Euklidinė erdvė: Skirtumas tarp puslapio versijų

Ištrintas turinys Pridėtas turinys
VP-bot (aptarimas | indėlis)
S Smulkūs pataisymai, kalbos
VP-bot (aptarimas | indėlis)
S robotas: smulkūs taisymai
Eilutė 7:
# Vektoriaus skaliarinė sandauga iš savęs yra teigiama, t.y. <math>(\alpha \cdot \alpha) >0</math>, jei <math>\alpha \neq 0</math>
 
== Intuityvus įvadas ==
 
Apie 300 metų prieš mūsų erą, graikų matematikas [[Euklidas]] padėjo pagrindus tam, ką mes dabar vadiname [[Euklidinė geometrija|euklidine geometrija]] – matematikos šaka, nagrinėjančia sąryšius tarp kampų ir atstumų erdvėje. Euklidas iš esmės sukūrė plokštuminę geometriją, nagrinėjančią dvimačius objektus plokščioje ervėje. Po to jis mėgino išvystyti erdvinę geometriją, kuri nagrinėjo trimačių kūnų geometriją. Euklido aksiomos aprašo abstrakčią matematinę erdvę, žinomą kaip dvimatę arba trimatę euklidinę erdvę. Jų taikymas gali būti išplėstas iki bet kokio matmenų skaičiaus. Tokia erdvė vadinama n - mate euklidine erdve. Ir nors matematika gana abstrakti, ji aprašo visas pagrindines savybes, su kuriomis susiduriame įprastame gyvenime.
Eilutė 25:
Pagaliau reikia pastebėti, kad euklidinė erdvė nėra tik vektorinė erdvė, bet [[afininė erdvė]] (t.y. begalinė erdvė) su joje veikiančia vektorinės erdvės grupe. Kitais žodžiais, šis patikslinimas tereiškia, kad nėra jokio skirtumo, kuriame taške pasirinksime [[Koordinačių sistema|koordinatinės sistemos]] atskaitos tašką – jis gali būti perstumtas į bet kurį kitą erdvės tašką.
 
== Realiųjų koordinačių erdvė ==
 
Tarkime, kad '''R''' tai [[Realusis skaičius|realiųjų skaičių]] [[laukas (matematika)|laukas]]. Bet kokiam neneigiamam [[Sveikieji skaičiai|sveikam]] ''n'' egzistuoja n - matė vektorinė erdvė '''R'''<sup>''n''</sup>, kartais vadinama '''realiųjų koordinačių erdve'''. '''R'''<sup>''n''</sup> elementas gali būti užrašytas:
Eilutė 44:
: <math>\mathbf{x}\cdot \mathbf{e}_n = x_n .</math>
 
== Euklidinė struktūra ==
Norint naudoti euklidinę geometriją, reikia turėti atstumų (nuotolių) ir krypčių (kampų) tarp vektorių sąvokas. Natūralus būdas suskaičiuoti šiuos dydžius yra apibrėžti [[Skaliarinė sandauga|skaliarinę sandaugą]] erdvėje '''R'''<sup>''n''</sup>. Skaliarinė dviejų vektorių '''x''' ir '''y''' sandauga yra apibrėžiama:
: <math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.</math>
Eilutė 51:
 
Ši funkcija tenkina matematinės normos sąvoką ir vadinama '''R'''<sup>''n''</sup>
'''Euklidine norma'''. Vidinis kampas &theta;θ tarp '''x''' ir '''y''' gali būti parašytas kaip
: <math>\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)</math>
kur cos<sup>&minus;1−1</sup> yra arkkosinuso funkcija.
 
Pagaliau mes galime panaudoti normos sąvoką apibrėždami atstumą arba metriką erdvėje '''R'''<sup>''n''</sup>: