Konvoliucija: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
S wiki sintakse 3 |
S robotas: smulkūs taisymai |
||
Eilutė 4:
[[Vaizdas:Convolution3.PNG|right|thumb|375px|'''Konvoliucija.''' Abi funkcijas paverčiame <math>\tau</math> kintamojo funkcijomis. Apverčiame vieną iš funkcijų ir pridedame "t", kad ji galėtų judėti <math>\tau</math> ašimi keičiant "t". Imame "t" lygų minus begalybei ir judame link plius begalybės. Kur funcijos susikerta, surandame jų sandaugos integralą. Taip gaunama nauja funkcija nuo parametro "t" ir yra duotų dviejų funkcijų konvoliucija (čia neparodyta)]]
== Apibrėžimas ==
<math>f\,</math> ir <math>g\,</math> funkcijų konvoliucija žymima <math>f * g \,</math>. Ji apibrėžiama kaip funkcijų sandaugos integralas, po to, kai viena jų buvo paversta ir padauginta iš -1. Taigi, konvoliucija yra integralinės transformacijos rūšis:
: <math>(f * g )(t) = \int_{a}^{b} f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau</math>
Integravimo rėžiai priklauso nuo funkcijų apibrrėžimo srities. Dažniausiai a = -∞ ir b = +∞. Integravimo baigtiniame intervale atveju, <math>f\,</math> ir <math>g\,</math> dažnai išplėčiamos periodiškai abiejomis kryptimis, kad reiškinyje <math>\displaystyle g(t-\tau)</math> <math>g\,</math>
== Diskreti konvoliucija ==
Diskrečioms funkcijoms galime apibrėžti diskrečią konvoliucijos operaciją :
Eilutė 19:
Naudojant pastarąją formulę konvoliucijos sudėtingumas yra lygus [[Big O notation|O]](''N''²) aritmetinių operacijų "N" taškams. Tačiau šis dydis gali būti sumažintas iki O(''N'' log ''N''), panaudojant greitesnius algoritmus.
=== Greiti konvoliucijos algoritmai ===
Praktikoje, skaitmeniniame signalų apdorojime, ir kituose uždaviniuose, kuriuose naudojama diskrečioji konvoliucija, paprastai naudojami greitesni konvoliucijos skaičiavimo algoritmai, sumažinantys sudėtingumą iki O(''N'' log ''N'').
Eilutė 26:
Žinoma, yra ir kitokių greitosios konvoliucijos algoritmų, nenaudojančių FFT kaipo tokios, kaip, pavyzdžiui, skaičių teorijos transformacijos algoritmai.
== Savybės ==
=== Komutatyvumas ===
: <math>f * g = g * f \,</math>
=== Asociatyvumas ===
: <math>f * (g * h) = (f * g) * h \,</math>
=== Distributyvumas ===
: <math>f * (g + h) = (f * g) + (f * h) \,</math>
=== Vienietinis elementas ===
: <math>f * \delta = \delta * f = f \,</math>
kur δ žymi δ funkciją.
=== Daugybos su skaliaru asociatyvumas ===
: <math>a (f * g) = (a f) * g = f * (a g) \,</math>
kiekvienam realiam (arba kompleksiniam) <math>a\,</math>.
=== Diferencijavimo taisyklė ===
: <math>\mathcal{D}(f * g) = \mathcal{D}f * g = f * \mathcal{D}g \,</math>
kur <math>\mathcal{D}f</math> žymi <math>f</math> išvestinę, arba, diskrečiu atveju, skirtumo operatorių <math>\mathcal{D}f(n) = f(n+1) - f(n)</math>. Rezultate į konvoliuciją galima žiūrėti kaip į išlyginimo operaciją: "f" ir "g" konvoliucija diferencijuojama tiek kartų, kiek daugiausia diferencijuojama viena iš jų.
=== Konvoliucijos teorema ===
Konvoliucijos teorema sako:
Eilutė 56:
kur <math> \mathcal{F}(f)\,</math> žymi <math>f</math> Furjė transformaciją, o <math>k</math> - konstantą, priklausančią nuo specifinės Furjė transformacijos normalizacijos (pvz., <math>k=1</math>, jeigu <math>\mathcal{F}\left[f(x)\right]\equiv\int^\infty_{-\infty}f(x)\exp(\pm 2 \pi i x \xi)dx</math>).
== Taikymai ==
Konvoliucija ir panašios operacijos dažnai sutinkamos daugumoje inžinerijos ir matematikos uždavinių..
* Optikoje daugybė suliejimų aprašoma konvoliucijomis. Šešėlis (pvz., rankos šešėlis ant stalo, kai ranka yra tarp stalo ir šviesos šaltinio) yra konvoliucija daikto formos, kuris meta šešėlį, ir objekto, kuris skleidžia šviesą.
Eilutė 63:
* Skaitmeniniame signalų apdorojime dažninis filtravimas gali būti supaprastintas iki dviejų funkcijų konvoliucijos (duomenų ir filtro), kas bus analogiška duomenų ir filtro dauginimui dažnių erdvėje.
== Nuorodos ==
* http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Konvoliucijos vizualizacija (Java apletas).
* http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Diskrečių funkcijų vizualizacija (java apletas).
| |||