdot h.</math> Sulyginus šią formulę su pirma formule:
:<math>\frac{1}{6}|(AB\times AC)\cdot AD|=\frac{1}{6} |AB\times AC| \cdot h.</math> Iš čia <math>h=\frac{|(AB\times AC)\cdot AD|}{|AB\times AC|}.</math> Kadangi <math>AB\times AC=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 3 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{vmatrix}=-7i-2j+20k=(-7; -2; 20),</math> tai <math>|AB\times AC|=\sqrt{49+4+400}=\sqrt{453}.</math> Tada trikampės piramidės aukštinė ''h'' lygi <math>h=\frac{|84|}{\sqrt{453}}\approx 3.95.</math>
 
 
Vektoriai yra kolinearūs jeigu <math>a\times b=0.</math> Dvimačiai vektoriai yra kolinearūs, kai yra lygiagretūs.
Vektoriai yra komplanarūs jeigu <math>(a\times b)\cdot c=0.</math>
Trimačiai vektoriai yra komplanarūs kai priklauso tai pačiai ploštumai.
 
 
Duotos jėgos '''F''' projekcijos <math>F_x=4</math>, <math>F_y=4</math>, <math>F_z=-4\sqrt{2}.</math> Rasime jėgos dydį |'''F'''| ir jos veikimo kryptį. Jėgos dydis yra: <math>|F|=\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}=\sqrt{4^2+4^2+(-4\sqrt{2})^2}=\sqrt{16+16+32}=\sqrt{64}=8</math>. Rasime krypties kosinusus: <math>\cos\alpha=\frac{F_x}{|F|}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}</math>, <math>\cos\beta=\frac{F_y}{|F|}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}</math>, <math>\cos\gamma=\frac{F_z}{|F|}=\frac{-4\sqrt{2}}{8}=-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>. Iš čia randame kampus <math>\alpha=\arccos\frac{1}{2}=60^0, \;\beta=\arccos\frac{1}{2}=60^0 \;</math>, <math>\gamma=\arccos\frac{-\sqrt{2}}{2}=135^0.</math> Vadinasi, jėga '''F''' veikia vektoriaus, sudarančio su koordinačių ašimis kampus <math>\alpha=60^0, \;\beta=60^0, \;\gamma=135^0,</math> kryptimi.
 
 
Vektorius '''a''' su ašimis Oy ir Oz sudaro kampus <math>\beta=\gamma=60^0.</math> Rasime kampą <math>\alpha,</math> kurį vektorius '''a''' sudaro su Ox ašimi. Kadangi <math>\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1,</math> tai <math>\cos^2\alpha=1-\cos^2\beta-\cos^2\gamma=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.</math> Iš čia <math>\cos\alpha=\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}.</math> Tada <math>\alpha=\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=45^0</math> arba <math>\alpha=\arccos\frac{\sqrt{2}}{-2}=135^0.</math>
 
 
Lygiagretainio gretasienio tūris gali būti skaičiuojamas kaip jį sudarančių 3 vektorių mišri sandauga.
Jėga '''F''' veikia vektoriaus, sudarančio su koordinačių ašimis kampus <math>\alpha=\beta=120^0, \; \gamma=45^0,</math> kryptimi. Rasime jėgos '''F''' projekcijas, jei |'''F'''|=6. <math>F_x=F_y=|F|\cos\alpha=\cos\beta=6\cos 120^0=-3; \; F_z=|F|\cos\gamma=6\cos 45^0=3\sqrt{2}.</math> Jėgos '''F''' dedamosios <math>F_x=-3i;\; F_y=-3j; \; F_z=-3\sqrt{2}k.</math>
 
== Nuorodos ==
487

pakeitimai